Equação recíproca
Muitas vezes, ao final dos cursos de equações polinomiais, são apresentados casos especiais de equações para serem resolvidas. O grande folguedo dessa parte final de curso é tratar da Equações Recíprocas - tais equações podem render exercícios de ótimo nível.
Vale o lembrete de que os concursos para admissão em escolas militares exibem tais problemas aos candidatos com boa freqüência.
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Equação Polinomial |
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anxn + an-1xn-1 +... + a1x + a0 = 0 |
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Bem, TODA equação do 1º, 2º, 3º e 4º graus pode ser resolvida algebricamente. Assim suas raizes podem sempre ser expressas por meio de operações de soma, subtração, divisão, potenciação natural e radiciação aplicadas aos seus coeficientes. Tanto que a todas elas são atribuídas fórmulas fechadas que indicam todas as suas soluções além, é claro, de várias técnicas para a obtenção das suas raizes. Uma das técnicas, por exemplo, é decompor em fatores do 1º grau
Entretando, não significa que as de grau 5, 6, 7, etc. não tenham soluções nem métodos que as resolvam. Por exemplo, temos casos especiais dessas equações cuja tática de resolução pode ser padronizada. As equações recíprocas são um exemplo disso.
Então, vamos lá!
Veja a seguinte equação polinomial:
| 1x4 | + 3x3 | + 12x2 | + 3x | + 1 | = | 0 |
Tal equação é chamada Equação Recíproca de 1ª ordem (ou equação recíproca de primeira espécie). Toda equação polinomial cujos coeficientes equidistantes são iguais são assim chamadas: recíprocas de primeira ordem.
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Grau |
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Grau de uma equação polinomial (de uma única variável) é o maior k das parcelas akxk desta equação, com ak não nulo. | |
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Contudo, há uma segunda categoria de Equação Recíproca, nomeada de 2ª ordem (ou Equação Recíproca de 2º espécie). Grau de equação e ordem são coisas diferentes!
Bem, é condição suficiente para uma equação polinomial se enquadrar como uma de segunda espécie se os seus coeficientes eqüidistantes forem simétricos (opostos). Um exemplo disso pode ser
| 8x3 | - 7x2 | + 7x | - 8 | = | 0 |
Preste atenção: uma equação polinomial para receber a designação inicial de RECÍPROCA deve ter grau maior ou igual a 2, independente de ser recíproca de primeira ou de segunda espécie. Ou seja, estamos deixando de lado (intencionalmente) a equação do primeiro grau.
Cardica Numa equação polinomial, de grau n > 1 e de coeficientes (an, an-1 ,an-2 ,..., a1 , a0) onde an é o coeficiente dominante, não nulo — dois de seus coeficientes { ap, aq } são chamados eqüidistantes se e, somente se, p + q = n. Exemplos a) Dada a equação a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0 — os coeficientes eqüidistantes são as duplas: a3 e a0 (3 + 0 = 3) a2 e a1 (2 + 1 = 3) a) Dada a equação a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0 — os coeficientes eqüidistantes são as duplas: a4 e a0 (4 + 0 = 4) a3 e a1 (3 + 1 = 4) a2 e a2 (2 + 2 = 4) |
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Recíprocas de GRAU PAR |
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Recíprocas de GRAU ÍMPAR |
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Nas equações recíprocas de 1ª ordem e GRAU PAR não se pode afirmar que 1 e –1 são ou não são soluções. Neste caso, você deve verificar caso a caso porque não é regra que sejam nem é regra geral que não sejam raizes.
Entretanto sempre é certo a respeito das equações recíprocas que se r for uma solução, então seu número recíproco 1/r também será solução. Assim, se 3 for raiz, então 1/3 também será (e vice-versa).
Com tantos detalhes a serem explorados, as equações recíprocas podem valer uma ou duas aulas num curso de Álgebra.
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Exemplo - Resolva a equação 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0 |
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| A resolução a seguir depende do seu conhecimento sobre Briot-Ruffini e de como tratar os coeficientes do quociente para produzir uma outra equação polinomial de grau imediatamente inferior à proposta | |||||||||||||||||||||||||||||||
Trata-se de uma Equação Recíproca de 1ª ordem e de grau ímpar. Facilmente se verifica que –1 é uma solução por substituição direta. CLIQUE AQUI e lembre-se porque isso vale sempre. A divisão pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini de P(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2 por x + 1 determinará um quociente Q(x) de grau 2. Assim, utilizando-se do dispositivo prático de Briot-Ruffini, faremos a divisão por x + 1 para verificar que –1 é uma solução.
Dos coeficientes do quociente 2, –5 e 2 temos a equação Q(x) = 0, do 2º grau porque Q(x) = 2x2 – 5x + 2 . Você pode constatar rapidinho que 2 e 1/2 são suas soluções.
As soluções de Q(x) = 0 são SEMPRE soluções de P(x) = 0 pois o resto da divisão é zero [P(x) é divisível por x + 1]. Repare: P(x) = (x + 1)Q(x) + 0 P(x) = (x + 1)Q(x) Repare que se Q(x) se anular, implica que P(x) também se anulará.
Portanto, o conjunto solução de 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0 é S = {–1, 2, 1/2} |
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Exemplo - Resolva a equação 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2– 29x + 6 = 0 |
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| A resolução a seguir usa uma técnica padrão - vale para TODAS as recíprocas de grau ímpar | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Trata-se de uma Equação Recíproca de 1ª ordem e de grau ímpar. Facilmente se verifica que –1 é uma solução por substituição direta. CLIQUE AQUI e lembre-se porque isso vale sempre. Utilizando-se do dispositivo prático de Briot-Ruffini, faremos a divisão de P(x) = 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2– 29x + 6 por x + 1 obs. Para verificar que –1 é uma solução de P(x) = 0, ou seja, P(–1) = 0, basta que o resto da divisão de P(x) por x + 1 seja zero. Acompanhe as passagens da técnica de divisão, na animação a seguir, passo a passo:
Assim, com os coeficientes obtidos 6, – 35, 62, – 35 e 6 temos o quociente: Q(x) = 6x4 – 35x3 + 62x2– 35x + 6
As raizes da nova equação Q(x) = 0 são também raizes da equação original P(x) = 0. Q(x) = 6x4 – 35x3 + 62x2– 35x + 6 = 0 Agrupando os termos cujos coeficientes são simétricos temos: 6x4 – 35x3 + 62x2– 35x + 6 = 0 6x4 + 6 – 35x3 – 35x + 62x2= 0 6(x4 + 1) – 35(x3+ x) + 62x2 = 0 Divida os membros por x2 6(x2 + 1/x2) – 35(x + 1/x) + 62 = 0 Toma-se y = x + 1/x — isso não acarreta, diretamente, que se saiba o que é x2 + 1/x2. Deveremos providenciar cálculos suporte para saber o que é x2 + 1/x2 Sempre faça assim:
Então, usando que y = x + 1/x e que x2 + 1/x2 = y2 – 2 na equação: 6(x2 + 1/x2) – 35(x + 1/x) + 62 = 0 6(y2 – 2) – 35y + 62 = 0 Que, simplificando, passa a ser a equação do 2º grau 6y2 – 35y + 50 = 0.
Como y = x + 1/x, vem que:
S = {–1, 3, 1/3, 2, 1/2} |
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Exemplo - Resolva a equação 30x4 – 221x3 + 398x2 – 221x + 30 = 0 |
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| É uma equação recíproca de 1ª classe, de grau PAR - não se pode afirmar que 1 ou –1 sejam ou não sejam raizes. CLIQUE AQUI | |||
Trata-se de uma Equação Recíproca de 1ª ordem e de grau par. Vamos verificar ser 1 é raiz na equação P(x) = 0, onde P(x) = 30x4 – 221x3 + 398x2 – 221x + 30:
Vamos verificar ser –1 é raiz na equação P(x) = 0, onde P(x) = 30x4 – 221x3 + 398x2 – 221x + 30:
Como nem 1 nem –1 vamos partir diretamente para o agrupamento de termos convenientes na equação P(x) = 0. Repare: 30x4 – 221x3 + 398x2 – 221x + 30 = 0 30x4 + 30 – 221x3 – 221x + 398x2 = 0 30(x4 + 1) – 221(x3 + x) + 398x2 = 0 Divida os membros por x2 30(x2 + 1/x2) – 221(x + 1/x) + 398 = 0 Toma-se y = x + 1/x — e se lembre, como já foi feito no exemplo anterior, que x2 + 1/x2 = y2 – 2 Passamos à equação: 30(y2 – 2) – 221y + 398 = 0 30y2 – 221y + 338 = 0
Como y = x + 1/x, vem que:
S = {5, 1/5, 2/3, 3/2} |
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(I) Nas equações p(x) = 0, recíprocas de grau PAR, divida p(x) por x2 e agrupe os termos do quociente q(x) na nova equação q(x) = 0 para que a substituição y = x + 1/x seja usada.
(II) Nas equações P(x) = 0, recíprocas de grau ÍMPAR, determine antes qual vale: se P(1) = 0 ou P(–1) = 0. Sim, porque (obrigatoriamente) pelo menos um desses valores 1 ou -1 É SOLUÇÃO. CLIQUE AQUI e lembre-se.
- Caso seja comprovado que P(1) = 0, use o quociente Q(x) da divisão por [ x – 1] e resolva a nova equação Q(x) = 0 como descrito em (I),
- Caso seja comprovado que P(– 1) = 0, use o quociente Q(x) da divisão por [ x + 1] e resolva a nova equação Q(x) = 0 como descrito em (I).
Uma divisão basta no caso (II), porque uma equação de grau ÍMPAR passará a grau PAR com a divisão apropriada. O método explicado em (I) passa a s
Professor Cardy