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Para se obter a área de um polígono convexo, conhecendo as coordenadas de todos os seus vértices no Plano Cartesiano, podemos usar um método bastante prático (contudo, muito pouco conhecido).

Vamos obter a área do pentágono de coordenadas `(2,7)`, `(6,6)`, `(4, 1)`, `(1,4)` e `(7, 3)`.

Etapa ZERO

A etapa ZERO é a inicial. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano (apenas para verificar as posições relativas entre os pontos e TER CERTEZA que é um polígono convexo!).

Já coloquei nomes para os pontos `A`, `B`, `C`, `D` e `E` (usei ordem alfabética para o sentido anti-horário da exposição dos pontos no Plano Cartesiano. Assim, `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` e `E(1,4)`.

Etapa 1

A primeira tarefa é tomar os vértices (pode começar em qualquer um dos vértices, mas vou iniciar pelo vértice `A` mesmo) ou em ordem horária ou em ordem anti-horária:

Horária: `A(4, 1)`, `E(1,4)`, `D(2,7)`, `C(6,6)` e `B(7, 3)`.

Anti-horária: `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` e `E(1,4)`.

Atenção

Atenção! Basta registrar UMA das ordens acima! Eu citei as duas para exibir que temos sempre duas possibilidades!

Vou completar as explicações para UMA delas apenas, que é suficiente, ok? Vou usar a ordem ANTI-HORÁRIA.

Etapa 2

A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:

Anti-horária: `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` , `E(1,4)` e `A(4, 1)`.

Etapa 3

A terceira tarefa é organizar as coordenadas na forma de uma tabela:

Anti-horária: `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` , `E(1,4)` e `A(4, 1)`.

`4`
`1`
`7`
`3`
`6`
`6`
`2`
`7`
`1`
`4`
`4`
`1`

 

Reparou? Devemos colocar de cima para baixo (na ordem!) as apenas as coordenadas, sem os elementos da notação de ponto. Veja, o ponto `D(2, 7)` foi registrado apenas `2` e depois `7` na sua linha devida.

Etapa 4

A quarta tarefa é multiplicar à direita coordenadas usando as seguintes duplas bem específicas:

Anti-horária: `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` , `E(1,4)` e `A(4, 1)`.

Nessa etapa, aproveite a disposição indicada dos resultados das multiplicações e os SOME:

Guarde o resultado 12 + 42 + 42 + 8 + 1 = 105 pois ele será usado mais tarde.

Etapa 5

A quinta tarefa é multiplicar à esquerda coordenadas usando as seguintes duplas bem específicas:

Anti-horária: `A(4, 1)`, `B(7, 3)`, `C(6,6)`, `D(2,7)` , `E(1,4)` e `A(4, 1)`.

Nessa etapa, aproveite a disposição indicada dos resultados das multiplicações e os SOME:

 

Guarde o resultado 7 + 18 + 12 + 7 + 16 = 60 pois ele será usado mais tarde.

Etapa 6

A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:

I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas.

II. Divida por 2 o resultado anterior. O resultado, em módulo (pois o resultado tem que ficar positivo - uma vez que corresponde a uma ÁREA)...

... Enfim, o resultado II, ficando positivo, é a área procurada!

 

Módulo

Nem sempre você vai precisar se preocupar com a palavra "módulo" e o seu significado mais profundo. A essência aqui é "o resultado FINAL tem que ficar positivo".

Como, eventualmente, as coordenadas envolvem números negativos e o módulo pode ser obrigatório porque se o resultado da conta II der negativo, vamos precisar, digamos assim, na prática apenas "passar para positivo".

Faça isso:

Se a conta II der positivo, tudo bem, fica assim!

Se a conta II der negativo, passe para positivo.

 

Exemplo: Digamos que em II resultou `120`, como `|120| = 120` a área é `120`.

Exemplo: Digamos que em II resultou `-70`, como `|-70| = 70` a área é `70`.

Olhe, estou dando apenas a regra prática que significa, digamos assim, uma "receita para fazer". Num outro eventual artigo eu posso fazer as explicações dos motivos disso tudo, mas isso AQUI ia dificultar em muito a assimilação de um procedimento já com MUITOS detalhes.

Retomando...

I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:

`105``60` = `45`

II. Divida por 2 o resultado anterior:

`45` : `2` = `45/2`

A área do polígono é `45/2`.

1

Exemplo 1


Obter a área de um triângulo de vértices `A(1,2)`, `B(7,2)` e `C(4,7)`


Resolução


0. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano.

1. Dispor as coordenadas numa das ordens (ou horária ou anti-horária):

Anti-horária: `A(1,2)`, `B(7,2)` e `C(4,7)`.

 

2. A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:

Anti-horária: `A(1, 2)`, `B(7, 2)`, `C(4,7)` e `A(1, 2)`.

 

3. Organizar as coordenadas na tabela:

`1`
`2`
`7`
`2`
`4`
`7`
`1`
`2`

 

4. A quarta tarefa é multiplicar à direita certas coordenadas e depois somar os resultados:

`1`
`2`
`7`
`2`
`4`
`7`
`1`
`2`
0
0
`2`
` 49`
`8`
soma`= 59`

 

5. A quinta tarefa é multiplicar à esquerda certas coordenadas e depois somar os resultados:

0
0
`14`
` 8`
`7`
soma `= 29`
`1`
`2`
`7`
`2`
`4`
`7`
`1`
`2`

 

6. A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:

I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:

`59``29` = `30`

II. Divida por 2 o resultado anterior:

`30`: `2` = `15`

A área procurada é `15`.




É claro que eu usei um exemplo para que você pudesse constatar por um caminho fácil que a área desse triângulo é realmente `15`, repare:

Área = `frac{text{base}xx\text{altura}}{2}=\frac{6xx5}{2}=15`



2

Exemplo 2


Obter a área de um triângulo de vértices `(1,-1)`, `(-5,5)` e `(-6,-6)`.


Resolução


0. Registre os pontos dados no Plano Cartesiano.

1. Dispor as coordenadas numa das ordens (ou horária ou anti-horária):

Anti-horária: `(1,-1)`, `(-5,5)` e `(-6,-6)`

 

2. A segunda tarefa é repetir as coordenadas do primeiro ponto, ao fim da sequência:

Anti-horária: `(1, -1)`, `(-5, 5)`, `(-6,-6)` e `(1, -1)`.

 

3. Organizar as coordenadas na tabela:

`1`
`-1`
`-5`
`5`
`-6`
`-6`
`1`
`-1`

 

4. A quarta tarefa é multiplicar à direita certas coordenadas e depois somar os resultados:

`1`
`-1`
`-5`
`5`
`-6`
`-6`
`1`
`-1`
0
0
`5`
`30`
`6`
soma `= 41`

 

5. A quinta tarefa é multiplicar à esquerda certas coordenadas e depois somar os resultados:

0
0
`5`
`-30`
`-6`
soma `= -31`
`1`
`-1`
`-5`
`5`
`-6`
`-6`
`1`
`-1`

 

6. A sexta tarefa é fazer a seguinte conta:

I. Subtraia o maior do menor dos resultados das multiplicações feitas:

`41``(-31)` = `72`

II. Divida por 2 o resultado anterior:

`72`: `2` = `36`

A área procurada é `36`.

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