Professor Cardy

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Definição

Divisor comum de um grupo de dois ou mais polinômios não nulos, de coeficientes racionais, $$P_1(x), P_2(x), ... , P_m(x)$$ é um polinômio de maior grau $$M(x)$$ que divide todos os polinômios $$P_1(x), P_2(x), ... , P_m(x)$$. O polinômio $$M(x)$$ tem exclusivamente coeficientes racionais.

Antes de continuar, um exemplo de polinômio de coeficientes racionais: $$P(x) = 2x^3 + x - 1$$ é um polinômio de coeficientes racionais porque todos os coeficientes das potências $$x^n$$ com $$n \in \mathbb{N}**$$ e o termo independente são números racionais. O grau deste polinômio é 3.

potências `x^n`
`x^3`
`x^2`
`x^1`
termo independente
coeficientes de `x^n`
`2`
`0`
`1`
`-1`

 

Um exemplo de polinômio que não é de coeficientes racionais: $$P(x) = 140x^5 + \sqrt{2}x^3 +4$$ porque há pelo menos um coeficiente das potências $$x^n$$ ($$n = 1, 2, 3, ...$$) que não é um número racional. No caso, há um coeficiente irracional. Veja a presença de $$\sqrt{2}$$, coeficiente da potência cúbica. Preste atenção: $$P(x)$$ não deixa de ser um polinômio! Apenas não é um polinômio racional.

Definição

Um polinômio $$D(x)$$ divide um polinômio $$A(x)$$, não nulo, se existe um polinômio $$Q(x)$$ tal que $$A(x) -= Q(x)D(x)$$.

Por exemplo, $$D(x) = x + 2$$ divide $$A(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18$$ pois temos um $$Q(x) = x^2 - 9$$ tal que $$A(x) -= Q(x)D(x)$$. Veja:

$$x^3 + 2x^2 - 9x - 18 -= (x + 2)*(x^2 - 9)$$

Denotamos $$D(x) | A(x)$$ e lemos: $$D(x)$$ divide $$A(x)$$. Também podemos dizer que $$A(x)$$ é divisível por $$D(x)$$.

Cardica

Você pode obter um Divisor Comum entre dois polinômio, fatorando-os e separando os fatores comuns. Em seguida "monta-se" o mdc.

1

Exemplo 1


Obter um Divisor Comum entre $$x^2-2x+1$$ e $$x^2-1$$.


Resolução

$$x^2-2x+1 = (x-1)^2=(x-1)(x-1)$$

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

Os polinômios tem fator comum $$(x-1)$$.

Um Divisor Comum entre eles: $$(x-1)$$.


2

Exemplo 2


Obter um Divisor Comum entre $$10x^2-20x+10$$ e $$5x^2-5$$.


$$10x^2-20x+10 = 10*(x^2-2x+1)=10*(x-1)^2=10*(x-1)(x-1)$$

$$5x^2-5 = 5*(x^2-1)= 5*(x-1)(x+1)$$

Os polinômios tem fator comum $$(x-1)$$.

Um Divisor Comum entre eles: $$(x-1)$$.

Outro Divisor Comum é, por exemplo, $$5*(x-1)$$.

Em se tratando de polinômios, temos sempre a EXISTÊNCIA de Divisor Comum (entre polinômios não nulos); e isso é garantido, uma vez que 1 divide qualquer polinômio. Mas não temos a unicidade de Divisor Comum para polinômios.

Os polinômios $$A(X) = x^2-2x+1$$ e $$B(x)=x^2-1$$ são ambos divisíveis por $$x-1$$, $$2x-2$$, $$3x-3$$, ... , $$k*(x-1)$$ onde $$k$$ é uma constante não nula. Pelo Teorema de D'Alembert, $$(x – 1) | A(x)$$ assim como $$(x – 1) | B(x)$$, pois $$A(1) = B(1) = 0$$.

Cardica

Divisor Comum entre polinômios não é único. Mas se $$P$$ é um Divisor Comum entre os polinômios considerados, todo Divisor Comum entre eles pode ser escrito como $$k*P$$ ($$k$$ é uma constante não nula).

Um dos problemas com o procedimento usado nos exemplos 1 e 2 é que nem sempre a fatoração de um polinômio é elementar. Não é nada imediato, para muitos estudantes, que a decomposição, por exemplo, de $$x^4+4$$ seja $$(x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2)$$.

Vamos trabalhar, então, um método que não dependa da fatoração. Adianto: só funciona para a obtenção do mdc entre DOIS polinômios de coeficientes racionais.

O método se baseia no Algoritmo de Euclides (saiba mais sobre o Algoritmo de Euclides). E é muito útil para se evitar a decomposição dos polinômios envolvidos.

 

3

Exemplo 3


Obter um Divisor Comum entre $$(x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12)$$ e $$(x^3 - 13x - 12)$$.


Resolução

Monte uma grade com, pelo menos, 3 colunas e exatamente 3 linhas (deixe espaço à direita):

     
     
 

 

Na grade, insira os polinômios assim, colocando o de maior grau na primeira posição (se fossem iguais seria indiferente qual será colocado em primeiro):

$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$
$$x^3 - 13x - 12$$

 

Sempre na primeira linha, sobre o último divisor usado, escreva o quociente da divisão atual. Na divisão de $$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$ por $$x^3 - 13x - 12$$ o quociente é $$x$$. Registre assim:

$$x$$
$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$
$$x^3 - 13x - 12$$

 

O resto da divisão atual é registrado abaixo do dividendo da divisão atual. Na divisão o resto é $$-x^3 + 13x + 12$$.

$$x$$
$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$
$$x^3 - 13x - 12$$
$$-x^3 + 13x + 12$$

 

Como $$-x^3 + 13x + 12$$ não é polinômio nulo, compiamos $$-x^3 + 13x + 12$$ ao lado de $$x^3 - 13x - 12$$, na próxima casa. Divide-se agora $$x^3 - 13x - 12$$por $$-x^3 + 13x + 12$$.

$$x$$
$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$
$$x^3 - 13x - 12$$
$$-x^3 + 13x + 12$$
$$-x^3 + 13x + 12$$

 

Na divisão de $$x^3 - 13x - 12$$ por $$-x^3 + 13x + 12$$ o quociente é $$-1$$. Registre assim:

$$x$$
$$-1$$
$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$
$$x^3 - 13x - 12$$
$$-x^3 + 13x + 12$$
$$-x^3 + 13x + 12$$

 

Na divisão de $$x^3 - 13x - 12$$ por $$-x^3 + 13x + 12$$ o resto é o polinômio nulo.

$$x$$
$$-1$$
$$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$
$$x^3 - 13x - 12$$
$$-x^3 + 13x + 12$$
$$-x^3 + 13x + 12$$
$$0$$

 

Um mdc entre $$x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12$$ e $$x^3 - 13x - 12$$ é $$-x^3 + 13x + 12$$.

Atenção! Qualquer polinômio da forma $$k*(-x^3 + 13x + 12)$$ onde $$k$$ é uma constante diferente de zero é também um Divisor Comum entre $$(x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12)$$ e $$(x^3 - 13x - 12)$$.