Em Geometria Plana, a potência de ponto `E` pode ser definida como o produto de todas as distâncias de `E` aos pontos de interseção de uma reta que passa por `E` com uma circunferência dada.
Vamos considerar apenas dois casos possíveis:
1º Caso - o ponto `E` é exterior à circunferência dada
O ponto `E` é a intersecção das secantes `bar(EA)` e `bar(ED)`.
Disto decorre que `EB \cdot EA = EC \cdot ED`. Ou seja:
`a\cdot (a+b) = x\cdot (x+y)`
Isso ocorre porque o triângulo `EAC` é semelhante ao triângulo `EDB` pelo caso AA (angulo+ângulo), pois:
1) O ângulo `E` do `\Delta_{EAC}` e do `\Delta_{EDB}` é comum, logo ∠(AEC) ≅ ∠(DEB).
2) O ângulo `A` do `\Delta_{EAC}` e o ângulo D do `\Delta_{EDB}` são ambos ângulos inscritos na circunferência e observam o mesmo arco `BC` (em destaque). Assim ∠(EAC) ≅ ∠(EDB).
Da semelhança decorre que:
`(BE)/(EC) = (ED)/(EA)`
`a/x = (x + y)/(a + b)`
`a\cdot (a+b) = x\cdot (x+y)`
2º Caso - o ponto `E` é interior à circunferência dada
O ponto `E` é a intersecção das cordas `bar(BD)` e `bar(CA)`.
Disto decorre que `DE \cdot EB = EC \cdot EA`. Ou seja:
`a\cdot b = x\cdot y`
Isso ocorre porque o triângulo EAD é semelhante ao triângulo EBC pelo caso AA (angulo+ângulo), pois:
1) O ângulo `E` (oposto pelo vértice) do `\Delta_{EAD}` e `\Delta_{EBC}` são congruentes (mesma medida). ∠(DEA) ≅ ∠(BEC).
2) O ângulo `A` do `\Delta_{EAD}` e o ângulo B do `\Delta_{EBC}` são ambos ângulos inscritos na circunferência e observam o mesmo arco BD (em destaque). Assim ∠(DAE) ≅ ∠(EBC).
Da semelhança decorre que:
`(DE)/(EC) = (EA)/(EB)`
`a/x = y/b`
`a\cdot b = x\cdot y`
Exemplo 1
Encontre o valor de `x`:
Resolução
Como temos duas cordas que se encontram, então :
`1 \cdot (x + 5) = x\cdot 13`
`x + 5 = 13x`
`12x = 5`
`x = 5/12`
Exemplo 2
A circunferência de centro `O` tem raio `4`, a reta `CD` é perpendicular à reta `AB` no ponto `F`, médio de `\bar{OB}`. Determine `FC`.
Resolução
Como a reta `CD` é perpendicular à reta `AB` no ponto `F`, em `F` temos determinado ângulo reto (`\alpha = 90º`). Repare na ilustração os segmentos auxiliares `\bar{OC}` e `\bar{OD}` que também são raios da circunferência e, portanto, também medem `4` ( `OA=OB=OC=OD=4` ). Foi enunciado que `F` é ponto médio de `\bar{OB}`, logo temos que `OF=FB=2` uma vez que `OB=4`.
Como os triângulos `OFC` e `OFD` são retângulos, tem hipotenusa e um dos catetos de mesma medida, então `OFC` e `OFD` são congruentes (todas as medidas dos seus lados correspondentes são iguais). Assim concluimos que `FC=FD` e adotaremos essa medida como `x`, Então `FC=FD = x`.
Podemos obter o valor de `x` por dois modos.
Primeiro modo. Por Pitágoras no triângulo `OFC`:
`OC^2 = OF^2 + x^2`
`4^2 = 2^2 + x^2`
`x^2 = 4^2-2^2=16-4=12`
`x=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}`
Segundo modo. Usando Potência de Ponto:
`FC\cdot FD=AF\cdot FB`
`x\cdot x=6\cdot 2`
`x^2=12`
`x=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}`
Resposta: `FC=2\sqrt{3}`