Cardicas > Polinômio Multiplicidade das raizes
Em um polinômio `P(x)` um de seus zeros ou, mais comum de ser dito, uma de suas raizes, `r` terá multiplicidade `m` se o polinômio `P(x)` puder ser escrito como:
`P(x) = (x-r)^m*q(x)`, onde `q(r) !=0`.
Isso quer dizer que se `P(x)` for fatorado, o fator `(x-r)` irá constar EXATAMENTE `m` vezes.
A parte que diz `q(r) !=0` é para garantir que `g(x)` não terá mais nenhum fator `(x-r)` pois `g(x)` não se anula com o valor `x=r`.
Vamos aqui também analizar os indícios da multiplicidade de uma raiz de polinômio a partir do seu gráfico.
Uma função `f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}` com:
`f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`
é uma função polinomial, ou polinômio.
Apenas usarei coeficentes reais, ou seja, `a_n, a_(n-1),a_(n-2), ... , a_2, a_1` e `a_0` todos reais.
Se o coeficiente `a_n` não for zero (`a_n` é o coeficiente dominante), então o grau do polinômio `f(x)` é `n`. A função polinomial de grau `n` terá `n` raizes complexas.
Das `n` raizes complexas que temos, só vou discutir as reais pois elas podem ser pesquisadas nos eventuais cruzamentos ou tangenciamentos do gráfico de `p` com o eixo dos x.
Tendo o gráfico de uma função polinomial `f` no plano cartesiano podemos discutir algo sobre as raizes reais de `f`. Se houver interseção do gráfico com o eixo Ox no trecho apresentado.
É muito importante destacar que:
- se o sinal de `f` nas vizinhanças de uma raiz é o mesmo, então esta raiz tem multiplicidade PAR.
- se o sinal de `f` nas vizinhanças de uma raiz não é o mesmo, então esta raiz tem multiplicidade ÍMPAR.
Gráfico de uma função polinomial f. As intersecções do gráfico com o eixo Ox indicam que r e s são raizes reais.
Baseando-se na ilustração anterior podemos estipular que `f` pode ser escrita na forma
`P(x) = (x-s)^n*(x-r)^m*q(x)`
Onde r é uma raiz de multiplicidade m ( pode ser 2, 4, 6, etc... ) e s é uma raiz de multiplicidade n (pode ser 1, 3, 5, 7, etc... ). Assim, os valores r e s podem representar muito mais que só duas raizes (no caso, tem pelo menos três raizes reais).
Na vizinhança de uma raiz real `s` de um polinômio 'p' ocorrer:
(A) O gráfico de 'p' cruzar o eixo dos x em '(s, 0)', então `s` tem multiplicidade ÍMPAR.
(B) O gráfico de 'p' tangenciar o eixo dos x em '(r, 0)', então `r` tem multiplicidade PAR.
 |
Exemplo — Determinar a multiplicidade de todas as raizes de `p(x) = (x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)`. |
`p(x) = (x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)` vai se anular quando `(x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)=0`. Ou seja, para `x_1=4`, `x_2=-1` e `x_3=1`. Temos que: `x_1=4` de `(x-4)^2` tem multiplicidade 2. `x_2=-1` de `(x+1)^4` tem multiplicidade 4. `x_3=1` de `(x-1)` tem multiplicidade 1. |
|
Exemplo — Determinar a multiplicidade de todas as raizes de `p(x) = x^2 -6x +9`. |
`p(x) = x^2 -6x +9` vai se anular quando `x^2 -6x +9=0`. `x^2 -6x +9=0` é uma equação do 2º Grau, cujo `\Delta = b^2 - 4ac` `= (-6)^2 - 4*1*9 = 0`, portanto: `x_{1,2} = \frac{-b +- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-6) +- \sqrt{0}}{2*1}`. `x_{1,2} = \frac{6 +- 0}{2} = 3`. Ou seja, `p(x)` vai se anular para `x_1=3` e `x_2=3`. A forma fatorada de `p(x)` é `p(x) = (x-3)^2` que, aliás, o leitor que tivesse percebido isso teria evitado os cálculos para se determinar `x_1` e `x_2`. Como `p(x) = x^2 -6x +9= (x-3)^2`, temos que: `x_1=3` de `(x-3)^2` tem multiplicidade 2. |
|
Exemplo — Dado que o grau da função polinomial `g` é `3`. Resolva a equação `g(x) = 0`. |
Como o grau de `g` é 3, temos a raiz 1 de vizinhança de mesmo sinal (+,+) e a raiz 3 de vizinhança de sinais contrários (+, –), então a única possibilidade para distribuição das raízes é que 1 seja uma raiz dupla e 3 seja uma raiz simples. São todas as 3 raízes porque esgotam o grau. Logo, o conjunto solução para `g(x) = 0` é `S = {1, 3}` Com esse procedimento evita-se de determinar a função polinomial g para se resolver g(x). Para o exemplo dado, é possível sim obter g(x). Veja como clicando aqui. |