São todos os poliedros regulares. Um poliedro regular é todo poliedro convexo que possui:

a) em todas as suas faces polígonos regulares congruentes entre si.

b) todos os seus ângulos poliédricos são regulares e congruentes entre si.

c) de cada um de seus vértices parte o mesmo número de arestas.

São exclusivamente 5 os poliedros de Platão:

Faces: 4

Vértices: 4

Arestas: 6

Para um Tetraedo Regular de aresta de medida `a`, temos:

Área de uma das suas faces: `A = \frac{\root{}{3}}{4}a^2`.

Área de todas as suas 4 faces: `A_T = 4*A=\root{}{3}a^2`.

Volume: `V=\frac{\root{}{2}}{12}a^3`.

Faces: 6

Vértices: 8

Arestas: 12

Para um Hexaedro Regular de aresta de medida `a`, temos:

Área de uma das suas faces: `A = a^2`.

Área de todas as suas 6 faces: `A_T = 6*A=6a^2`.

Volume: `V=a^3`.

Faces: 8

Vértices: 6

Arestas: 12

Para um Octaedro Regular de aresta de medida `a`, temos:

Área de uma das suas faces: `A =\frac{\root{}{3}}{4}a^2`.

Área de todas as suas 8 faces: `A_T = 8*A =2\root{}{3}a^2`.

Volume: `V=\frac{\root{}{2}}{3}a^3`.

Faces: 12

Vértices: 20

Arestas: 30

Para um Dodecaedro Regular de aresta de medida `a`, temos:

Área de uma das suas faces: `A = \frac{\root{}{25+10\root{}{5}}}{4}a^2`.

Área de todas as suas 12 faces: `A_T = 12*A =3\root{}{25+10\root{}{5}}a^2`.

Volume: `V=\frac{1}{4}(15+7\root{}{5})a^3`.

Faces: 20

Vértices: 12

Arestas: 30

Para um Icosaedro Regular de aresta de medida `a`, temos:

Área de uma das suas faces: `A = \frac{\root{}{3}}{4}a^2`.

Área de todas as suas 20 faces: `A_T = 20*A =5\root{}{3}a^2`.

Volume: `V=\frac{5}{12}(3+\root{}{5})a^3`.

Além disso, é oportuno destacar que se um poliedro é convexo, então vale a relação de Euler. Ou seja, para um poliedro de V vértices, A arestas e F faces, vale que:

`V - A + F = 2`

A recíproca da frase anterior não é verdadeira, porque podemos ter uma terna (`V`, `A`, `F`) que satisfaz a equação `V - A + F = 2` e, mesmo assim, termos um poliedro não convexo. Aliás, podemos nem ter poliedro algum!

Repare que na ilustração, `V = 12`, `A = 18` e `F = 8`. Vale que `V - A + F = 2`, porém o sólido não é um Poliedro Convexo.

A relação de Euler funciona assim:

Se for um poliedro convexo, então é obrigatório que seja válida a relação `V - A + F = 2`.

Contudo: Se vale a relação `V - A + F = 2`, então o poliedro pode não ser poliedro convexo.

As pessoas normalmente fazem apostas na Mega Sena, pelo valor acumulado mais alto ou pelo simples hábito. Sabemos que a probabilidade de levar o prêmio principal é bem baixo. Contudo, será que vale mais a pena apostar numa Mega Sena que pode pagar R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões?

Pensar exclusivamente na questão PROBABILIDADE é a melhor referência. Porém, aliado a isso, o VALOR DO PRÊMIO e o VALOR DA APOSTA também são interessantes de levar em conta. Vale mais a pena gastar seus REAIS na MEGA SENA que paga R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões? A probabilidade da Timemania é melhor (em relação à da Mega) e o valor da aposta é mais baixo.

É certo que O VALOR ALTO DE PRÊMIO seduz muito e valor baixo desmotiva o interesse. Porém, se o valor alto vem de um jogo cujas chances de ganho são muito discrepantes no confronto direto, muitas vezes é mais interessante ir atrás de um prêmio menor se as suas chances de êxito vencem, mesmo sendo uma premiação inferior.

De acordo com a relação PRÊMIO A CONQUISTAR e PROBABILIDADE DE LEVAR, CUSTO DA APOSTA, eu calculei uma NOTA DE MAIS VALIA. Veja na ORDEM (de cima para baixo) onde vale mais a pena (NOTA 100) gastar seu real até onde menos vale a pena apostar, levando tudo isso em consideração

A TABELA A SEGUIR MUDA DE ACORDO COM OS VALORES DOS PRÊMIOS, CUSTOS e REGRAS. CONFIRA A ANÁLISE NA DATA INFORMADA.

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