Discutir a quantidade de soluções reais de uma equação $$g(x) = f(x)$$ pode ser facilitada pela exibição no mesmo plano cartesiano dos gráficos de $$g(x)$$ e $$f(x)$$.
Dispensando o uso de calculadoras e/ou programas CAM (computer aided mathematics) um bom esboço dos gráficos de f e g vai ajudar a análise da equação que as envolve. Tudo dependerá da possibilidade pessoal de saber executar o esboço de cada uma das funções $$f$$ e $$g$$.
Bem, um(a) aluno(a) pré-universitário(a) precisa saber confeccionar esboços, no mínimo, das seguintes funções:
1. Trigonométricas (seno, cosseno e tangente)
2. Polinomiais (1º e 2º grau)
3. Exponenciais e Logarítmicas
4. Modulares
Entretanto isso não impede que sejam apresentados, também, gráficos de outras funções e a partir disso sejam exigidas algumas interpretações, como por exemplo a discussão da quantidade se soluções reais de uma equação $$f(x) = g(x)$$ ou mesmo a resolução em $$\mathbb{R}$$ da referida equação.
Cardica
Qualquer ponto $$(x_n, y_n)$$ comum aos dois gráficos de $$f$$ e $$g$$ dá uma solução $$x_n$$ de $$f(x) = g(x)$$, pois $$y_n = f(x_n) = g(x_n)$$.
Exemplo 1
Resolva em $$]0, 3[$$ a equação $$f(x) = g(x)$$, onde os gráficos de $$f$$ e $$g$$ são dados:
`f(x) ` |
`g(x)` |
Resolução
No intervalo $$]0, 3[$$ os gráficos de $$f$$ e $$g$$ têm três intersecções:
`f(x) ` |
`g(x)` |
r: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( r ) = g( r ) e 0 < r < 1;
s: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( s ) = g( s ) e 1 < s < 2;
t: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( t ) = g( t ) e 2 < t < 3.
Exemplo 2
(FUVEST) A equação $$2^x= -3x + 2$$, com $$x$$ real,
a) não tem solução.
b) tem uma única solução entre $$0$$ e $$2/3$$.
c) tem uma solução entre $$-2/3$$ e $$0$$.
d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.
e) tem mais de duas soluções.
Resolução
Se usarmos que $$g(x)= 2^x$$ e $$f(x)=-3x + 2$$, a equação dada incialmente é, portanto, $$f(x)=g(x)$$.
`g(x) =2^x` |
`f(x)=-3x+2` |
Temos uma solução $$r$$ entre $$0$$ e $$2/3$$.
Resposta: B