Poliedro de Platão

São todos os poliedros regulares. Um poliedro regular é todo poliedro convexo que possui:

a) em todas as suas faces polígonos regulares congruentes entre si.

b) todos os seus ângulos poliédricos são regulares e congruentes entre si.

São exclusivamente 5 os poliedros de Platão:

Poliedro de Platão	Total de vértices(V)	Total de arestas (A)	Total de faces (F)	Todas as suas faces são:	De todos os seus vértices partem
tetraedro	4	6	4	triângulos	3 arestas
hexaedro	8	12	6	quadrados	3 arestas
octaedro	6	12	8	triângulos	4 arestas
dodecaedro	20	30	12	pentágonos	3 arestas
icosaedro	12	30	20	triângulos	5 arestas

 

Tetraedro Regular

Faces: 4

Vértices: 4

Arestas: 6

Para um Tetraedo Regular de aresta de medida `a`, temos:

Área de uma das suas faces: `A = \frac{\root{}{3}}{4}a^2`.

Área de todas as suas 4 faces: `A_T = 4*A=\root{}{3}a^2`.

Volume: `V=\frac{\root{}{2}}{12}a^3`.

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Hexaedro Regular

 

Faces: 6

Vértices: 8

Arestas: 12

Para um Hexaedro Regular de aresta de medida `a`, temos:

Área de uma das suas faces: `A = a^2`.

Área de todas as suas 6 faces: `A_T = 6*A=6a^2`.

Volume: `V=a^3`.

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Octaedro Regular

Faces: 8

Vértices: 6

Arestas: 12

Para um Octaedro Regular de aresta de medida `a`, temos:

Área de uma das suas faces: `A =\frac{\root{}{3}}{4}a^2`.

Área de todas as suas 8 faces: `A_T = 8*A =2\root{}{3}a^2`.

Volume: `V=\frac{\root{}{2}}{3}a^3`.

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Dodecaedro Regular

Faces: 12

Vértices: 20

Arestas: 30

Para um Dodecaedro Regular de aresta de medida `a`, temos:

Área de uma das suas faces: `A = \frac{\root{}{25+10\root{}{5}}}{4}a^2`.

Área de todas as suas 12 faces: `A_T = 12*A =3\root{}{25+10\root{}{5}}a^2`.

Volume: `V=\frac{1}{4}(15+7\root{}{5})a^3`.

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Icosaedro Regular

Faces: 20

Vértices: 12

Arestas: 30

Para um Icosaedro Regular de aresta de medida `a`, temos:

Área de uma das suas faces: `A = \frac{\root{}{3}}{4}a^2`.

Área de todas as suas 20 faces: `A_T = 20*A =5\root{}{3}a^2`.

Volume: `V=\frac{5}{12}(3+\root{}{5})a^3`.

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Poliedro Convexo

Além disso, é oportuno destacar que se um poliedro é convexo, então vale a relação de Euler. Ou seja, para um poliedro de V vértices, A arestas e F faces, vale que:

`V - A + F = 2`

A recíproca da frase anterior não é verdadeira, porque podemos ter uma terna (`V`, `A`, `F`) que satisfaz a equação `V - A + F = 2` e, mesmo assim, termos um poliedro não convexo. Aliás, podemos nem ter poliedro algum!

Repare que na ilustração, `V = 12`, `A = 18` e `F = 8`. Vale que `V - A + F = 2`, porém o sólido não é um Poliedro Convexo.

A relação de Euler funciona assim:

Se for um poliedro convexo, então é obrigatório que seja válida a relação `V - A + F = 2`.

Contudo: Se vale a relação `V - A + F = 2`, então o poliedro pode não ser poliedro convexo.