Controles os valores de a, x1 e x2.
Resultados Obtidos
a , onde a =

x1 , onde x1 =

x2 , onde x2 =

f(x) = [x – ()][x – ()]

Conjunto Solução, S = {x1 , x2 } = { , }

Você pode mudar os valores acima, clicando nos botões vermelhos ou azuis.  



Muitas das vezes que lidamos com uma Função Quadrática, cuja lei está escrita na forma geral `f(x) = ax^2 + bx + c` temos todos os elementos necessários, por exemplo, para determinar os seus zeros (valores que a variável assume de modo que a imagem, o resultado, dê zero: é o valor de `x` que faz com que `f(x) = 0`).

Porém, existe uma outra forma de escrever a lei da função de modo que seja mais evidente os valores de `x` que podem anular a `f(x)`. Tal forma é a Forma Fatorada.

Aprenda

Toda Função Quadrática de coeficientes reais (`a != 0`) `f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}`, com `f(x) = ax^2 + b x + c` admite zeros. Ou seja, valores de `x `que fazem com que `f(x) = 0`.

Coeficientes: `a`, `b` e `c` (são números reais com a ≠ 0).

Variável: `x` (é um número complexo).



Analise o Discriminante Delta

`\Delta = b^2 - 4ac.`


i) Se `\Delta = b^2 - 4ac > 0` os dois zeros `x_1` e `x_2` são números reais e distintos.

`x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}`.

`x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}`.

ii) Se `\Delta = b^2 - 4ac = 0` os zeros `x_1` e `x_2` são números reais e iguais. Dizemos que o zero tem Multiplicidade Dois ou que é zero duplo.

`x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}`.

`x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b - \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}`.

iii) Se `\Delta = b^2 - 4ac < 0` os dois zeros `x_1` e `x_2` não são números reais. São imaginários, conjugados e distintos.

`x_1 = \frac{-b + i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}`.

`x_2 = \frac{-b - i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}`.

Quadro Resumo
`\Delta = b^2 - 4ac.`
Quantidade de Zeros: Zeros são: Os zeros entre si:
`\Delta > 0`
2 Reais Distintos
`\Delta = 0` 2* Reais Iguais
`\Delta < 0` 2 Imaginários Distintos

*zero duplo ou zero de multiplicidade 2.



A Forma Fatorada

Toda função quadrática pode ser escrita na Forma Fatorada:

`f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)`

Onde `x_1` e `x_2` são os zeros da função (`a != 0`).

Para passar da Forma Fatorada para a Forma Geral clique aqui.

1

Exemplo 1


Passe a lei da função `f` para a forma fatorada, onde `f(x) = 2x^2-10x+12`.


Resolução


Os zeros de `f(x) = 2x^2-10x+12` são `x_1 =2 ` e `x_2=3` (confira aqui) e temos `a=2`. Assim `f(x) = 2x^2-10x+12 = 2(x-2)(x-3)`

Portanto, a lei de `f` na forma fatorada fica como `f(x) = 2(x-2)(x-3)`.



A Forma Geral

Toda função quadrática pode ser escrita na Forma Geral:

`f(x) = ax^2 + bx + c`


2

Exemplo 2


Dada `f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{4}`, obtenha a lei de `f` na forma geral.


Resolução

`f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{4} = \frac{x^2 -4 }{4}=\frac{x^2}{4}-4/4= \frac{1}{4}*x^2-1`.

Portanto, a lei de `f` na forma geral fica como `f(x) = \frac{1}{4}x^2-1`.

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