Professor Cardy

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Para se obter a área de um polígono convexo, conhecendo as coordenadas de todos os seus vértices no Plano Cartesiano, podemos usar um método bastante prático (contudo, muito pouco conhecido).

Vamos obter a área do pentágono de coordenadas $$(2,7)$$, $$(6,6)$$, $$(4, 1)$$, $$(1,4)$$ e $$(7, 3)$$.

Etapa ZERO

A etapa ZERO é a inicial. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano (apenas para verificar as posições relativas entre os pontos e TER CERTEZA que é um polígono convexo!).

Já coloquei nomes para os pontos $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ e $$E$$ (usei ordem alfabética para o sentido anti-horário da exposição dos pontos no Plano Cartesiano. Assim, $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ e $$E(1,4)$$.

Etapa 1

A primeira tarefa é tomar os vértices (pode começar em qualquer um dos vértices, mas vou iniciar pelo vértice $$A$$ mesmo) ou em ordem horária ou em ordem anti-horária:

Horária: $$A(4, 1)$$, $$E(1,4)$$, $$D(2,7)$$, $$C(6,6)$$ e $$B(7, 3)$$.

Anti-horária: $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ e $$E(1,4)$$.

Atenção

Atenção! Basta registrar UMA das ordens acima! Eu citei as duas para exibir que temos sempre duas possibilidades!

Vou completar as explicações para UMA delas apenas, que é suficiente, ok? Vou usar a ordem ANTI-HORÁRIA.

Etapa 2

A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:

Anti-horária: $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ , $$E(1,4)$$ e $$A(4, 1)$$.

Etapa 3

A terceira tarefa é organizar as coordenadas na forma de uma tabela:

Anti-horária: $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ , $$E(1,4)$$ e $$A(4, 1)$$.

`4`
`1`
`7`
`3`
`6`
`6`
`2`
`7`
`1`
`4`
`4`
`1`

 

Reparou? Devemos colocar de cima para baixo (na ordem!) as apenas as coordenadas, sem os elementos da notação de ponto. Veja, o ponto $$D(2, 7)$$ foi registrado apenas $$2$$ e depois $$7$$ na sua linha devida.

Etapa 4

A quarta tarefa é multiplicar à direita coordenadas usando as seguintes duplas bem específicas:

Anti-horária: $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ , $$E(1,4)$$ e $$A(4, 1)$$.

Nessa etapa, aproveite a disposição indicada dos resultados das multiplicações e os SOME:

Guarde o resultado 12 + 42 + 42 + 8 + 1 = 105 pois ele será usado mais tarde.

Etapa 5

A quinta tarefa é multiplicar à esquerda coordenadas usando as seguintes duplas bem específicas:

Anti-horária: $$A(4, 1)$$, $$B(7, 3)$$, $$C(6,6)$$, $$D(2,7)$$ , $$E(1,4)$$ e $$A(4, 1)$$.

Nessa etapa, aproveite a disposição indicada dos resultados das multiplicações e os SOME:

 

Guarde o resultado 7 + 18 + 12 + 7 + 16 = 60 pois ele será usado mais tarde.

Etapa 6

A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:

I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas.

II. Divida por 2 o resultado anterior. O resultado, em módulo (pois o resultado tem que ficar positivo - uma vez que corresponde a uma ÁREA)...

... Enfim, o resultado II, ficando positivo, é a área procurada!

 

Módulo

Nem sempre você vai precisar se preocupar com a palavra "módulo" e o seu significado mais profundo. A essência aqui é "o resultado FINAL tem que ficar positivo".

Como, eventualmente, as coordenadas envolvem números negativos e o módulo pode ser obrigatório porque se o resultado da conta II der negativo, vamos precisar, digamos assim, na prática apenas "passar para positivo".

Faça isso:

Se a conta II der positivo, tudo bem, fica assim!

Se a conta II der negativo, passe para positivo.

 

Exemplo: Digamos que em II resultou $$120$$, como $$|120| = 120$$ a área é $$120$$.

Exemplo: Digamos que em II resultou $$-70$$, como $$|-70| = 70$$ a área é $$70$$.

Olhe, estou dando apenas a regra prática que significa, digamos assim, uma "receita para fazer". Num outro eventual artigo eu posso fazer as explicações dos motivos disso tudo, mas isso AQUI ia dificultar em muito a assimilação de um procedimento já com MUITOS detalhes.

Retomando...

I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:

$$105$$$$60$$ = $$45$$

II. Divida por 2 o resultado anterior:

$$45$$ : $$2$$ = $$45/2$$

A área do polígono é $$45/2$$.

1

Exemplo 1


Obter a área de um triângulo de vértices $$A(1,2)$$, $$B(7,2)$$ e $$C(4,7)$$


Resolução


0. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano.

1. Dispor as coordenadas numa das ordens (ou horária ou anti-horária):

Anti-horária: $$A(1,2)$$, $$B(7,2)$$ e $$C(4,7)$$.

 

2. A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:

Anti-horária: $$A(1, 2)$$, $$B(7, 2)$$, $$C(4,7)$$ e $$A(1, 2)$$.

 

3. Organizar as coordenadas na tabela:

`1`
`2`
`7`
`2`
`4`
`7`
`1`
`2`

 

4. A quarta tarefa é multiplicar à direita certas coordenadas e depois somar os resultados:

`1`
`2`
`7`
`2`
`4`
`7`
`1`
`2`
0
0
`2`
` 49`
`8`
soma`= 59`

 

5. A quinta tarefa é multiplicar à esquerda certas coordenadas e depois somar os resultados:

0
0
`14`
` 8`
`7`
soma `= 29`
`1`
`2`
`7`
`2`
`4`
`7`
`1`
`2`

 

6. A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:

I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:

$$59$$$$29$$ = $$30$$

II. Divida por 2 o resultado anterior:

$$30$$: $$2$$ = $$15$$

A área procurada é $$15$$.




É claro que eu usei um exemplo para que você pudesse constatar por um caminho fácil que a área desse triângulo é realmente $$15$$, repare:

Área = $$frac{text{base}xx\text{altura}}{2}=\frac{6xx5}{2}=15$$



2

Exemplo 2


Obter a área de um triângulo de vértices $$(1,-1)$$, $$(-5,5)$$ e $$(-6,-6)$$.


Resolução


0. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano.

1. Dispor as coordenadas numa das ordens (ou horária ou anti-horária):

Anti-horária: $$(1,-1)$$, $$(-5,5)$$ e $$(-6,-6)$$

 

2. A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:

Anti-horária: $$(1, -1)$$, $$(-5, 5)$$, $$(-6,-6)$$ e $$(1, -1)$$.

 

3. Organizar as coordenadas na tabela:

`1`
`-1`
`-5`
`5`
`-6`
`-6`
`1`
`-1`

 

4. A quarta tarefa é multiplicar à direita certas coordenadas e depois somar os resultados:

`1`
`-1`
`-5`
`5`
`-6`
`-6`
`1`
`-1`
0
0
`5`
`30`
`6`
soma `= 41`

 

5. A quinta tarefa é multiplicar à esquerda certas coordenadas e depois somar os resultados:

0
0
`5`
`-30`
`-6`
soma `= -31`
`1`
`-1`
`-5`
`5`
`-6`
`-6`
`1`
`-1`

 

6. A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:

I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:

$$41$$$$(-31)$$ = $$72$$

II. Divida por 2 o resultado anterior:

$$72$$: $$2$$ = $$36$$

A área procurada é $$36$$.