Máximo divisor comum entre polinômios

O cálculo do mdc entre polinômios tem sido requisitado na página faz algum tempo. Pois bem, vou passar as dicas básicas para que os leitores não fiquem na mão (já que sei que alguns cursos não passam os procedimentos para que isso seja feito).

Bem, vamos começar com polinômios de coeficientes racionais.

Definição

	Um máximo divisor comum de um grupo de dois ou mais polinômios não nulos, de coeficientes racionais, P1(x), P2(x), ... , Pm(x) é um polinômio de maior grau M(x) que divide todos os polinômios P1(x), P2(x), ... , Pm(x) . M(x) também deve só conter coeficientes racionais.

Saiba: P(x) = 2x³ + x – 1 é um polinômio de coeficientes racionais porque todos os coeficientes das potências xⁿ (n = 1, 2, 3, ...) e o termo independente são números racionais. O grau deste polinômio é 3.

potência	x3	x2	x1	termo independente
coeficiente	2	0	1	–1

Saiba: P(x) = 140x⁵ + √2 x³ – x² + 3 NÃO é um polinômio de coeficientes racionais porque há pelo menos um coeficiente das potências xⁿ (n = 1, 2, 3, ...) ou do termo independente que não é um número racional. No caso, o coeficiente irracional (que é um número real não racional) é √2 da potência cúbica. Preste atenção: P(x) não deixa de ser um polinômio! Apenas não é um polinômio racional.

Definição

	Um polinômio D(x) divide um polinômio A(x) - não nulo - se existe um polinômio Q(x) tal que A(x) ≡ Q(x)D(x)

Por exemplo, D(x) = x + 2 divide A(x) = x³ + 2x² – 9x – 18 pois existe um Q(x) = x² – 9 tal que A(x) ≡ Q(x)D(x). Veja:

x³ + 2x² – 9x – 18 ≡ (x + 2)(x² – 9)

Denotamos D(x) | A(x) e lemos: D(x) divide A(x) ou A(x) é divisível por D(x). Q(x) é o quociente.

 

Procedimento para polinômios racionais

	Obtendo um mdc usando FATORAÇÃO: Obter a fatoração de P1, P2, etc... Isso quer dizer, decomponha P1, P2, etc... em fatores com menor grau possível onde os fatores ainda sejam polinômios racionais. Um mdc entre os polinômios é igual produto dos fatores comuns dos polinômios. Caso não existam fatores comuns, o maior divisor comum é 1, logo o mdc(P1, P2, ...) = 1

	Exemplo - Obter um mdc entre (x2 – 2x + 1) e (x2 – 1)
	x2– 2x + 1 = (x – 1)( x – 1) x2– 1 = (x – 1)(x + 1) Um mdc é (x – 1) já que é fator comum entre os polinômios x2– 2x + 1 e x2– 1.

	Exemplo - Obter um mdc entre (x2 – 2x + 1) e (5x2 – 5)
	x2– 2x + 1 = (x – 1)( x – 1) 5x2– 5 = 5(x – 1)(x + 1) Um mdc é (x – 1) já que é fator comum entre os polinômios x2– 2x + 1 e 5x2– 5 .

	Exemplo - Obter um mdc entre (10x2 – 20x + 10) e (5x2 – 5)
	10x2– 20x + 10 = 10( x – 1)( x – 1) 5x2– 5 = 5(x – 1)(x + 1) Um mdc é (x – 1) já que é fator comum entre os polinômios 10x2– 20x + 10 e 5x2– 5. Repare que 5(x – 1) = 5x – 5 também é um fator comum entre os polinômios 10x2– 20x + 10 e 5x2– 5. Basta escrever: 10x2– 20x + 10 = (5x – 5)(2x – 2) 5x2– 5 = (5x – 5)(x + 1) Assim, um OUTRO mdc é 5x – 5.

Estranho!!

No último exemplo, temos mdc entre (10x² – 20x + 10) e (5x² – 5) que pode ser x – 1 mas também pode ser 5x – 5?

Sim. E mais do que isso: AMBOS são mdc e INFINITOS outros podem ser mdc!

O estranho vem, provavelmente, do fato que estamos acostumados a determinar "o" mdc entre dois números inteiros não nulos que, sempre existe e é ÚNICO.

Entretanto, em se tratando de polinômios, temos sempre a EXISTÊNCIA de mdc (entre polinômios não nulos); e isso é garantido, uma vez que 1 divide qualquer polinômio. Mas não temos a unicidade de mdc para polinômios.

Pela definição, para que um polinômio M(x) seja mdc entre A(x) e B(x) - não nulos - basta que M(x) divida A(x) e B(x).

Perceba, por exemplo, que A(x) = x² – 2x + 1 e B(x) = x² – 1 são ambos divisíveis por x – 1,
2x – 2, 3x – 3, – 4x + 4, ... enfim! A(x) e B(x) são divisíveis por qualquer polinômio da forma
a(x – 1) onde a é uma constante não nula.

Pelo Teorema de D'Alembert, (x – 1) | A(x) assim como (x – 1) | B(x), pois A(1) = B(1) = 0.

		MDC de Polinômios
	Não é único. Mas se P é um mdc entre os polinômios considerados, todo mdc entre eles pode ser escrito como a·P (a é uma constante não nula).

Não se esqueça que para ser mdc é OBRIGATÓRIO que ele seja o produto de TODOS os divisores dos polinômios dados (desconsiderando as constantes multiplicativas). O grau do mdc é único

Saiba mais sobre divisibilidade (Teorema de D'Alembert)

O primeiro procedimento explicado pode ser usado para obter um mdc entre vários polinômios. Porém...

Um dos problemas com o procedimento anterior é que nem sempre a fatoração de um polinômio é elementar.

Não é imediato, para muitos, que a decomposição, por exemplo, de x⁴ + 4 seja
(x² + 2x + 2)(x² – 2x + 2) — repare do exemplo que os seus fatores têm grau 2 pois é o grau mínimo, nos dois fatores, que apresenta coeficientes racionais. Se você se propuser a decompor x² + 2x + 2 ou x² – 2x + 2 em fatores do 1º grau verá que ocorrem coeficientes imaginários — que não interessa por agora.

Vamos trabalhar, então, um método que não dependa da fatoração. Adianto: só funciona para a obtenção do mdc entre DOIS polinômios de coeficientes racionais.

O método se baseia no Algoritmo de Euclides (saiba mais sobre o Algoritmo de Euclides). E é muito útil para se evitar a decomposição dos polinômios envolvidos.

	Exemplo - Obter um mdc entre (x4 – x3 – 13x2+ x + 12) e (x3 – 13x – 12)
	Monte uma grade com, pelo menos, 3 colunas e exatamente 3 linhas (deixe espaço à direita): Na grade, insira os polinômios assim, colocando o de maior grau na primeira posição (se fossem iguais seria indiferente qual será colocado em primeiro):         x4 – x3 – 13x2+ x + 12 x3 – 13x – 12             Sempre na primeira linha, sobre o último divisor usado, escreva o quociente da divisão atual. Na divisão de x4 – x3 – 13x2+ x + 12 por x3 – 13x – 12 o quociente é x. Registre assim:   x     x4 – x3 – 13x2+ x + 12 x3 – 13x – 12             O resto da divisão atual é registrado abaixo do dividendo da divisão atual. Na divisão o resto é –x3 + 13x + 12.   x     x4 – x3 – 13x2+ x + 12 x3 – 13x – 12     –x3 + 13x + 12       Como –x3 + 13x + 12 não é polinômio nulo, compiamos–x3 + 13x + 12 ao lado de x3 – 13x – 12, na próxima casa. Divide-se agora x3 – 13x – 12 por –x3 + 13x + 12.   x     x4 – x3 – 13x2+ x + 12 x3 – 13x – 12 –x3 + 13x + 12   –x3 + 13x + 12       Na divisão de x3 – 13x – 12 por –x3 + 13x + 12 o quociente é -1. Registre assim:   x -1   x4 – x3 – 13x2+ x + 12 x3 – 13x – 12 –x3 + 13x + 12   –x3 + 13x + 12       Na divisão de x3 – 13x – 12 por –x3 + 13x + 12 o resto é o polinômio nulo.   x -1   x4 – x3 – 13x2+ x + 12 x3 – 13x – 12 –x3 + 13x + 12   –x3 + 13x + 12 0     Um mdc entre x4 – x3 – 13x2+ x + 12 e x3 – 13x – 12 é –x3 + 13x + 12. Atenção! Qualquer polinômio da forma a(–x3 + 13x + 12) onde a é uma constante diferente de zero é também um mdc.

Veja mais exercícios sobre polinômios (clique aqui)

Professor Cardy