Discutir a quantidade de soluções reais de uma equação `g(x) = f(x)` pode ser facilitada pela exibição no mesmo plano cartesiano dos gráficos de `g(x)` e `f(x)`.
Dispensando o uso de calculadoras e/ou programas CAM (computer aided mathematics) um bom esboço dos gráficos de f e g vai ajudar a análise da equação que as envolve. Tudo dependerá da possibilidade pessoal de saber executar o esboço de cada uma das funções `f` e `g`.
Bem, um(a) aluno(a) pré-universitário(a) precisa saber confeccionar esboços, no mínimo, das seguintes funções:
1. Trigonométricas (seno, cosseno e tangente)
2. Polinomiais (1º e 2º grau)
3. Exponenciais e Logarítmicas
4. Modulares
Entretanto isso não impede que sejam apresentados, também, gráficos de outras funções e a partir disso sejam exigidas algumas interpretações, como por exemplo a discussão da quantidade se soluções reais de uma equação `f(x) = g(x)` ou mesmo a resolução em `\mathbb{R}` da referida equação.
Cardica
Qualquer ponto `(x_n, y_n)` comum aos dois gráficos de `f` e `g` dá uma solução `x_n` de `f(x) = g(x)`, pois `y_n = f(x_n) = g(x_n)`.
Exemplo 1
Resolva em `]0, 3[` a equação `f(x) = g(x)`, onde os gráficos de `f` e `g` são dados:
`f(x) ` |
`g(x)` |
Resolução
No intervalo `]0, 3[` os gráficos de `f` e `g` têm três intersecções:
`f(x) ` |
`g(x)` |
r: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( r ) = g( r ) e 0 < r < 1;
s: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( s ) = g( s ) e 1 < s < 2;
t: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( t ) = g( t ) e 2 < t < 3.
Exemplo 2
(FUVEST) A equação `2^x= -3x + 2`, com `x` real,
a) não tem solução.
b) tem uma única solução entre `0` e `2/3`.
c) tem uma solução entre `-2/3` e `0`.
d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.
e) tem mais de duas soluções.
Resolução
Se usarmos que `g(x)= 2^x` e `f(x)=-3x + 2`, a equação dada incialmente é, portanto, `f(x)=g(x)`.
`g(x) =2^x` |
`f(x)=-3x+2` |
Temos uma solução `r` entre `0` e `2/3`.
Resposta: B