Definição
São todos os poliedros regulares. Um poliedro regular é todo poliedro convexo que possui:
a) em todas as suas faces polígonos regulares congruentes entre si.
b) todos os seus ângulos poliédricos são regulares e congruentes entre si.
c) de cada um de seus vértices parte o mesmo número de arestas.
São exclusivamente 5 os poliedros de Platão:
Poliedro |
Total de vértices(V) |
Total de arestas (A) |
Total de faces (F) |
Todas as suas faces são: |
De todos os seus vértices partem: |
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4 |
6 |
4 |
triângulos |
3 arestas |
8 |
12 |
6 |
quadrados |
3 arestas |
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6 |
12 |
8 |
triângulos |
4 arestas |
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20 |
30 |
12 |
pentágonos |
3 arestas |
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12 |
30 |
20 |
triângulos |
5 arestas |
Faces: 4
Vértices: 4
Arestas: 6
Para um Tetraedo Regular de aresta de medida $$a$$, temos:
Área de uma das suas faces: $$A = \frac{\root{}{3}}{4}a^2$$.
Área de todas as suas 4 faces: $$A_T = 4*A=\root{}{3}a^2$$.
Volume: $$V=\frac{\root{}{2}}{12}a^3$$.
Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12
Para um Hexaedro Regular de aresta de medida $$a$$, temos:
Área de uma das suas faces: $$A = a^2$$.
Área de todas as suas 6 faces: $$A_T = 6*A=6a^2$$.
Volume: $$V=a^3$$.
Faces: 8
Vértices: 6
Arestas: 12
Para um Octaedro Regular de aresta de medida $$a$$, temos:
Área de uma das suas faces: $$A =\frac{\root{}{3}}{4}a^2$$.
Área de todas as suas 8 faces: $$A_T = 8*A =2\root{}{3}a^2$$.
Volume: $$V=\frac{\root{}{2}}{3}a^3$$.
Faces: 12
Vértices: 20
Arestas: 30
Para um Dodecaedro Regular de aresta de medida $$a$$, temos:
Área de uma das suas faces: $$A = \frac{\root{}{25+10\root{}{5}}}{4}a^2$$.
Área de todas as suas 12 faces: $$A_T = 12*A =3\root{}{25+10\root{}{5}}a^2$$.
Volume: $$V=\frac{1}{4}(15+7\root{}{5})a^3$$.
Faces: 20
Vértices: 12
Arestas: 30
Para um Icosaedro Regular de aresta de medida $$a$$, temos:
Área de uma das suas faces: $$A = \frac{\root{}{3}}{4}a^2$$.
Área de todas as suas 20 faces: $$A_T = 20*A =5\root{}{3}a^2$$.
Volume: $$V=\frac{5}{12}(3+\root{}{5})a^3$$.
Poliedro Convexo
Além disso, é oportuno destacar que se um poliedro é convexo, então vale a relação de Euler. Ou seja, para um poliedro de V vértices, A arestas e F faces, vale que:
$$V - A + F = 2$$
A recíproca da frase anterior não é verdadeira, porque podemos ter uma terna ($$V$$, $$A$$, $$F$$) que satisfaz a equação $$V - A + F = 2$$ e, mesmo assim, termos um poliedro não convexo. Aliás, podemos nem ter poliedro algum!
Repare que na ilustração, $$V = 12$$, $$A = 18$$ e $$F = 8$$. Vale que $$V - A + F = 2$$, porém o sólido não é um Poliedro Convexo.
A relação de Euler funciona assim:
Se for um poliedro convexo, então é obrigatório que seja válida a relação $$V - A + F = 2$$.
Contudo: Se vale a relação $$V - A + F = 2$$, então o poliedro pode não ser poliedro convexo.