Muitas vezes, ao final dos cursos de equações polinomiais, são apresentados casos especiais de equações para serem resolvidas. O grande folguedo dessa parte final de curso é tratar das Equações Recíprocas - tais equações podem render exercícios de ótimo nível.
Vale o lembrete de que os concursos para admissão em escolas militares exibem tais problemas aos candidatos com boa frequência.
Uma equação na forma:
$$a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0=0$$
é uma equação polinomial de grau $$n$$, onde $$a_n !=0$$ e $$n in \mathbb{N}^**$$.
TODA equação do 1º, 2º, 3º e 4º graus pode ser resolvida algebricamente.
Isso significa que as raizes dessas equações podem sempre ser expressas por meio de operações de soma, subtração, divisão, potenciação natural e radiciação aplicadas aos seus coeficientes. Tanto que a todas elas são atribuídas fórmulas fechadas que indicam todas as suas soluções além, é claro, de várias técnicas para a obtenção das suas raizes. Uma das técnicas, por exemplo, é decompor em fatores do 1º grau
Entretando, não significa que as equações polinomiais de 5º, 6º, 7º e etc. não tenham soluções nem métodos que as resolvam. Para casos específicos, sim!
Um desses casos específicos é quando essas equações polinomiais são recíprocas.
Regrinha para ajeitar as potências
Para a resolução das equações recíprocas, a primeira coisa a ser feita é organizar os monômios da equação $$P(x)=0$$ em ordem descrecente das potências de $$x$$.
Por exemplo, $$2x^4-3x^3+x^5+3=0$$ precisa ser escrito como
$$ x^5+ 2x^4-3x^3+3=0$$.
Eventualmente precisaremos expandir o polinômio e deixar o segundo membro com o $$0$$ (isso é muito importante).
Por exemplo, $$(x -2)^4=-11x^3+12x^2-35x+15$$ precisa ser escrita como :
$$(x -2)^4=-11x^3+12x^2-35x+15$$
$$x^4-8x^3+24x^2-32x+16=-11x^3+12x^2-35x+15$$
$$x^4-8x^3+24x^2-32x+16-(-11x^3+12x^2-35x+15)=0$$
$$x^4-8x^3+24x^2-32x+16+11x^3-12x^2+35x-15=0$$
$$x^4-8x^3+11x^3+24x^2-12x^2-32x+35x+16-15=0$$
$$x^4+3x^3+12x^2+3x+1=0$$
Numa equação recíproca $$P(x)=0$$ se $$r$$ for uma de suas soluções, então $$1/r$$ é também uma de suas soluções.
Os números $$r$$ e $$1/r$$ são chamados de números recíprocos.
Primeiro Caso
Equação recíproca de primeira ordem ou de primeira espécie
Organizada uma equação polinomial, conforme explicado anteriormente, uma equação polinomial será chamada de 1ª ordem exclusivamente quando os coeficientes em posições simétricas no primeiro membro forem iguais.
Repare que isso ocorre na equação $$x^4+3x^3+12x^2+3x+1=0$$, indicados os termos simétricos pelas respectivas cores. Na equação, o termo $$12x^2$$ é o termo central.
| coeficientes de | |||||
| `x^4` | `x^3` | `x^2` | `x` | TI | `=0` |
| `1` | `3` | `12` | `3` | `1` | |
Segundo Caso
Equação recíproca de segunda ordem ou de segunda espécie
Organizada uma equação polinomial, uma equação polinomial será chamada de 2ª ordem exclusivamente quando os coeficientes em posições simétricas no primeiro membro forem opostos.
Repare que isso ocorre na equação $$2x^4+3x^3-3x-2=0$$, indicados os termos simétricos pelas respectivas cores. Na equação, o termo $$12x^2$$ é o termo central.
| coeficientes de | |||||
| `x^4` | `x^3` | `x^2` | `x` | TI | `=0` |
| `2` | `3` | `0` | `-3` | `-2` | |
Depois da "maior potência" (aquela que tem o maior expoente) precisaremos analisar todos os coeficientes das potências de $$x$$. Se uma dada potência de $$x$$ não "aparecer" na equação, é porque o seu coeficiente correspondente é $$0$$.
Essa informação é muito importante!
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Exemplo – Dado que `P(x)=2x^2 -5x+2`, com `P(2)=0` resolver a equação `P(x)=0`. |
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A equação $$P(x)=0$$ é recíproca de primeira ordem:
Foi dado que $$P(2)=0$$, logo $$2$$ é solução da equação $$P(x)=0$$. O teorema nos garante que o recíproco de $$2$$ é também solução, ou seja $$1/2$$. Assim, as soluções de $$P(x)=0$$ são $$2$$ e $$1/2$$. $$S={2,1/2}$$ |
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Uma equação recíproca (ou de 1ª espécie ou de 2ª espécie) de grau $$n$$, onde $$a_n !=0$$:
$$a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0=0$$
i) se n for PAR, chamaremos a equação de P.
ii) se n for ÍMPAR, chamaremos a equação de I.
A designação anterior será usada aqui para expor como resolver as equações recíprocas por situações bem específicas.
Resolver equações P
Toda equação P tem um coeficiente central.
Se a equação P for de primeira ordem, tanto faz qual é o valor do coeficiente central.
Porém, se a equação P for de segunda ordem, o valor do coeficiente central PRECISA ser $$0$$ para a serventia do método. Neste caso, SEMPRE os valores $$1$$ e $$-1$$ são soluções da equação P.
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Exemplo – Resolva a equação `7x^2 -7=0` |
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A equação $$7x^2 -7=0$$ é P e recíproca de segunda ordem e o seu termo central é $$0$$:
Assim, são soluções de $$7x^2 -7=0$$ os números $$1$$ e $$-1$$. Como é uma equação de grau 2 e devemos ter exatamente 2 soluções, logo: $$S={1,-1}$$ |
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Resolver equações I
Se a equação I for de primeira ordem o valor $$-1$$ é sempre uma de suas soluções.
Se a equação I for de segunda ordem o valor $$1$$ é sempre uma de suas soluções.
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Exemplo – Resolva a equação `2x^3 -3x^2-3x+2=0` |
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A equação$$2x^3 -3x^2-3x+2=0$$é I e recíproca de primeira ordem:
Assim, é solução de $$2x^3 -3x^2-3x+2=0$$o número $$-1$$. Entretanto isso não basta para concluir o problema pois como é uma equação de grau 3 e devemos ter exatamente 3 soluções. Precisamos encontrar as outras duas. Podemos usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir o polinômio $$P(x)=2x^3 -3x^2-3x+2$$ por $$x+1$$ e obter o quociente $$Q(x)$$.
Veja que $$Q(x)=2x^2-5x+2$$ e $$R(x)=0$$ (isso significa que $$P(x)$$ é divisível por $$x+1$$. Basta resolvermos $$Q(x)=0$$ que as soluções que faltam de $$P(x)=0$$ virão. Isso ocorre porque se $$A(x)$$ for dividendo, $$B(x)$$ for divisor, $$C(x$$) quociente e $$D(x)$$ resto, então: $$A(x) -= B(x)C(x) + R(x)$$ Se $$A(x)$$ é divisível por $$B(x)$$, então $$R(x) = 0$$ para todo x de seu domínio. Assim passa a valer que $$A(x) = B(x)C(x)$$ Então, vamos lembrar que já resolvemos $$Q(x)=2x^2-5x+2$$ e obtivemos as outras soluções $$2$$ e $$1/2$$, mas mesmo se não o tivéssemos, é uma equação do 2º Grau que pode facilmente ser resolvida. Portanto, o conjunto solução de $$2x^3 -3x^2-3x+2=0$$ é: $$S={-1, 2, 1/2}$$ |
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