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Definição

Divisor comum de um grupo de dois ou mais polinômios não nulos, de coeficientes racionais, `P_1(x), P_2(x), ... , P_m(x)` é um polinômio de maior grau `M(x)` que divide todos os polinômios `P_1(x), P_2(x), ... , P_m(x)`. O polinômio `M(x)` tem exclusivamente coeficientes racionais.

Antes de continuar, um exemplo de polinômio de coeficientes racionais: `P(x) = 2x^3 + x - 1` é um polinômio de coeficientes racionais porque todos os coeficientes das potências `x^n` com `n \in \NN**` e o termo independente são números racionais. O grau deste polinômio é 3.

potências `x^n`
`x^3`
`x^2`
`x^1`
termo independente
coeficientes de `x^n`
`2`
`0`
`1`
`-1`

 

Um exemplo de polinômio que não é de coeficientes racionais: `P(x) = 140x^5 + \sqrt{2}x^3 +4` porque há pelo menos um coeficiente das potências `x^n` (`n = 1, 2, 3, ...`) que não é um número racional. No caso, há um coeficiente irracional. Veja a presença de `\sqrt{2}`, coeficiente da potência cúbica. Preste atenção: `P(x)` não deixa de ser um polinômio! Apenas não é um polinômio racional.

Definição

Um polinômio `D(x)` divide um polinômio `A(x)`, não nulo, se existe um polinômio `Q(x)` tal que `A(x) -= Q(x)D(x)`.

Por exemplo, `D(x) = x + 2` divide `A(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18` pois temos um `Q(x) = x^2 - 9` tal que `A(x) -= Q(x)D(x)`. Veja:

`x^3 + 2x^2 - 9x - 18 -= (x + 2)*(x^2 - 9)`

Denotamos `D(x) | A(x)` e lemos: `D(x)` divide `A(x)`. Também podemos dizer que `A(x)` é divisível por `D(x)`.

Cardica

Você pode obter um Divisor Comum entre dois polinômio, fatorando-os e separando os fatores comuns. Em seguida "monta-se" o mdc.

1

Exemplo 1


Obter um Divisor Comum entre `x^2-2x+1` e `x^2-1`.


Resolução

`x^2-2x+1 = (x-1)^2=(x-1)(x-1)`

`x^2-1 = (x-1)(x+1)`

Os polinômios tem fator comum `(x-1)`.

Um Divisor Comum entre eles: `(x-1)`.


2

Exemplo 2


Obter um Divisor Comum entre `10x^2-20x+10` e `5x^2-5`.


`10x^2-20x+10 = 10*(x^2-2x+1)=10*(x-1)^2=10*(x-1)(x-1)`

`5x^2-5 = 5*(x^2-1)= 5*(x-1)(x+1)`

Os polinômios tem fator comum `(x-1)`.

Um Divisor Comum entre eles: `(x-1)`.

Outro Divisor Comum é, por exemplo, `5*(x-1)`.

Em se tratando de polinômios, temos sempre a EXISTÊNCIA de Divisor Comum (entre polinômios não nulos); e isso é garantido, uma vez que 1 divide qualquer polinômio. Mas não temos a unicidade de Divisor Comum para polinômios.

Os polinômios `A(X) = x^2-2x+1` e `B(x)=x^2-1` são ambos divisíveis por `x-1`, `2x-2`, `3x-3`, ... , `k*(x-1)` onde `k` é uma constante não nula. Pelo Teorema de D'Alembert, `(x – 1) | A(x)` assim como `(x – 1) | B(x)`, pois `A(1) = B(1) = 0`.

Cardica

Divisor Comum entre polinômios não é único. Mas se `P` é um Divisor Comum entre os polinômios considerados, todo Divisor Comum entre eles pode ser escrito como `k*P` (`k` é uma constante não nula).

Um dos problemas com o procedimento usado nos exemplos 1 e 2 é que nem sempre a fatoração de um polinômio é elementar. Não é nada imediato, para muitos estudantes, que a decomposição, por exemplo, de `x^4+4` seja `(x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2)`.

Vamos trabalhar, então, um método que não dependa da fatoração. Adianto: só funciona para a obtenção do mdc entre DOIS polinômios de coeficientes racionais.

O método se baseia no Algoritmo de Euclides (saiba mais sobre o Algoritmo de Euclides). E é muito útil para se evitar a decomposição dos polinômios envolvidos.

 

3

Exemplo 3


Obter um Divisor Comum entre `(x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12)` e `(x^3 - 13x - 12)`.


Resolução

Monte uma grade com, pelo menos, 3 colunas e exatamente 3 linhas (deixe espaço à direita):

     
     
 

 

Na grade, insira os polinômios assim, colocando o de maior grau na primeira posição (se fossem iguais seria indiferente qual será colocado em primeiro):

`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`

 

Sempre na primeira linha, sobre o último divisor usado, escreva o quociente da divisão atual. Na divisão de `x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12` por `x^3 - 13x - 12` o quociente é `x`. Registre assim:

`x`
`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`

 

O resto da divisão atual é registrado abaixo do dividendo da divisão atual. Na divisão o resto é `-x^3 + 13x + 12`.

`x`
`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`
`-x^3 + 13x + 12`

 

Como `-x^3 + 13x + 12` não é polinômio nulo, compiamos `-x^3 + 13x + 12` ao lado de `x^3 - 13x - 12`, na próxima casa. Divide-se agora `x^3 - 13x - 12`por `-x^3 + 13x + 12`.

`x`
`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`
`-x^3 + 13x + 12`
`-x^3 + 13x + 12`

 

Na divisão de `x^3 - 13x - 12` por `-x^3 + 13x + 12` o quociente é `-1`. Registre assim:

`x`
`-1`
`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`
`-x^3 + 13x + 12`
`-x^3 + 13x + 12`

 

Na divisão de `x^3 - 13x - 12` por `-x^3 + 13x + 12` o resto é o polinômio nulo.

`x`
`-1`
`x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12`
`x^3 - 13x - 12`
`-x^3 + 13x + 12`
`-x^3 + 13x + 12`
`0`

 

Um mdc entre `x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12` e `x^3 - 13x - 12` é `-x^3 + 13x + 12`.

Atenção! Qualquer polinômio da forma `k*(-x^3 + 13x + 12)` onde `k` é uma constante diferente de zero é também um Divisor Comum entre `(x^4 - x^3 - 13x^2+ x + 12)` e `(x^3 - 13x - 12)`.


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