Matemático do dia Benjamin Olinde Rodrigues
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Benjamin Olinde Rodrigues
Benjamin Olinde Rodrigues
- Nascimento: 16/10/1795
- País: França
- Falecimento: 17/12/1851
- País: França
DESTAQUE — AFA
Considere as expressões
`A = 26^2 - 24^2 +23^2 - 21^2+20^2-18^2+..+5^2-3^2`
`B = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \root{4}{2} \cdot \root{8}{2} \cdot \root{16}{2}...`
O valor de `A/B` é um número compreendido entre:
A) `117` e `120`
B) `114` e `117`
C) `111` e `114`
D) `108` e `111`
`A = 26^2 - 24^2 +23^2 - 21^2+20^2-18^2+..+5^2-3^2` — expressão dada.
`A = [26^2 - 24^2] +[23^2 - 21^2]+[20^2-18^2]+..+[5^2-3^2]` — fazendo um agrupamento conveniente.
`A = [(26+24)(26-24)] +[(23+21)(23-21)]+[(20+18)(20-18)]+..+[(5+3)(5-3)]` — usando o Produto Notável `x^2-y^2 = (x+y)(x-y)`.
`A = [(50)(2)] +[(44)(2)]+[(38)(2)]+..+[(8)(2)]` — simplificando.
`A = 50 \cdot 2 +44 \cdot 2+38 \cdot 2+..+8 \cdot 2)` — "limpando" notação agora desnecessária.
`A = 4 \cdot ( 25+22+19+...+4)` — colocando `4` em evidência.
O fator `25+22+19+...+4` corresponde a uma soma de termos de uma Progressão Aritmética de razão `r=-3`. Tal soma resulta em `\frac{(a_1+a_n)}{2} \cdot n`, onde `a_1= 25` e `a_n=4`.
Cardica
Para determinar `n` (número de termos dessa série) podemos usar o termo geral `a_n = a_1+ (n-1)r`. Assim `4 = 25+ (n-1) \cdot (-3) <=> n = 8 `.
Para determinar `n` também podemos registrar os termos ausentes em `25+22+19+...+4` porque afinal, NESSE CASO, não são tantos termos. Subtraindo de `3` em `3`, veja: `25+22+19+16+13+10+7+4`. Temos `8` termos.
Assim, `25+22+19+...+4 = \frac{(25+4)}{2} \cdot 8=116`. Temos `A = 4 \cdot ( 25+22+19+...+4)= 4 \cdot 116`.
Agora a expressão `B`.
`B = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \root{4}{2} \cdot \root{8}{2} \cdot \root{16}{2}...` — expressão dada.
`B = 2^1 \cdot 2^{1/2} \cdot 2^{1/4} \cdot 2^{1/8} \cdot 2^{1/16}...` — reescrevendo usando a notação `root{n}{x}= x^{1/n}` e que `2=2^1`.
`B = 2^{1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...}` — simplificando usando a relação `x^n \cdot x^m = x^{m+n}`.
O expoente `1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...` corresponde a soma dos infinitos termos de uma Progressão Geométrica de razão `q=1/2`. Tal soma resulta em `\frac{a_1}{1-q}`, onde `a_1=1` e `q=1/2`. Portanto, `1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = \frac{1}{1-1/2}=2`.
Então,
`B = 2^{1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...} = 2^2=4`.
O quociente pedido `A/B= \frac{4 \cdot 116}{4}=116`.
B
CONVERTA SEU NOME EM NÚMERO
É costume no mundo todo apostar datas de significados pessoais em loterias. Por isso quando muitos ou todos os números sorteados saem abaixo de 31 (pois os dias variam de 1 a 31 e meses de 1 a 12) costuma-se ter muitas apostas vencedoras. Essa gama de números não afeta as probabilidades. Mas se a intenção é associar pessoas importantes a números, então gostaria de apresentar a você uma outra forma de gerar números que é pura e simplestente a partir dos NOMES das pessoas de seu afeto ou importância (ou SONHOS ou PALAVRAS) e que pescam todos os números disponíveis de cada modalidade (sem ficarem concentrados até o 31).
RANKING DE LOTERIAS ProfCardy PARA 16/10/2025
Top loterias internacionais disponíveis hoje:
🇺🇸 MEGA MILLIONS
US$ 625 milhões
R$ 3,4 bilhões
✓ VANTAGEM: Parte do valor da sua aposta é repassado para o projeto Profcardy
✓ VANTAGEM: É o maior prêmio no mundo nesta semana!
✓ PALPITE: 3, 7, 40, 43, 68 e MEGA BALL + 14
CORRE AMANHÃ!
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CORRE AMANHÃ!
Se você tivesse que escolher a melhor opção hoje para fazer um único jogo, qual seria a modalidade mais vantajosa? Levando em consideração não apenas no alto valor do PRÊMIO PRINCIPAL (individualmente), você também precisa colocar na balança, os outros prêmios disponíveis, as chances de ganhar e o valor do joguinho. Podem não parecer intuitivos os resultados, posto que só observar o valor do prêmio isoladamente leva a isso. As pessoas nem olham para: SUA PROBABILIDADE COMPARADA COM A DOS DEMAIS JOGOS, a relação conjunta com o SEU CUSTO PARA JOGAR COMPARADO COM OS DEMAIS e SEU PRÊMIO PRINCIPAL COMPARADO COM OS OUTROS PRÊMIOS PRINCIPAIS.
A apresentação a seguir é ordenada pelo Ranking ProfCardy, do 1º ao último lugar, com a nota indicada. Jogos com o mesmo ranking ficam empatados na mesma colocação.
Ranking ProfCardy (1º)
Timemania
CORRE HOJE
R$ 35.500.000,00
Nota baseada no valor da aposta R$3,50, valor do prêmio individual R$35.500.000,00 (em dólares equivale a US$6.491.131,83), valor do prêmio comparado aos demais e probabilidade de ganhar o prêmio principal que é
1 em 26.472.637.
Ranking ProfCardy (2º)
Mega Sena
CORRE HOJE
R$ 40.000.000,00
O concurso 2928 da Mega Sena é 48% interessante em relação à melhor opção 100%.
Nota baseada no valor da aposta R$6,00, valor do prêmio individual R$40.000.000,00 (em dólares equivale a US$7.313.951,36), valor do prêmio comparado aos demais e probabilidade de ganhar o prêmio principal que é
1 em 50.063.860.
Ranking ProfCardy (3º)
Dia de Sorte
CORRE HOJE
R$ 2.700.000,00
O concurso 1129 da Dia de Sorte é 34% interessante em relação à melhor opção 100%.
Nota baseada no valor da aposta R$2,50, valor do prêmio individual R$2.700.000,00 (em dólares equivale a US$493.691,72), valor do prêmio comparado aos demais e probabilidade de ganhar o prêmio principal que é
1 em 2.629.575.
Ranking ProfCardy (4º)
Super Sete
17/10/2025
R$ 2.700.000,00
O concurso 760 da Super Sete é 14% interessante em relação à melhor opção 100%. Espere o prêmio melhorar e veja outras opções mais atraentes para hoje.
Nota baseada no valor da aposta R$3,00, valor do prêmio individual R$2.700.000,00 (em dólares equivale a US$493.691,72), valor do prêmio comparado aos demais e probabilidade de ganhar o prêmio principal que é
1 em 10.000.000.
Ranking ProfCardy (4º)
Lotofácil
CORRE HOJE
R$ 1.800.000,00
O concurso 3514 da Lotofácil é 14% interessante em relação à melhor opção 100%. Espere o prêmio melhorar e veja outras opções mais atraentes para hoje.
Nota baseada no valor da aposta R$3,50, valor do prêmio individual R$1.800.000,00 (em dólares equivale a US$329.127,81), valor do prêmio comparado aos demais e probabilidade de ganhar o prêmio principal que é
1 em 3.268.760.
Ranking ProfCardy (6º)
Lotomania
17/10/2025
R$ 2.400.000,00
O concurso 2837 da Lotomania é 12% interessante em relação à melhor opção 100%. Espere o prêmio melhorar e veja outras opções mais atraentes para hoje.
Nota baseada no valor da aposta R$3,00, valor do prêmio individual R$2.400.000,00 (em dólares equivale a US$438.837,08), valor do prêmio comparado aos demais e probabilidade de ganhar o prêmio principal que é
1 em 11.372.635.
Ranking ProfCardy (7º)
+Milionária
18/10/2025
R$ 10.000.000,00
O concurso 294 da +Milionária é 5% interessante em relação à melhor opção 100%. Espere o prêmio melhorar e veja outras opções mais atraentes para hoje. Aqui a nota está muito baixa!
Nota baseada no valor da aposta R$6,00, valor do prêmio individual R$10.000.000,00 (em dólares equivale a US$1.828.487,84), valor do prêmio comparado aos demais e probabilidade de ganhar o prêmio principal que é
1 em 238.360.500.
Ranking ProfCardy (8º)
Dupla Sena
17/10/2025
R$ 700.000,00
O concurso 2874 da Dupla Sena é 3% interessante em relação à melhor opção 100%. Espere o prêmio melhorar e veja outras opções mais atraentes para hoje. Aqui a nota está muito baixa!
Nota baseada no valor da aposta R$3,00, valor do prêmio individual R$700.000,00 (em dólares equivale a US$127.994,15), valor do prêmio comparado aos demais e probabilidade de ganhar o prêmio principal que é
1 em 15.890.700.
Ranking ProfCardy (9º)
Quina
CORRE HOJE
R$ 600.000,00
O concurso 6854 da Quina é 2% interessante em relação à melhor opção 100%. Espere o prêmio melhorar e veja outras opções mais atraentes para hoje. Aqui a nota está muito baixa!
Nota baseada no valor da aposta R$3,00, valor do prêmio individual R$600.000,00 (em dólares equivale a US$109.709,27), valor do prêmio comparado aos demais e probabilidade de ganhar o prêmio principal que é
1 em 24.040.016.
CALENDÁRIO DE LOTERIAS
| Domingo | Segunda | Terça | Quarta | Quinta | Sexta | Sábado |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Loterias Nacionais (links de palpites em cada uma) | ||||||
| Domingo | Segunda | Terça | Quarta | Quinta | Sexta | Sábado |
| Loterias Internacionais (brasileiros podem apostar usando os links em cada uma) | ||||||
| Domingo | Segunda | Terça | Quarta | Quinta | Sexta | Sábado |
RANKING GERAL DE LOTERIAS
Clique no cabeçalho da tabela para reordenar. À cada loteria é dada uma nota que vai de 0 a 100 que é o Ranking ProfCardy (que aqui está congregando tanto as loterias NACIONAIS bem como as INTERNACIONAIS), considerando o quanto a modalidade é mais vantajosa perante as outras — calculando o valor do prêmio individual na comparação com os demais, considerando todas as probabilidades, todos os custos das apostas (NO BRASIL o valor da aposta oficial e NO EXTERIOR o valor da aposta no TheLotter). Quanto melhor a nota pela fórmula do Professor Cardy, melhor é a "mais valia" do jogo no dia.
As chances de ganhar numa loteria são completamente e incrivelmente desfavoráveis para o jogador, cujo resultado prático sempre tende a perder (mesmo com ganhos menores no caminho) [ SIMULADOR DE LOTERIAS ] ou [ SIMULADOR VERSÃO DIDÁTICA ]. Não existe fórmula para acertar números de loterias pois são absolutamente aleatórios os sorteios - a fórmula do Professor Cardy é apenas e exclusivamente para uma análise da "mais valia", como considerada acima, para que você faça escolha de um joguinho simples para entretenimento e participação — indo certeiro na mais vantajosa 🎯.
| Loteria | Nota (0 a 100) | Prêmio (R$) | Probabilidade |
|---|---|---|---|
| 🇦🇺 Lotto Austrália APOSTE AQUI 🔥 | R$ 70.400.000,00 | 1 em 8.145.060 | |
| 🇺🇸 Mega Millions APOSTE AQUI 🔥 | R$ 3.418.125.000,00 | 1 em 290.472.336 | |
| 🇺🇸 Powerball APOSTE AQUI | R$ 1.493.037.000,00 | 1 em 292.201.338 | |
| 🇧🇷 Timemania | R$ 35.500.000,00 | 1 em 26.472.637 | |
| 🇪🇺 Eurojackpot APOSTE AQUI | R$ 431.664.000,00 | 1 em 139.838.160 | |
| 🇮🇹 SuperEnalotto APOSTE AQUI | R$ 411.350.400,00 | 1 em 622.614.630 | |
| 🇧🇷 Mega Sena | R$ 40.000.000,00 | 1 em 50.063.860 | |
| 🇧🇷 Dia de Sorte | R$ 2.700.000,00 | 1 em 2.629.575 | |
| 🇪🇸 La Primitiva APOSTE AQUI | R$ 109.820.400,00 | 1 em 139.838.160 | |
| 🇦🇹 Euromillions APOSTE AQUI | R$ 177.744.000,00 | 1 em 139.838.160 | |
| 🇦🇺 Oz Austrália APOSTE AQUI 🥶 | R$ 28.160.000,00 | 1 em 45.379.620 | |
| 🇪🇸 El Gordo APOSTE AQUI 🥶 | R$ 41.262.000,00 | 1 em 31.625.100 | |
| 🇧🇷 Super Sete 🥶 | R$ 2.700.000,00 | 1 em 10.000.000 | |
| 🇧🇷 Lotofácil 🥶 | R$ 1.800.000,00 | 1 em 3.268.760 | |
| 🇪🇺 EuroDreams APOSTE AQUI 🥶 | R$ 45.705.600,00 | 1 em 19.191.900 | |
| 🇧🇷 Lotomania 🥶 | R$ 2.400.000,00 | 1 em 11.372.635 | |
| 🇧🇷 Mais Milionária 🥶 | R$ 10.000.000,00 | 1 em 238.360.500 | |
| 🇧🇷 Dupla Sena 🥶 | R$ 700.000,00 | 1 em 15.890.700 | |
| 🇧🇷 Quina 🥶 | R$ 600.000,00 | 1 em 24.040.016 |
OBS. Na loteria EuroDreams [ APOSTE AQUI ] o prêmio principal é receber €20.000 por mês durante 30 anos (R$ 126.960,00 por mês até o ano 2.055). O prêmio secundário é receber €2.000 por mês durante 5 anos (R$ 31.740,00 por mês até o ano 2.030)