Divisor Comum entre Polinômios

Antes de continuar, um exemplo de polinômio de coeficientes racionais: `P(x) = 2x^3 + x - 1` é um polinômio de coeficientes racionais porque todos os coeficientes das potências `x^n` com `n \in \mathbb{N}**` e o termo independente são números racionais. O grau deste polinômio é 3.

Um exemplo de polinômio que não é de coeficientes racionais: `P(x) = 140x^5 + \sqrt{2}x^3 +4` porque há pelo menos um coeficiente das potências `x^n` (`n = 1, 2, 3, ...`) que não é um número racional. No caso, há um coeficiente irracional. Veja a presença de `\sqrt{2}`, coeficiente da potência cúbica. Preste atenção: `P(x)` não deixa de ser um polinômio! Apenas não é um polinômio racional.

Por exemplo, `D(x) = x + 2` divide `A(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18` pois temos um `Q(x) = x^2 - 9` tal que `A(x) -= Q(x)D(x)`. Veja:

`x^3 + 2x^2 - 9x - 18 -= (x + 2)*(x^2 - 9)`

Denotamos `D(x) | A(x)` e lemos: `D(x)` divide `A(x)`. Também podemos dizer que `A(x)` é divisível por `D(x)`.

Em se tratando de polinômios, temos sempre a EXISTÊNCIA de Divisor Comum (entre polinômios não nulos); e isso é garantido, uma vez que 1 divide qualquer polinômio. Mas não temos a unicidade de Divisor Comum para polinômios.

Os polinômios `A(X) = x^2-2x+1` e `B(x)=x^2-1` são ambos divisíveis por `x-1`, `2x-2`, `3x-3`, ... , `k*(x-1)` onde `k` é uma constante não nula. Pelo Teorema de D'Alembert, `(x – 1) | A(x)` assim como `(x – 1) | B(x)`, pois `A(1) = B(1) = 0`.

Um dos problemas com o procedimento usado nos exemplos 1 e 2 é que nem sempre a fatoração de um polinômio é elementar. Não é nada imediato, para muitos estudantes, que a decomposição, por exemplo, de `x^4+4` seja `(x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2)`.

Vamos trabalhar, então, um método que não dependa da fatoração. Adianto: só funciona para a obtenção do mdc entre DOIS polinômios de coeficientes racionais.

O método se baseia no Algoritmo de Euclides (saiba mais sobre o Algoritmo de Euclides). E é muito útil para se evitar a decomposição dos polinômios envolvidos.