Professor Cardy



Cardicas > Forma Fatorada de uma Função Quadrática

Muitas das vezes que lidamos com uma Função Quadrática, cuja lei está escrita na forma geral f(x) = ax2 + bx + c temos todos os elementos necessários, por exemplo, para determinar os seus zeros (valores que a variável assume de modo que a imagem, o resultado, dê zero: é o valor de x que faz com que f(x) = 0).

Porém, existe uma outra forma de escrever a lei da função de modo que seja mais evidente os valores de x que podem anular a f(x). Tal forma é a Forma Fatorada.


Cardica

Toda Função Quadrática de coeficientes reais (`a != 0`) `f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}`, com `f(x) = ax^2 + b x + c` admite zeros. Ou seja, valores de `x `que fazem com que `f(x) = 0`.

 

Coeficientes: `a`, `b` e `c` (são números reais com a ≠ 0).

Variável: `x` (é um número complexo).

 

Analise o Discriminante Delta

`\Delta = b^2 - 4ac.`

 

i) Se `\Delta = b^2 - 4ac > 0` os dois zeros `x_1` e `x_2` são números reais e distintos.

`x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}`.

`x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}`.

 

ii) Se `\Delta = b^2 - 4ac = 0` os zeros `x_1` e `x_2` são números reais e iguais. Dizemos que o zero tem Multiplicidade Dois ou que é zero duplo.

`x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}`.

`x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b - \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}`.

 

iii) Se `\Delta = b^2 - 4ac < 0` os dois zeros `x_1` e `x_2` não são números reais. São imaginários, conjugados e distintos.

`x_1 = \frac{-b + i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}`.

`x_2 = \frac{-b - i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}`.

 

Quadro Resumo

`\Delta = b^2 - 4ac.`
Quantidade de Zeros: Zeros são: Os zeros entre si:
`\Delta > 0`
2 Reais Distintos
`\Delta = 0` 2* Reais Iguais
`\Delta < 0` 2 Imaginários Distintos

 

*zero duplo ou zero de multiplicidade 2.

 

 

A Forma Fatorada

Toda função quadrática pode ser escrita na Forma Fatorada:

`f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)`

Onde `x_1` e `x_2` são os zeros da função (`a != 0`).

Para passar da Forma Fatorada para a Forma Geral clique aqui.


Aplicativo Interativo

Controles os valores de a, x1 e x2.
Resultados Obtidos
a , onde a =

x1 , onde x1 =

x2 , onde x2 =

f(x) = [x – ()][x – ()]

Conjunto Solução, S = {x1 , x2 } = { , }

Você pode mudar os valores acima, clicando nos botões vermelhos ou azuis.  

 

A Forma Fatorada para a Forma Geral

Basta efetuar a expressão `a(x - x_1)(x - x_2)` e usar que `x_1+x_2 = \frac{-b}{a}` e `x_1x_2 = \frac{c}{a}` (Relações de Girard).

`f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) `

`f(x) = ax^2 - (x_1 + x_2)ax +x_1x_2a `

`f(x) = ax^2 - (\frac{-b}{a})ax +(\frac{c}{a})a `

`f(x) = ax^2 +bx + c `

 

Função

Função do 2° Grau

Forma Fatorada de uma Função Quadrática

Forma Canônica de uma Função Quadrática

Função Quadrática Inversa

Outras

Função Condicional

Função Composta

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