Você deve, provavelmente, conhecer o procedimento para se resolver qualquer equação do segundo grau de coeficientes reais. Acredito que não se tenha nenhum problema sério em relação a isto. No entanto, para as equações polinomiais de grau maior que lhe são propostas a resolver, a saída está bem mais limitada.
Os procedimentos populares combinam o uso das Relações de Girard, o Teorema das Raízes Racionais, Divisão de Polinômios ou troca de variáveis, para citar alguns exemplos.
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São realmente boas ferramentas que se devem usar sempre que forem aplicáveis! Porém, muitos professores, sabendo das fórmulas de Cardano-Tartaglia, perguntam-me como se faria se fosse desejado resolver uma equação polinomial cúbica qualquer, de coeficientes reais, por essa técnica - Bem, já vou dizendo, é mais penosa... mas é genérica.
O procedimento geral que vou apresentar de início não é o resultado encontrado por Cardano. Porém, fica adiantado para sua consulta.
A partir de uma equação da forma:
Você trabalhará os coeficientes para obter 4 constantes auxiliares:
Usando Q, R, S e T a obtenção das 3 raízes são obtidas pelas substituições abaixo:
Depois de ter passado o caso geral. Trato da fórmula de Cardano (que na verdade foi pensada por Tartaglia) que depende de um caso particular de equação do 3º grau, na forma:
Para converter uma equação da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 basta chamar x = y + m e determinar m de modo a anular o termo do 2º grau — que é m = -b/3a
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Exemplo - Elimine o termo quadrático da equação x3 + 6x2 + x + 2 = 0 |
Fazendo x = y – 2 (onde b = 6 e a = 1, x = y + m com m sendo -b/3a resulta m = –2) vem: (y – 2)3 + 6(y – 2)2 + (y – 2) + 2 = 0 y3 – 6y2 + 12y – 8 + 6y2 – 24y + 24 + y – 2 + 2 = 0 y3 – 11y + 16 = 0 Esta equação, na incógnita y, tem o termo quadrático eliminado (seu coeficiente é nulo) e tal equação pode ser resolvida pelo método de Tartaglia. |
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Depois de transformar uma equação ax3 + bx2 + cx + d = 0 para a forma x3+ px + q = 0 use:
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(p e q reais) Uma solução da equação é:
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A fórmula de Cardano-Tartaglia não precisa ser decorada se você lembrar como passar uma equação da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 para a forma x3+ px + q = 0 de acordo com a dica anterior e depois proceder como será feito no último exemplo:
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Exemplo - Determine uma solução da equação x3– 6x – 9 = 0 |
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| Não vou usar a fórmula de Cardano, mas um par de substituições convenientes | |||||||||||||||||||
Podemos fazer x = u + v e tomar uv como sendo o oposto da terça parte do termo do primeiro grau em
Ou seja, fazer:
Na equação proposta, ficamos com
Colocando-se em evidência 3uv para as segunda e terceira parcelas:
Usando que uv = 2 (repare que ter usado que uv é o oposto da terça parte do termo de primeiro grau simplificará a nova equação).
Simplificando, chega-se à equação
que pode ser facilmente resolvida como uma equação do 2º grau pela substituição
Bastaria usar uma das soluções da equação na incógnita y que são {8, 1} para o arremate do exercício, repare que é indiferente:
Em ambos os casos somos levados ao mesmo resultado para a incógnita x
x = u + v = 1 + 2 = 3. Esta é uma solução da equação proposta. |
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