O Plano de Argand-Gauss
Tal plano é utilizado para a representação dos pontos que correspondem a números complexos. Cada número complexo está associado a um único ponto desse plano e vice-versa. Saiba mais sobre Gauss aqui.
Sob os aspectos mais evidentes, o Plano de Argand-Gauss é um Plano Cartesiano, constituído de dois eixos orientados e perpendiculares entre sí. O ponto comum entre os dois eixos é denominado Origem.
Cuidado
No diagrama acima foram inseridas linhas de chamada auxiliares, formando uma grade. A representação gráfica do Plano de Argand-Gauss não requisita que isso seja exibido. Contudo, a partir dessa ilustração seguirei as explicações.
O Afixo de Número Complexo no Plano de Argand-Gauss
O ponto que representa o número no plano é chamado de Afixo do número.
Um número complexo escrito na Forma Algébrica $$z = x+iy$$, com $$x$$ a Parte Real e com $$y$$ a Parte Imaginária e sendo $$i$$ a unidade imaginária ($$i=\sqrt{-1}$$) tem seu afixo o par ordenado $$(x,y)$$.
Vejamos como fica o afixo de $$z=2+3i$$.
Forma Algébrica
$$z = 2+3i$$
Parte Real
2
Parte Imaginária
3
Afixo do Plano
$$(2,3)$$
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Exemplo 1
Determine no Plano de Argand-Gauss o afixo de $$3*(2-i)$$.
Resolução
O número $$3*(2-i)$$ não está na forma algébrica. Ao registrarmos um número complexo na forma algébrica, teremos as coordenadas do afixo $$x$$ e $$y$$ em $$(x,y)$$, respectivamente a Parte Real e a Parte Imaginária do número.
$$3*(2-i) = 6 - 3i$$ — fazendo a distributiva.
Portanto, o número dado $$3*(2-i)$$ é $$6-3i$$ na forma algébrica. Logo, o seu afixo tem coordenadas $$(6,-3)$$.
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Exemplo 2
Determine no Plano de Argand-Gauss o afixo de $$(1+i)^4$$.
Resolução
O número $$(1+i)^4$$ não está na forma algébrica.
Para evitar o desenvolvimento direto com o expoente $$4$$, podemos seguir um "atalho" separando assim a potência: $$(1+i)^4 = ((1+i)^2)^2$$.
Vamos simplificar primeiramente $$(1+i)^2$$.
$$(1+i)^2 = 1+2i+i^2$$ — quadrado da soma.
$$(1+i)^2 =1+2i-1$$ — usando que $$i^2 = -1$$.
$$(1+i)^2 = (1-1) +2i$$ — reagrupando termos, de modo conveniente.
$$(1+i)^2 = (0) +2i$$ — simplificando.
$$(1+i)^2 = 2i$$ — "limpando" partículas da notação dispensáveis.
Voltando em $$(1+i)^4$$:
$$(1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 = (2i)^2 = 4*i^2=4*(-1)=-4$$
Então $$(1+i)^4$$ é igual a $$-4$$ que é um número real, mas é também um número complexo. E, portanto, pode ser escrito na forma algébrica $$-4=-4+0i$$ cujo afixo é $$(-4,0)$$.
Não se esqueça que todos os números reais são números complexos. O conjunto dos Reais é um subconjunto dos Complexos.
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