Para se obter a área de um polígono convexo, conhecendo as coordenadas de todos os seus vértices no Plano Cartesiano, podemos usar um método bastante prático (contudo, muito pouco conhecido).
A interação a seguir não calcula a área de polígono! Apenas para você verificar no visual se os pontos que você inserir podem formar um polígono convexo e apenas isso.
Pontos no Gráfico:
Vamos obter a área do pentágono de coordenadas `(2,7)`, `(6,6)`, `(4, 1)`, `(1,4)` e `(7, 3)`.
Etapa ZERO
A etapa ZERO é a inicial. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano (apenas para verificar as posições relativas entre os pontos e TER CERTEZA que é um polígono convexo!).
Já coloquei nomes para os pontos `A`, `B`, `C`, `D` e `E` (usei ordem alfabética para o sentido anti-horário da exposição dos pontos no Plano Cartesiano. Assim, `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` e `E(1,4)`.
Etapa 1
A primeira tarefa é tomar os vértices (pode começar em qualquer um dos vértices, mas vou iniciar pelo vértice `A` mesmo) ou em ordem horária ou em ordem anti-horária:
Horária: `A(4, 1)`, `E(1,4)`, `D(2,7)`, `C(6,6)` e `B(7, 3)`.
Anti-horária: `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` e `E(1,4)`.
Atenção
Atenção! Basta registrar UMA das ordens acima! Eu citei as duas para exibir que temos sempre duas possibilidades!
Vou completar as explicações para UMA delas apenas, que é suficiente, ok? Vou usar a ordem ANTI-HORÁRIA.
Etapa 2
A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:
Anti-horária: `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` , `E(1,4)` e `A(4, 1)`.
Etapa 3
A terceira tarefa é organizar as coordenadas na forma de uma tabela:
Anti-horária: `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` , `E(1,4)` e `A(4, 1)`.
`4` |
`1` |
`7` |
`3` |
`6` |
`6` |
`2` |
`7` |
`1` |
`4` |
`4` |
`1` |
Reparou? Devemos colocar de cima para baixo (na ordem!) as apenas as coordenadas, sem os elementos da notação de ponto. Veja, o ponto `D(2, 7)` foi registrado apenas `2` e depois `7` na sua linha devida.
Etapa 4
A quarta tarefa é multiplicar à direita coordenadas usando as seguintes duplas bem específicas:
Anti-horária: `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` , `E(1,4)` e `A(4, 1)`.
Nessa etapa, aproveite a disposição indicada dos resultados das multiplicações e os SOME:
Guarde o resultado 12 + 42 + 42 + 8 + 1 = 105 pois ele será usado mais tarde.
Etapa 5
A quinta tarefa é multiplicar à esquerda coordenadas usando as seguintes duplas bem específicas:
Anti-horária: `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` , `E(1,4)` e `A(4, 1)`.
Nessa etapa, aproveite a disposição indicada dos resultados das multiplicações e os SOME:
Guarde o resultado 7 + 18 + 12 + 7 + 16 = 60 pois ele será usado mais tarde.
Etapa 6
A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:
I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas.
II. Divida por 2 o resultado anterior. O resultado, em módulo (pois o resultado tem que ficar positivo - uma vez que corresponde a uma ÁREA)...
... Enfim, o resultado II, ficando positivo, é a área procurada!
Módulo
Nem sempre você vai precisar se preocupar com a palavra "módulo" e o seu significado mais profundo. A essência aqui é "o resultado FINAL tem que ficar positivo".
Como, eventualmente, as coordenadas envolvem números negativos e o módulo pode ser obrigatório porque se o resultado da conta II der negativo, vamos precisar, digamos assim, na prática apenas "passar para positivo".
Faça isso:
Se a conta II der positivo, tudo bem, fica assim!
Se a conta II der negativo, passe para positivo.
Exemplo: Digamos que em II resultou `120`, como `|120| = 120` a área é `120`.
Exemplo: Digamos que em II resultou `-70`, como `|-70| = 70` a área é `70`.
Olhe, estou dando apenas a regra prática que significa, digamos assim, uma "receita para fazer". Num outro eventual artigo eu posso fazer as explicações dos motivos disso tudo, mas isso AQUI ia dificultar em muito a assimilação de um procedimento já com MUITOS detalhes.
Retomando...
I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:
`105` – `60` = `45`
II. Divida por 2 o resultado anterior:
`45` : `2` = `45/2`
A área do polígono é `45/2`.
Exemplo 1
Obter a área de um triângulo de vértices `A(1,2)`, `B(7,2)` e `C(4,7)`
Resolução
0. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano.
1. Dispor as coordenadas numa das ordens (ou horária ou anti-horária):
Anti-horária: `A(1,2)`, `B(7,2)` e `C(4,7)`.
2. A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:
Anti-horária: `A(1, 2)`, `B(7, 2)`, `C(4,7)` e `A(1, 2)`.
3. Organizar as coordenadas na tabela:
`1` |
`2` |
`7` |
`2` |
`4` |
`7` |
`1` |
`2` |
4. A quarta tarefa é multiplicar à direita certas coordenadas e depois somar os resultados:
|
|
5. A quinta tarefa é multiplicar à esquerda certas coordenadas e depois somar os resultados:
|
|
6. A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:
I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:
`59` – `29` = `30`
II. Divida por 2 o resultado anterior:
`30`: `2` = `15`
A área procurada é `15`.
É claro que eu usei um exemplo para que você pudesse constatar por um caminho fácil que a área desse triângulo é realmente `15`, repare:
Área = `frac{text{base}xx\text{altura}}{2}=\frac{6xx5}{2}=15`
Exemplo 2
Obter a área de um triângulo de vértices `(1,-1)`, `(-5,5)` e `(-6,-6)`.
Resolução
0. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano.
1. Dispor as coordenadas numa das ordens (ou horária ou anti-horária):
Anti-horária: `(1,-1)`, `(-5,5)` e `(-6,-6)`
2. A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:
Anti-horária: `(1, -1)`, `(-5, 5)`, `(-6,-6)` e `(1, -1)`.
3. Organizar as coordenadas na tabela:
`1` |
`-1` |
`-5` |
`5` |
`-6` |
`-6` |
`1` |
`-1` |
4. A quarta tarefa é multiplicar à direita certas coordenadas e depois somar os resultados:
|
|
5. A quinta tarefa é multiplicar à esquerda certas coordenadas e depois somar os resultados:
|
|
6. A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:
I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:
`41` – `(-31)` = `72`
II. Divida por 2 o resultado anterior:
`72`: `2` = `36`
A área procurada é `36`.