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Eu disponibilizo várias calculadoras no meu site. Uma delas, que faz grande sucesso, é de Porcentagem. Noto que muitas pessoas tem dificuldades no tema e elaborei um formato bem didático para você inserir os dados, na forma de questios. Confira!

Definição

Divisor comum de um grupo de dois ou mais polinômios não nulos, de coeficientes racionais, `P_1(x), P_2(x), ... , P_m(x)` é um polinômio de maior grau `M(x)` que divide todos os polinômios `P_1(x), P_2(x), ... , P_m(x)`. O polinômio `M(x)` tem exclusivamente coeficientes racionais.

Antes de continuar, um exemplo de polinômio de coeficientes racionais: `P(x) = 2x^3 + x - 1` é um polinômio de coeficientes racionais porque todos os coeficientes das potências `x^n` com `n \in \NN**` e o termo independente são números racionais. O grau deste polinômio é 3.

potências `x^n`
`x^3`
`x^2`
`x^1`
termo independente
coeficientes de `x^n`
`2`
`0`
`1`
`-1`

 

Um exemplo de polinômio que não é de coeficientes racionais: `P(x) = 140x^5 + \sqrt{2}x^3 +4` porque há pelo menos um coeficiente das potências `x^n` (`n = 1, 2, 3, ...`) que não é um número racional. No caso, há um coeficiente irracional. Veja a presença de `\sqrt{2}`, coeficiente da potência cúbica. Preste atenção: `P(x)` não deixa de ser um polinômio! Apenas não é um polinômio racional.

Definição

Um polinômio `D(x)` divide um polinômio `A(x)`, não nulo, se existe um polinômio `Q(x)` tal que `A(x) -= Q(x)D(x)`.

Por exemplo, `D(x) = x + 2` divide `A(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18` pois temos um `Q(x) = x^2 - 9` tal que `A(x) -= Q(x)D(x)`. Veja:

`x^3 + 2x^2 - 9x - 18 -= (x + 2)*(x^2 - 9)`

Denotamos `D(x) | A(x)` e lemos: `D(x)` divide `A(x)`. Também podemos dizer que `A(x)` é divisível por `D(x)`.

Cardica

Você pode obter um Divisor Comum entre dois polinômio, fatorando-os e separando os fatores comuns. Em seguida "monta-se" o mdc.

1

Exemplo 1


Obter um Divisor Comum entre `x^2-2x+1` e `x^2-1`.


Resolução

`x^2-2x+1 = (x-1)^2=(x-1)(x-1)`

`x^2-1 = (x-1)(x+1)`

Os polinômios tem fator comum `(x-1)`.

Um Divisor Comum entre eles: `(x-1)`.


2

Exemplo 2


Obter um Divisor Comum entre `10x^2-20x+10` e `5x^2-5`.


`10x^2-20x+10 = 10*(x^2-2x+1)=10*(x-1)^2=10*(x-1)(x-1)`

`5x^2-5 = 5*(x^2-1)= 5*(x-1)(x+1)`

Os polinômios tem fator comum `(x-1)`.

Um Divisor Comum entre eles: `(x-1)`.

Outro Divisor Comum é, por exemplo, `5*(x-1)`.

Em se tratando de polinômios, temos sempre a EXISTÊNCIA de Divisor Comum (entre polinômios não nulos); e isso é garantido, uma vez que 1 divide qualquer polinômio. Mas não temos a unicidade de Divisor Comum para polinômios.

Os polinômios `A(X) = x^2-2x+1` e `B(x)=x^2-1` são ambos divisíveis por `x-1`, `2x-2`, `3x-3`, ... , `k*(x-1)` onde `k` é uma constante não nula. Pelo Teorema de D'Alembert, `(x – 1) | A(x)` assim como `(x – 1) | B(x)`, pois `A(1) = B(1) = 0`.

Cardica

Divisor Comum entre polinômios não é único. Mas se `P` é um Divisor Comum entre os polinômios considerados, todo Divisor Comum entre eles pode ser escrito como `k*P` (`k` é uma constante não nula).

Um dos problemas com o procedimento usado nos exemplos 1 e 2 é que nem sempre a fatoração de um polinômio é elementar. Não é nada imediato, para muitos estudantes, que a decomposição, por exemplo, de `x^4+4` seja `(x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2)`.

Vamos trabalhar, então, um método que não dependa da fatoração. Adianto: só funciona para a obtenção do mdc entre DOIS polinômios de coeficientes racionais.

O método se baseia no Algoritmo de Euclides (saiba mais sobre o Algoritmo de Euclides). E é muito útil para se evitar a decomposição dos polinômios envolvidos.

 

3

Exemplo 3


Obter um Divisor Comum entre `(x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12)` e `(x^3 - 13x - 12)`.


Resolução

Monte uma grade com, pelo menos, 3 colunas e exatamente 3 linhas (deixe espaço à direita):

     
     
 

 

Na grade, insira os polinômios assim, colocando o de maior grau na primeira posição (se fossem iguais seria indiferente qual será colocado em primeiro):

`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`

 

Sempre na primeira linha, sobre o último divisor usado, escreva o quociente da divisão atual. Na divisão de `x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12` por `x^3 - 13x - 12` o quociente é `x`. Registre assim:

`x`
`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`

 

O resto da divisão atual é registrado abaixo do dividendo da divisão atual. Na divisão o resto é `-x^3 + 13x + 12`.

`x`
`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`
`-x^3 + 13x + 12`

 

Como `-x^3 + 13x + 12` não é polinômio nulo, compiamos `-x^3 + 13x + 12` ao lado de `x^3 - 13x - 12`, na próxima casa. Divide-se agora `x^3 - 13x - 12`por `-x^3 + 13x + 12`.

`x`
`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`
`-x^3 + 13x + 12`
`-x^3 + 13x + 12`

 

Na divisão de `x^3 - 13x - 12` por `-x^3 + 13x + 12` o quociente é `-1`. Registre assim:

`x`
`-1`
`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`
`-x^3 + 13x + 12`
`-x^3 + 13x + 12`

 

Na divisão de `x^3 - 13x - 12` por `-x^3 + 13x + 12` o resto é o polinômio nulo.

`x`
`-1`
`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`
`-x^3 + 13x + 12`
`-x^3 + 13x + 12`
`0`

 

Um mdc entre `x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12` e `x^3 - 13x - 12` é `-x^3 + 13x + 12`.

Atenção! Qualquer polinômio da forma `k*(-x^3 + 13x + 12)` onde `k` é uma constante diferente de zero é também um Divisor Comum entre `(x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12)` e `(x^3 - 13x - 12)`.




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