Professor Cardy



Cardicas > Fórmula de Cardano e Tartaglia

Você deve , provavelmente, conhecer o procedimento para se resolver qualquer equação do segundo grau de coeficientes reais. Acredito que não se tenha nenhum problema sério em relação a isto. No entanto, para as equações polinomiais de grau maior que lhe são propostas a resolver, a saída está bem mais limitada.

Mas você conhece uma fórmula como a de Bháskara para resolver uma equação do 3° grau?

`x^3 + a_2x^2+a_1x+a_0=0`

Caso queira uma Calculadora de Equação Cúbica clique aqui.

Os procedimentos populares combinam o uso das Relações de Girard, o Teorema das Raízes Racionais, Divisão de Polinômios ou troca de variáveis, para citar alguns exemplos.

São realmente boas ferramentas que se devem usar sempre que forem aplicáveis! Porém, muitos professores, sabendo das fórmulas de Cardano-Tartaglia, perguntam-me como se faria se fosse desejado resolver uma equação polinomial cúbica qualquer, de coeficientes reais, por essa técnica - Bem, já vou dizendo, é mais penosa... mas é genérica.

O procedimento geral que vou apresentar de início não é o resultado encontrado por Cardano. Porém, fica adiantado para sua consulta.

A partir de uma equação da forma:

`x^3 + a_2x^2+a_1x+a_0=0`

Você trabalhará os coeficientes para obter 4 constantes auxiliares:

`Q=\frac{3a_1-a_2^2}{9}`

`R=\frac{3a_1a_2-27a_3-2a_2^3}{54}`

`S=\sqrt{R+\sqrt{Q^3+R^2}}`

`T=\sqrt{R-\sqrt{Q^3+R^2}}`

 

Usando `Q`, `R`, `S` e `T` a obtenção das 3 raízes são obtidas pelas substituições abaixo:

`{(x_1=S+T-1/3a_2),(x_2=-1/2(S+T)-1/3a_2+1/2\sqrt{3}(S-T)i), (x_3=-1/2(S+T)-1/3a_2-1/2\sqrt{3}(S-T)i) :}`

Depois de ter passado o caso geral. Trato da fórmula de Cardano (que na verdade foi pensada por Tartaglia) que depende de um caso particular de equação do 3º grau, na forma:

`x^3 + px^2+q=0`

Para converter uma equação da forma `ax^3 + bx^2+cx+d=0` basta chamar `x = y + m` e determinar `m` de modo a anular o termo do 2º grau — que é `m = -\frac{b}{3a}`.

Cardica

Toda equação do 3º Grau

`x^3 + a_2x^2+a_1x+a_0=0`

admite 3 soluções.

Coeficientes: `a_2`, `a_1` e `a_0` (todos números reais).

Incógnita: `x` .

 

i) Se `Q^3+R^2 > 0`, as soluções:

Uma única solução é real e as outras duas são imaginárias e conjugadas.

 

ii) Se `Q^3+R^2 = 0`, as soluções:

Todas as soluções são reais e, no mínimo, duas delas são iguais.

 

iii) Se `Q^3+R^2 < 0`, as soluções:

Todas as soluções são reais e distintas entre si.

Neste caso, com `Q^3+R^2 < 0`, pode-se usar diretamente que:

`{(x_1=2\sqrt{-Q}cos(1/3theta)),(x_2=2\sqrt{-Q}cos(1/3theta + 2pi/3)),(x_3=2\sqrt{-Q}cos(1/3theta + 4pi/3)):}`

Com `costheta=\frac{-R}{\sqrt{-Q^3}}`

 

 

Exemplo

Elimine o termo quadrático da equação x3 + 6x2 + x + 2 = 0

Resolução


Fazendo x = y – 2 (onde b = 6 e a = 1, x = y + m com m sendo -b/3a resulta m = –2) vem:

(y – 2)3 + 6(y – 2)2 + (y – 2) + 2 = 0

y3 – 6y2 + 12y – 8 + 6y2 – 24y + 24 + y – 2 + 2 = 0

y3 – 11y + 16 = 0

Esta equação, na incógnita y, tem o termo quadrático eliminado (seu coeficiente é nulo) e tal equação pode ser resolvida pelo método de Tartaglia.


Depois de transformar uma equação `ax^3 + bx^2+cx+d=0` para a forma `x^3 + px^2+q=0` use:


Cardica

Fórmula de Cardano-Tartaglia

`x^3 + px^2+q=0`

(p e q reais)

Uma solução da equação é:

 

A fórmula de Cardano-Tartaglia não precisa ser decorada se você lembrar como passar uma equação da forma `ax^3 + bx^2+cx+d=0` para a forma `x^3 + px^2+q=0` de acordo com a dica anterior e depois proceder como será feito no último exemplo:

 

Exemplo

Determine uma solução da equação x3– 6x – 9 = 0

Resolução


Podemos fazer x = u + v e tomar uv como sendo o oposto da terça parte do termo do primeiro grau em

Ou seja, fazer:

Na equação proposta, ficamos com

Colocando-se em evidência 3uv para as segunda e terceira parcelas:

Usando que uv = 2 (repare que ter usado que uv é o oposto da terça parte do termo de primeiro grau simplificará a nova equação).

Como uv = 2, tem-se que v = 2/u, assim:

Simplificando, chega-se à equação

que pode ser facilmente resolvida como uma equação do 2º grau pela substituição

Bastaria usar uma das soluções da equação na incógnita y que são {8, 1} para o arremate do exercício, repare que é indiferente:

A solução real da equação acima é
como
vem
A solução real da equação acima é
como
vem

Em ambos os casos somos levados ao mesmo resultado para a incógnita x

x = u + v = 1 + 2 = 3.

Esta é uma solução da equação proposta.