Muitas das vezes que lidamos com uma Função Quadrática, cuja lei está escrita na forma geral $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ temos todos os elementos necessários, por exemplo, para determinar os seus zeros (valores que a variável assume de modo que a imagem, o resultado, dê zero: é o valor de $$x$$ que faz com que $$f(x) = 0$$).
Porém, existe uma outra forma de escrever a lei da função de modo que seja mais evidente os valores de $$x$$ que podem anular a $$f(x)$$. Tal forma é a Forma Fatorada.
Aprenda
Toda Função Quadrática de coeficientes reais ($$a != 0$$) $$f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$$, com $$f(x) = ax^2 + b x + c$$ admite zeros. Ou seja, valores de $$x $$que fazem com que $$f(x) = 0$$.
Coeficientes: $$a$$, $$b$$ e $$c$$ (são números reais com a ≠ 0).
Variável: $$x$$ (é um número complexo).
Analise o Discriminante Delta
$$\Delta = b^2 - 4ac.$$
i) Se $$\Delta = b^2 - 4ac > 0$$ os dois zeros $$x_1$$ e $$x_2$$ são números reais e distintos.
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$.
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$.
ii) Se $$\Delta = b^2 - 4ac = 0$$ os zeros $$x_1$$ e $$x_2$$ são números reais e iguais. Dizemos que o zero tem Multiplicidade Dois ou que é zero duplo.
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}$$.
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b - \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}$$.
iii) Se $$\Delta = b^2 - 4ac < 0$$ os dois zeros $$x_1$$ e $$x_2$$ não são números reais. São imaginários, conjugados e distintos.
$$x_1 = \frac{-b + i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}$$.
$$x_2 = \frac{-b - i\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}$$.
Quadro Resumo
`\Delta = b^2 - 4ac.` |
Quantidade de Zeros: | Zeros são: | Os zeros entre si: |
`\Delta > 0` |
2 | Reais | Distintos |
`\Delta = 0` | 2* | Reais | Iguais |
`\Delta < 0` | 2 | Imaginários | Distintos |
*zero duplo ou zero de multiplicidade 2.
A Forma Fatorada
Toda função quadrática pode ser escrita na Forma Fatorada:
$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$
Onde $$x_1$$ e $$x_2$$ são os zeros da função ($$a != 0$$).
Para passar da Forma Fatorada para a Forma Geral clique aqui.
Exemplo 1
Passe a lei da função $$f$$ para a forma fatorada, onde $$f(x) = 2x^2-10x+12$$.
Resolução
Os zeros de $$f(x) = 2x^2-10x+12$$ são $$x_1 =2 $$ e $$x_2=3$$ (confira aqui) e temos $$a=2$$. Assim $$f(x) = 2x^2-10x+12 = 2(x-2)(x-3)$$
Portanto, a lei de $$f$$ na forma fatorada fica como $$f(x) = 2(x-2)(x-3)$$.
Toda função quadrática pode ser escrita na Forma Geral:
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
Exemplo 2
Dada $$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{4}$$, obtenha a lei de $$f$$ na forma geral.
Resolução
$$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{4} = \frac{x^2 -4 }{4}=\frac{x^2}{4}-4/4= \frac{1}{4}*x^2-1$$.
Portanto, a lei de $$f$$ na forma geral fica como $$f(x) = \frac{1}{4}x^2-1$$.