Professor Cardy

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Controles os valores de a, x1 e x2.
Resultados Obtidos
a , onde a =

x1 , onde x1 =

x2 , onde x2 =

f(x) = [x – ()][x – ()]

Conjunto Solução, S = {x1 , x2 } = { , }

Você pode mudar os valores acima, clicando nos botões vermelhos ou azuis.  



Muitas das vezes que lidamos com uma Função Quadrática, cuja lei está escrita na forma geral $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ temos todos os elementos necessários, por exemplo, para determinar os seus zeros (valores que a variável assume de modo que a imagem, o resultado, dê zero: é o valor de $$x$$ que faz com que $$f(x) = 0$$).

Porém, existe uma outra forma de escrever a lei da função de modo que seja mais evidente os valores de $$x$$ que podem anular a $$f(x)$$. Tal forma é a Forma Fatorada.

Aprenda

Toda Função Quadrática de coeficientes reais ($$a != 0$$) $$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$$, com $$f(x) = ax^2 + b x + c$$ admite zeros. Ou seja, valores de $$x $$que fazem com que $$f(x) = 0$$.

Coeficientes: $$a$$, $$b$$ e $$c$$ (são números reais com a ≠ 0).

Variável: $$x$$ (é um número complexo).



Analise o Discriminante Delta

$$\Delta = b^2 - 4ac.$$


i) Se $$\Delta = b^2 - 4ac > 0$$ os dois zeros $$x_1$$ e $$x_2$$ são números reais e distintos.

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$.

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$.

ii) Se $$\Delta = b^2 - 4ac = 0$$ os zeros $$x_1$$ e $$x_2$$ são números reais e iguais. Dizemos que o zero tem Multiplicidade Dois ou que é zero duplo.

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}$$.

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b - \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}$$.

iii) Se $$\Delta = b^2 - 4ac < 0$$ os dois zeros $$x_1$$ e $$x_2$$ não são números reais. São imaginários, conjugados e distintos.

$$x_1 = \frac{-b + i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}$$.

$$x_2 = \frac{-b - i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}$$.

Quadro Resumo
`\Delta = b^2 - 4ac.`
Quantidade de Zeros: Zeros são: Os zeros entre si:
`\Delta > 0`
2 Reais Distintos
`\Delta = 0` 2* Reais Iguais
`\Delta < 0` 2 Imaginários Distintos

*zero duplo ou zero de multiplicidade 2.



A Forma Fatorada

Toda função quadrática pode ser escrita na Forma Fatorada:

$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Onde $$x_1$$ e $$x_2$$ são os zeros da função ($$a != 0$$).

Para passar da Forma Fatorada para a Forma Geral clique aqui.

1

Exemplo 1


Passe a lei da função $$f$$ para a forma fatorada, onde $$f(x) = 2x^2-10x+12$$.


Resolução


Os zeros de $$f(x) = 2x^2-10x+12$$ são $$x_1 =2 $$ e $$x_2=3$$ (confira aqui) e temos $$a=2$$. Assim $$f(x) = 2x^2-10x+12 = 2(x-2)(x-3)$$

Portanto, a lei de $$f$$ na forma fatorada fica como $$f(x) = 2(x-2)(x-3)$$.



A Forma Geral

Toda função quadrática pode ser escrita na Forma Geral:

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$


2

Exemplo 2


Dada $$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{4}$$, obtenha a lei de $$f$$ na forma geral.


Resolução

$$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{4} = \frac{x^2 -4 }{4}=\frac{x^2}{4}-4/4= \frac{1}{4}*x^2-1$$.

Portanto, a lei de $$f$$ na forma geral fica como $$f(x) = \frac{1}{4}x^2-1$$.