Professor Cardy

web
statistics

FELIZ SOMA DOS CUBOS DOS NATURAIS DE 2 A 9:

23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 = 2024

Discutir a quantidade de soluções reais de uma equação $$g(x) = f(x)$$ pode ser facilitada pela exibição no mesmo plano cartesiano dos gráficos de $$g(x)$$ e $$f(x)$$.

Dispensando o uso de calculadoras e/ou programas CAM (computer aided mathematics) um bom esboço dos gráficos de f e g vai ajudar a análise da equação que as envolve. Tudo dependerá da possibilidade pessoal de saber executar o esboço de cada uma das funções $$f$$ e $$g$$.

Bem, um(a) aluno(a) pré-universitário(a) precisa saber confeccionar esboços, no mínimo, das seguintes funções:

1. Trigonométricas (seno, cosseno e tangente)

2. Polinomiais (1º e 2º grau)

3. Exponenciais e Logarítmicas

4. Modulares

Entretanto isso não impede que sejam apresentados, também, gráficos de outras funções e a partir disso sejam exigidas algumas interpretações, como por exemplo a discussão da quantidade se soluções reais de uma equação $$f(x) = g(x)$$ ou mesmo a resolução em $$\mathbb{R}$$ da referida equação.

Cardica

Qualquer ponto $$(x_n, y_n)$$ comum aos dois gráficos de $$f$$ e $$g$$ dá uma solução $$x_n$$ de $$f(x) = g(x)$$, pois $$y_n = f(x_n) = g(x_n)$$.



1

Exemplo 1


Resolva em $$]0, 3[$$ a equação $$f(x) = g(x)$$, onde os gráficos de $$f$$ e $$g$$ são dados:

`f(x) `
`g(x)`

Resolução

No intervalo $$]0, 3[$$ os gráficos de $$f$$ e $$g$$ têm três intersecções:

`f(x) `
`g(x)`

r: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( r ) = g( r )  e  0 < r < 1;

s: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( s ) = g( s )  e  1 < s < 2;

t: é uma solução de f(x) = g(x) porque f( t ) = g( t )  e   2 < t < 3.

2

Exemplo 2


(FUVEST) A equação $$2^x= -3x + 2$$, com $$x$$ real,


a) não tem solução.

b) tem uma única solução entre $$0$$ e $$2/3$$.

c) tem uma solução entre $$-2/3$$ e $$0$$.

d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.

e) tem mais de duas soluções.


Resolução

Se usarmos que $$g(x)= 2^x$$ e $$f(x)=-3x + 2$$, a equação dada incialmente é, portanto, $$f(x)=g(x)$$.

`g(x) =2^x`
`f(x)=-3x+2`

 

Temos uma solução $$r$$ entre $$0$$ e $$2/3$$.

Resposta: B