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A Forma Algébrica de um Número Complexo.

O Módulo de um Número Complexo.

O Plano de Argand-Gauss

Tal plano é utilizado para a representação dos pontos que correspondem a números complexos. Cada número complexo está associado a um único ponto desse plano e vice-versa. Saiba mais sobre Gauss aqui.

Sob os aspectos mais evidentes, o Plano de Argand-Gauss é um Plano Cartesiano, constituído de dois eixos orientados e perpendiculares entre sí. O ponto comum entre os dois eixos é denominado Origem.

Cuidado

No diagrama acima foram inseridas linhas de chamada auxiliares, formando uma grade. A representação gráfica do Plano de Argand-Gauss não requisita que isso seja exibido. Contudo, a partir dessa ilustração seguirei as explicações.

O Afixo de Número Complexo no Plano de Argand-Gauss

O ponto que representa o número no plano é chamado de Afixo do número.

Um número complexo escrito na Forma Algébrica `z = x+iy`, com `x` a Parte Real e com `y` a Parte Imaginária e sendo `i` a unidade imaginária (`i=\sqrt{-1}`) tem seu afixo o par ordenado `(x,y)`.

Vejamos como fica o afixo de `z=2+3i`.

Forma Algébrica

`z = 2+3i`

Parte Real

2

Parte Imaginária

3

Afixo do Plano

`(2,3)`

 

1

Exemplo 1


Determine no Plano de Argand-Gauss o afixo de `3*(2-i)`.


Resolução

O número `3*(2-i)` não está na forma algébrica. Ao registrarmos um número complexo na forma algébrica, teremos as coordenadas do afixo `x` e `y` em `(x,y)`, respectivamente a Parte Real e a Parte Imaginária do número.

`3*(2-i) = 6 - 3i` — fazendo a distributiva.

Portanto, o número dado `3*(2-i)` é `6-3i` na forma algébrica. Logo, o seu afixo tem coordenadas `(6,-3)`.


2

Exemplo 2


Determine no Plano de Argand-Gauss o afixo de `(1+i)^4`.


Resolução


O número `(1+i)^4` não está na forma algébrica.

Para evitar o desenvolvimento direto com o expoente `4`, podemos seguir um "atalho" separando assim a potência: `(1+i)^4 = ((1+i)^2)^2`.

Vamos simplificar primeiramente `(1+i)^2`.

`(1+i)^2 = 1+2i+i^2` — quadrado da soma.

`(1+i)^2 =1+2i-1` — usando que `i^2 = -1`.

`(1+i)^2 = (1-1) +2i` — reagrupando termos, de modo conveniente.

`(1+i)^2 = (0) +2i` — simplificando.

`(1+i)^2 = 2i` — "limpando" partículas da notação dispensáveis.

Voltando em `(1+i)^4`:

`(1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 = (2i)^2 = 4*i^2=4*(-1)=-4`

Então `(1+i)^4` é igual a `-4` que é um número real, mas é também um número complexo. E, portanto, pode ser escrito na forma algébrica `-4=-4+0i` cujo afixo é `(-4,0)`.

Não se esqueça que todos os números reais são números complexos. O conjunto dos Reais é um subconjunto dos Complexos.


A Forma Algébrica de um Número Complexo.

O Módulo de um Número Complexo.


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