Em problemas em que são dados os gráficos de funções polinomiais temos oportunidades de fazer uma série de interpretações rápidas que podem auxiliar na diminuição de cálculos.
Vou mostrar algumas das informações que você pode aproveitar. Só vou tratar de função definida em IR.
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Definição |
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Se o coeficiente an não for zero (coeficiente dominante), então o grau do polinômio f(x) é n. A função polinomial de grau n terá n raízes complexas. Como só estou abordando f: IR - IR (domínio e contradomínio real), das n raízes complexas que temos, só vou discutir as reais.
Tendo o gráfico de uma função polinomial f no plano cartesiano podemos discutir algo sobre as raízes reais de f. Se houver interseção do gráfico com o eixo Ox no trecho apresentado. É muito importante destacar que:
- se o sinal de f nas vizinhanças de uma raiz é o mesmo, então esta raiz tem multiplicidade PAR.
- se o sinal de f nas vizinhanças de uma raiz não é o mesmo, então esta raiz tem multiplicidade ÍMPAR.
Gráfico de uma função polinomial f. As intersecções do gráfico com o eixo Ox indicam que r e s são raízes reais.
Baseando-se na ilustração anterior podemos estipular que f pode ser escrita na forma
f(x) = (x – r)m(x – s)n Q(x)
Onde r é uma raiz de multiplicidade m ( pode ser 2, 4, 6, etc... ) e s é uma raiz de multiplicidade n (pode ser 1, 3, 5, 7, etc... ). Assim, os valores r e s podem representar muito mais que só duas raizes (no caso, tem pelo menos três raizes reais).
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Exemplo - Dado que o grau da função polinomial g é 3. Resolva a equação g(x) = 0. |
| O gráfico de g(x) é exibido a seguir: | |
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Como o grau de g é 3, temos a raiz 1 de vizinhança de mesmo sinal (+,+) e a raiz 3 de vizinhança de sinais contrários (+, –), então a única possibilidade para distribuição das raízes é que 1 seja uma raiz dupla e 3 seja uma raiz simples.
São todas as 3 raízes porque esgotam o grau. Logo, o conjunto solução para g(x) = 0 é
S = {1, 3}
Com esse procedimento evita-se de determinar a função polinomial g para se resolver g(x). Para o exemplo dado, é possível sim obter g(x). Veja como clicando aqui.