Professor Cardy



Cardicas > Equações f(x) = g(x)

Discutir a quantidade de soluções reais de uma equação `g(x) = f(x)` pode ser facilitada pela exibição no mesmo plano cartesiano dos gráficos de `g(x)` e `f(x)`.

Dispensando o uso de calculadoras e/ou programas CAM (computer aided mathematics) um bom esboço dos gráficos de f e g vai ajudar a análise da equação que as envolve. Tudo dependerá da possibilidade pessoal de saber executar o esboço de cada uma das funções `f` e `g`.

Bem, um(a) aluno(a) pré-universitário(a) precisa saber confeccionar esboços, no mínimo, das seguintes funções:

1. Trigonométricas (seno, cosseno e tangente)

2. Polinomiais (1º e 2º grau)

3. Exponenciais e Logarítmicas

4. Modulares

Entretanto isso não impede que sejam apresentados, também, gráficos de outras funções e a partir disso sejam exigidas algumas interpretações, como por exemplo a discussão da quantidade se soluções reais de uma equação `f(x) = g(x)` ou mesmo a resolução em IR da referida equação.

 

Cardica

Qualquer ponto `(x_n, y_n)` comum aos dois gráficos de `f` e `g` dá uma solução `x_n` de `f(x) = g(x)`, pois `y_n = f(x_n) = g(x_n)`.

 

Exemplo — Resolva em `]0, 3[` a equação `f(x) = g(x)`, onde os gráficos de `f` e `g` são dados:

`f(x) `
`g(x)`
   
 

No intervalo `]0, 3[` os gráficos de `f` e `g` têm três intersecções:

`f(x) `
`g(x)`

r: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( r ) = g( r )  e  0 < r < 1;

s: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( s ) = g( s )  e  1 < s < 2;

t: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( t ) = g( t )  e   2 < t < 3.

 

 

 

Exemplo — (FUVEST) A equação `2^x= -3x + 2`, com `x` real,

 

a) não tem solução.

b) tem uma única solução entre `0` e `2/3`.

c) tem uma solução entre `-2/3` e `0`.

d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.

e) tem mais de duas soluções.

   
 

Se usarmos que `g(x)= 2^x` e `f(x)=-3x + 2`, a equação dada incialmente é, portanto, `f(x)=g(x)`.

`g(x) =2^x`
`f(x)=-3x+2`

 

Temos uma solução `r` entre `0` e `2/3`.

Resposta: B

 

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