Professor Cardy

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Em Geometria Plana, a potência de ponto $$E$$ pode ser definida como o produto de todas as distâncias de $$E$$ aos pontos de interseção de uma reta que passa por $$E$$ com uma circunferência dada.

Vamos considerar apenas dois casos possíveis:

1º Caso - o ponto $$E$$ é exterior à circunferência dada

O ponto $$E$$ é a intersecção das secantes $$bar(EA)$$ e $$bar(ED)$$.

Disto decorre que $$EB * EA = EC * ED$$. Ou seja:

$$a*(a+b) = x*(x+y)$$

 

Isso ocorre porque o triângulo $$EAC$$ é semelhante ao triângulo $$EDB$$ pelo caso AA (angulo+ângulo), pois:

1) O ângulo $$E$$ do $$\Delta_{EAC}$$ e do $$\Delta_{EDB}$$ é comum, logo ∠(AEC)∠(DEB).

2) O ângulo $$A$$ do $$\Delta_{EAC}$$ e o ângulo D do $$\Delta_{EDB}$$ são ambos ângulos inscritos na circunferência e observam o mesmo arco $$BC$$ (em destaque). Assim ∠(EAC) ∠(EDB).

Da semelhança decorre que:

$$(BE)/(EC) = (ED)/(EA)$$

$$a/x = (x + y)/(a + b)$$

$$a*(a+b) = x*(x+y)$$

2º Caso - o ponto $$E$$ é interior à circunferência dada

O ponto $$E$$ é a intersecção das cordas $$bar(BD)$$ e $$bar(CA)$$.

Disto decorre que $$DE * EB = EC * EA$$. Ou seja:

$$a*b = x*y$$

 

Isso ocorre porque o triângulo EAD é semelhante ao triângulo EBC pelo caso AA (angulo+ângulo), pois:

1) O ângulo $$E$$ (oposto pelo vértice) do $$\Delta_{EAD}$$ e $$\Delta_{EBC}$$ são congruentes (mesma medida). ∠(DEA)∠(BEC).

2) O ângulo $$A$$ do $$\Delta_{EAD}$$ e o ângulo B do $$\Delta_{EBC}$$ são ambos ângulos inscritos na circunferência e observam o mesmo arco BD (em destaque). Assim ∠(DAE) ∠(EBC).

Da semelhança decorre que:

$$(DE)/(EC) = (EA)/(EB)$$

$$a/x = y/b$$

$$a*b = x*y$$

 

 

1

Exemplo 1


Encontre o valor de $$x$$:


Resolução

Como temos duas cordas que se encontram, então :

$$1 * (x + 5) = x*13$$

$$x + 5 = 13x$$

$$12x = 5$$

$$x = 5/12$$

2

Exemplo 2

A circunferência de centro $$O$$ tem raio $$4$$, a reta $$CD$$ é perpendicular à reta $$AB$$ no ponto $$F$$, médio de $$\bar{OB}$$. Determine $$FC$$.


Resolução


Como a reta $$CD$$ é perpendicular à reta $$AB$$ no ponto $$F$$, em $$F$$ temos determinado ângulo reto ($$\alpha = 90º$$). Repare na ilustração os segmentos auxiliares $$\bar{OC}$$ e $$\bar{OD}$$ que também são raios da circunferência e, portanto, também medem $$4$$ ( $$OA=OB=OC=OD=4$$ ). Foi enunciado que $$F$$ é ponto médio de $$\bar{OB}$$, logo temos que $$OF=FB=2$$ uma vez que $$OB=4$$.

Como os triângulos $$OFC$$ e $$OFD$$ são retângulos, tem hipotenusa e um dos catetos de mesma medida, então $$OFC$$ e $$OFD$$ são congruentes (todas as medidas dos seus lados correspondentes são iguais). Assim concluimos que $$FC=FD$$ e adotaremos essa medida como $$x$$, Então $$FC=FD = x$$.

Podemos obter o valor de $$x$$ por dois modos.

Primeiro modo. Por Pitágoras no triângulo $$OFC$$:

$$OC^2 = OF^2 + x^2$$

$$4^2 = 2^2 + x^2$$

$$x^2 = 4^2-2^2=16-4=12$$

$$x=\sqrt{12}=\sqrt{4*3}=2\sqrt{3}$$

 

Segundo modo. Usando Potência de Ponto:

$$FC*FD=AF*FB$$

$$x*x=6*2$$

$$x^2=12$$

$$x=\sqrt{12}=\sqrt{4*3}=2\sqrt{3}$$

Resposta: $$FC=2\sqrt{3}$$