Para se obter a área de um polígono convexo, conhecendo as coordenadas de todos os seus vértices no Plano Cartesiano, podemos usar um método bastante prático (contudo, muito pouco conhecido).
Vamos obter a área do pentágono de coordenadas $$(2,7)$$, $$(6,6)$$, $$(4, 1)$$, $$(1,4)$$ e $$(7, 3)$$.
Etapa ZERO
A etapa ZERO é a inicial. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano (apenas para verificar as posições relativas entre os pontos e TER CERTEZA que é um polígono convexo!).
Já coloquei nomes para os pontos $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ e $$E$$ (usei ordem alfabética para o sentido anti-horário da exposição dos pontos no Plano Cartesiano. Assim, $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ e $$E(1,4)$$.
Etapa 1
A primeira tarefa é tomar os vértices (pode começar em qualquer um dos vértices, mas vou iniciar pelo vértice $$A$$ mesmo) ou em ordem horária ou em ordem anti-horária:
Horária: $$A(4, 1)$$, $$E(1,4)$$, $$D(2,7)$$, $$C(6,6)$$ e $$B(7, 3)$$.
Anti-horária: $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ e $$E(1,4)$$.
Atenção
Atenção! Basta registrar UMA das ordens acima! Eu citei as duas para exibir que temos sempre duas possibilidades!
Vou completar as explicações para UMA delas apenas, que é suficiente, ok? Vou usar a ordem ANTI-HORÁRIA.
Etapa 2
A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:
Anti-horária: $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ , $$E(1,4)$$ e $$A(4, 1)$$.
Etapa 3
A terceira tarefa é organizar as coordenadas na forma de uma tabela:
Anti-horária: $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ , $$E(1,4)$$ e $$A(4, 1)$$.
`4` |
`1` |
`7` |
`3` |
`6` |
`6` |
`2` |
`7` |
`1` |
`4` |
`4` |
`1` |
Reparou? Devemos colocar de cima para baixo (na ordem!) as apenas as coordenadas, sem os elementos da notação de ponto. Veja, o ponto $$D(2, 7)$$ foi registrado apenas $$2$$ e depois $$7$$ na sua linha devida.
Etapa 4
A quarta tarefa é multiplicar à direita coordenadas usando as seguintes duplas bem específicas:
Anti-horária: $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ , $$E(1,4)$$ e $$A(4, 1)$$.
Nessa etapa, aproveite a disposição indicada dos resultados das multiplicações e os SOME:
Guarde o resultado 12 + 42 + 42 + 8 + 1 = 105 pois ele será usado mais tarde.
Etapa 5
A quinta tarefa é multiplicar à esquerda coordenadas usando as seguintes duplas bem específicas:
Anti-horária: $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ , $$E(1,4)$$ e $$A(4, 1)$$.
Nessa etapa, aproveite a disposição indicada dos resultados das multiplicações e os SOME:
Guarde o resultado 7 + 18 + 12 + 7 + 16 = 60 pois ele será usado mais tarde.
Etapa 6
A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:
I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas.
II. Divida por 2 o resultado anterior. O resultado, em módulo (pois o resultado tem que ficar positivo - uma vez que corresponde a uma ÁREA)...
... Enfim, o resultado II, ficando positivo, é a área procurada!
Módulo
Nem sempre você vai precisar se preocupar com a palavra "módulo" e o seu significado mais profundo. A essência aqui é "o resultado FINAL tem que ficar positivo".
Como, eventualmente, as coordenadas envolvem números negativos e o módulo pode ser obrigatório porque se o resultado da conta II der negativo, vamos precisar, digamos assim, na prática apenas "passar para positivo".
Faça isso:
Se a conta II der positivo, tudo bem, fica assim!
Se a conta II der negativo, passe para positivo.
Exemplo: Digamos que em II resultou $$120$$, como $$|120| = 120$$ a área é $$120$$.
Exemplo: Digamos que em II resultou $$-70$$, como $$|-70| = 70$$ a área é $$70$$.
Olhe, estou dando apenas a regra prática que significa, digamos assim, uma "receita para fazer". Num outro eventual artigo eu posso fazer as explicações dos motivos disso tudo, mas isso AQUI ia dificultar em muito a assimilação de um procedimento já com MUITOS detalhes.
Retomando...
I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:
$$105$$ – $$60$$ = $$45$$
II. Divida por 2 o resultado anterior:
$$45$$ : $$2$$ = $$45/2$$
A área do polígono é $$45/2$$.
Exemplo 1
Obter a área de um triângulo de vértices $$A(1,2)$$, $$B(7,2)$$ e $$C(4,7)$$
Resolução
0. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano.
1. Dispor as coordenadas numa das ordens (ou horária ou anti-horária):
Anti-horária: $$A(1,2)$$, $$B(7,2)$$ e $$C(4,7)$$.
2. A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:
Anti-horária: $$A(1, 2)$$, $$B(7, 2)$$, $$C(4,7)$$ e $$A(1, 2)$$.
3. Organizar as coordenadas na tabela:
`1` |
`2` |
`7` |
`2` |
`4` |
`7` |
`1` |
`2` |
4. A quarta tarefa é multiplicar à direita certas coordenadas e depois somar os resultados:
|
|
5. A quinta tarefa é multiplicar à esquerda certas coordenadas e depois somar os resultados:
|
|
6. A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:
I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:
$$59$$ – $$29$$ = $$30$$
II. Divida por 2 o resultado anterior:
$$30$$: $$2$$ = $$15$$
A área procurada é $$15$$.
É claro que eu usei um exemplo para que você pudesse constatar por um caminho fácil que a área desse triângulo é realmente $$15$$, repare:
Área = $$frac{text{base}xx\text{altura}}{2}=\frac{6xx5}{2}=15$$
Exemplo 2
Obter a área de um triângulo de vértices $$(1,-1)$$, $$(-5,5)$$ e $$(-6,-6)$$.
Resolução
0. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano.
1. Dispor as coordenadas numa das ordens (ou horária ou anti-horária):
Anti-horária: $$(1,-1)$$, $$(-5,5)$$ e $$(-6,-6)$$
2. A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:
Anti-horária: $$(1, -1)$$, $$(-5, 5)$$, $$(-6,-6)$$ e $$(1, -1)$$.
3. Organizar as coordenadas na tabela:
`1` |
`-1` |
`-5` |
`5` |
`-6` |
`-6` |
`1` |
`-1` |
4. A quarta tarefa é multiplicar à direita certas coordenadas e depois somar os resultados:
|
|
5. A quinta tarefa é multiplicar à esquerda certas coordenadas e depois somar os resultados:
|
|
6. A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:
I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:
$$41$$ – $$(-31)$$ = $$72$$
II. Divida por 2 o resultado anterior:
$$72$$: $$2$$ = $$36$$
A área procurada é $$36$$.