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Em Geometria Plana, a potência de ponto `E` pode ser definida como o produto de todas as distâncias de `E` aos pontos de interseção de uma reta que passa por `E` com uma circunferência dada.

Vamos considerar apenas dois casos possíveis:

1º Caso - o ponto `E` é exterior à circunferência dada

O ponto `E` é a intersecção das secantes `bar(EA)` e `bar(ED)`.

Disto decorre que `EB * EA = EC * ED`. Ou seja:

`a*(a+b) = x*(x+y)`

 

Isso ocorre porque o triângulo `EAC` é semelhante ao triângulo `EDB` pelo caso AA (angulo+ângulo), pois:

1) O ângulo `E` do `\Delta_{EAC}` e do `\Delta_{EDB}` é comum, logo ∠(AEC)∠(DEB).

2) O ângulo `A` do `\Delta_{EAC}` e o ângulo D do `\Delta_{EDB}` são ambos ângulos inscritos na circunferência e observam o mesmo arco `BC` (em destaque). Assim ∠(EAC) ∠(EDB).

Da semelhança decorre que:

`(BE)/(EC) = (ED)/(EA)`

`a/x = (x + y)/(a + b)`

`a*(a+b) = x*(x+y)`

2º Caso - o ponto `E` é interior à circunferência dada

O ponto `E` é a intersecção das cordas `bar(BD)` e `bar(CA)`.

Disto decorre que `DE * EB = EC * EA`. Ou seja:

`a*b = x*y`

 

Isso ocorre porque o triângulo EAD é semelhante ao triângulo EBC pelo caso AA (angulo+ângulo), pois:

1) O ângulo `E` (oposto pelo vértice) do `\Delta_{EAD}` e `\Delta_{EBC}` são congruentes (mesma medida). ∠(DEA)∠(BEC).

2) O ângulo `A` do `\Delta_{EAD}` e o ângulo B do `\Delta_{EBC}` são ambos ângulos inscritos na circunferência e observam o mesmo arco BD (em destaque). Assim ∠(DAE) ∠(EBC).

Da semelhança decorre que:

`(DE)/(EC) = (EA)/(EB)`

`a/x = y/b`

`a*b = x*y`

 

 

1

Exemplo 1


Encontre o valor de `x`:


Resolução

Como temos duas cordas que se encontram, então :

`1 * (x + 5) = x*13`

`x + 5 = 13x`

`12x = 5`

`x = 5/12`

2

Exemplo 2

A circunferência de centro `O` tem raio `4`, a reta `CD` é perpendicular à reta `AB` no ponto `F`, médio de `\bar{OB}`. Determine `FC`.


Resolução


Como a reta `CD` é perpendicular à reta `AB` no ponto `F`, em `F` temos determinado ângulo reto (`\alpha = 90º`). Repare na ilustração os segmentos auxiliares `\bar{OC}` e `\bar{OD}` que também são raios da circunferência e, portanto, também medem `4` ( `OA=OB=OC=OD=4` ). Foi enunciado que `F` é ponto médio de `\bar{OB}`, logo temos que `OF=FB=2` uma vez que `OB=4`.

Como os triângulos `OFC` e `OFD` são retângulos, tem hipotenusa e um dos catetos de mesma medida, então `OFC` e `OFD` são congruentes (todas as medidas dos seus lados correspondentes são iguais). Assim concluimos que `FC=FD` e adotaremos essa medida como `x`, Então `FC=FD = x`.

Podemos obter o valor de `x` por dois modos.

Primeiro modo. Por Pitágoras no triângulo `OFC`:

`OC^2 = OF^2 + x^2`

`4^2 = 2^2 + x^2`

`x^2 = 4^2-2^2=16-4=12`

`x=\sqrt{12}=\sqrt{4*3}=2\sqrt{3}`

 

Segundo modo. Usando Potência de Ponto:

`FC*FD=AF*FB`

`x*x=6*2`

`x^2=12`

`x=\sqrt{12}=\sqrt{4*3}=2\sqrt{3}`

Resposta: `FC=2\sqrt{3}`



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