Definição
Divisor comum de um grupo de dois ou mais polinômios não nulos, de coeficientes racionais, $$P_1(x), P_2(x), ... , P_m(x)$$ é um polinômio de maior grau $$M(x)$$ que divide todos os polinômios $$P_1(x), P_2(x), ... , P_m(x)$$. O polinômio $$M(x)$$ tem exclusivamente coeficientes racionais.
Antes de continuar, um exemplo de polinômio de coeficientes racionais: $$P(x) = 2x^3 + x - 1$$ é um polinômio de coeficientes racionais porque todos os coeficientes das potências $$x^n$$ com $$n \in \mathbb{N}**$$ e o termo independente são números racionais. O grau deste polinômio é 3.
potências `x^n` |
`x^3` |
`x^2` |
`x^1` |
termo independente |
coeficientes de `x^n` |
`2` |
`0` |
`1` |
`-1` |
Um exemplo de polinômio que não é de coeficientes racionais: $$P(x) = 140x^5 + \sqrt{2}x^3 +4$$ porque há pelo menos um coeficiente das potências $$x^n$$ ($$n = 1, 2, 3, ...$$) que não é um número racional. No caso, há um coeficiente irracional. Veja a presença de $$\sqrt{2}$$, coeficiente da potência cúbica. Preste atenção: $$P(x)$$ não deixa de ser um polinômio! Apenas não é um polinômio racional.
Definição
Um polinômio $$D(x)$$ divide um polinômio $$A(x)$$, não nulo, se existe um polinômio $$Q(x)$$ tal que $$A(x) -= Q(x)D(x)$$.
Por exemplo, $$D(x) = x + 2$$ divide $$A(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18$$ pois temos um $$Q(x) = x^2 - 9$$ tal que $$A(x) -= Q(x)D(x)$$. Veja:
$$x^3 + 2x^2 - 9x - 18 -= (x + 2)*(x^2 - 9)$$
Denotamos $$D(x) | A(x)$$ e lemos: $$D(x)$$ divide $$A(x)$$. Também podemos dizer que $$A(x)$$ é divisível por $$D(x)$$.
Você pode obter um Divisor Comum entre dois polinômio, fatorando-os e separando os fatores comuns. Em seguida "monta-se" o mdc.
Exemplo 1
Obter um Divisor Comum entre $$x^2-2x+1$$ e $$x^2-1$$.
Resolução
$$x^2-2x+1 = (x-1)^2=(x-1)(x-1)$$
$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$
Os polinômios tem fator comum $$(x-1)$$.
Um Divisor Comum entre eles: $$(x-1)$$.
Exemplo 2
Obter um Divisor Comum entre $$10x^2-20x+10$$ e $$5x^2-5$$.
$$10x^2-20x+10 = 10*(x^2-2x+1)=10*(x-1)^2=10*(x-1)(x-1)$$
$$5x^2-5 = 5*(x^2-1)= 5*(x-1)(x+1)$$
Os polinômios tem fator comum $$(x-1)$$.
Um Divisor Comum entre eles: $$(x-1)$$.
Outro Divisor Comum é, por exemplo, $$5*(x-1)$$.
Em se tratando de polinômios, temos sempre a EXISTÊNCIA de Divisor Comum (entre polinômios não nulos); e isso é garantido, uma vez que 1 divide qualquer polinômio. Mas não temos a unicidade de Divisor Comum para polinômios.
Os polinômios $$A(X) = x^2-2x+1$$ e $$B(x)=x^2-1$$ são ambos divisíveis por $$x-1$$, $$2x-2$$, $$3x-3$$, ... , $$k*(x-1)$$ onde $$k$$ é uma constante não nula. Pelo Teorema de D'Alembert, $$(x – 1) | A(x)$$ assim como $$(x – 1) | B(x)$$, pois $$A(1) = B(1) = 0$$.
Divisor Comum entre polinômios não é único. Mas se $$P$$ é um Divisor Comum entre os polinômios considerados, todo Divisor Comum entre eles pode ser escrito como $$k*P$$ ($$k$$ é uma constante não nula).
Um dos problemas com o procedimento usado nos exemplos 1 e 2 é que nem sempre a fatoração de um polinômio é elementar. Não é nada imediato, para muitos estudantes, que a decomposição, por exemplo, de $$x^4+4$$ seja $$(x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2)$$.
Vamos trabalhar, então, um método que não dependa da fatoração. Adianto: só funciona para a obtenção do mdc entre DOIS polinômios de coeficientes racionais.
O método se baseia no Algoritmo de Euclides (saiba mais sobre o Algoritmo de Euclides). E é muito útil para se evitar a decomposição dos polinômios envolvidos.
Exemplo 3
Obter um Divisor Comum entre $$(x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12)$$ e $$(x^3 - 13x - 12)$$.
Resolução
Monte uma grade com, pelo menos, 3 colunas e exatamente 3 linhas (deixe espaço à direita):
Na grade, insira os polinômios assim, colocando o de maior grau na primeira posição (se fossem iguais seria indiferente qual será colocado em primeiro):
$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$ |
$$x^3 - 13x - 12$$ |
|
Sempre na primeira linha, sobre o último divisor usado, escreva o quociente da divisão atual. Na divisão de $$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$ por $$x^3 - 13x - 12$$ o quociente é $$x$$. Registre assim:
$$x$$ |
||
$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$ |
$$x^3 - 13x - 12$$ |
|
O resto da divisão atual é registrado abaixo do dividendo da divisão atual. Na divisão o resto é $$-x^3 + 13x + 12$$.
$$x$$ |
||
$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$ |
$$x^3 - 13x - 12$$ |
|
$$-x^3 + 13x + 12$$ |
Como $$-x^3 + 13x + 12$$ não é polinômio nulo, compiamos $$-x^3 + 13x + 12$$ ao lado de $$x^3 - 13x - 12$$, na próxima casa. Divide-se agora $$x^3 - 13x - 12$$por $$-x^3 + 13x + 12$$.
$$x$$ |
||
$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$ |
$$x^3 - 13x - 12$$ |
$$-x^3 + 13x + 12$$ |
$$-x^3 + 13x + 12$$ |
Na divisão de $$x^3 - 13x - 12$$ por $$-x^3 + 13x + 12$$ o quociente é $$-1$$. Registre assim:
$$x$$ |
$$-1$$ |
|
$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$ |
$$x^3 - 13x - 12$$ |
$$-x^3 + 13x + 12$$ |
$$-x^3 + 13x + 12$$ |
Na divisão de $$x^3 - 13x - 12$$ por $$-x^3 + 13x + 12$$ o resto é o polinômio nulo.
$$x$$ |
$$-1$$ |
|
$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$ |
$$x^3 - 13x - 12$$ |
$$-x^3 + 13x + 12$$ |
$$-x^3 + 13x + 12$$ |
$$0$$ |
Um mdc entre $$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$ e $$x^3 - 13x - 12$$ é $$-x^3 + 13x + 12$$.
Atenção! Qualquer polinômio da forma $$k*(-x^3 + 13x + 12)$$ onde $$k$$ é uma constante diferente de zero é também um Divisor Comum entre $$(x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12)$$ e $$(x^3 - 13x - 12)$$.