Fórmula de Cardano e Tartaglia

Você deve, provavelmente, conhecer o procedimento para se resolver qualquer equação do segundo grau de coeficientes reais. Acredito que não se tenha nenhum problema sério em relação a isto. No entanto, para as equações polinomiais de grau maior que lhe são propostas a resolver, a saída está bem mais limitada.

Os procedimentos populares combinam o uso das Relações de Girard, o Teorema das Raízes Racionais, Divisão de Polinômios ou troca de variáveis, para citar alguns exemplos.

São realmente boas ferramentas que se devem usar sempre que forem aplicáveis! Porém, muitos professores, sabendo das fórmulas de Cardano-Tartaglia, perguntam-me como se faria se fosse desejado resolver uma equação polinomial cúbica qualquer, de coeficientes reais, por essa técnica - Bem, já vou dizendo, é mais penosa... mas é genérica.

O procedimento geral que vou apresentar de início não é o resultado encontrado por Cardano. Porém, fica adiantado para sua consulta.

A partir de uma equação da forma:

Você trabalhará os coeficientes para obter 4 constantes auxiliares:

Usando Q, R, S e T a obtenção das 3 raízes são obtidas pelas substituições abaixo:

Depois de ter passado o caso geral. Trato da fórmula de Cardano (que na verdade foi pensada por Tartaglia) que depende de um caso particular de equação do 3º grau, na forma:

Para converter uma equação da forma ax³ + bx² + cx + d = 0 basta chamar x = y + m e determinar m de modo a anular o termo do 2º grau — que é m = -b/3a

	Exemplo - Elimine o termo quadrático da equação x3 + 6x2 + x + 2 = 0
	Fazendo x = y – 2 (onde b = 6 e a = 1, x = y + m com m sendo -b/3a resulta m = –2) vem: (y – 2)3 + 6(y – 2)2 + (y – 2) + 2 = 0 y3 – 6y2 + 12y – 8 + 6y2 – 24y + 24 + y – 2 + 2 = 0 y3 – 11y + 16 = 0 Esta equação, na incógnita y, tem o termo quadrático eliminado (seu coeficiente é nulo) e tal equação pode ser resolvida pelo método de Tartaglia.

Depois de transformar uma equação ax³ + bx² + cx + d = 0 para a forma x³+ px + q = 0 use:

Fórmula de Cardano-Tartaglia (p e q reais) Uma solução da equação é:

A fórmula de Cardano-Tartaglia não precisa ser decorada se você lembrar como passar uma equação da forma ax³ + bx² + cx + d = 0 para a forma x³+ px + q = 0 de acordo com a dica anterior e depois proceder como será feito no último exemplo:

	Exemplo - Determine uma solução da equação x3– 6x – 9 = 0
	Não vou usar a fórmula de Cardano, mas um par de substituições convenientes
	Podemos fazer x = u + v e tomar uv como sendo o oposto da terça parte do termo do primeiro grau em Ou seja, fazer: Na equação proposta, ficamos com Colocando-se em evidência 3uv para as segunda e terceira parcelas: Usando que uv = 2 (repare que ter usado que uv é o oposto da terça parte do termo de primeiro grau simplificará a nova equação). Como uv = 2, tem-se que v = 2/u, assim: Simplificando, chega-se à equação que pode ser facilmente resolvida como uma equação do 2º grau pela substituição Bastaria usar uma das soluções da equação na incógnita y que são {8, 1} para o arremate do exercício, repare que é indiferente: A solução real da equação acima é como vem A solução real da equação acima é como vem Em ambos os casos somos levados ao mesmo resultado para a incógnita x x = u + v = 1 + 2 = 3. Esta é uma solução da equação proposta.

Professor Cardy