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Notação

Na notação de logaritmo `log_BA=x` temos:

`B` é a base do logaritmo. Essa base precisa ser positiva `(B>0)` e diferente de `1` `(B !=1)`.

`A` é o logaritmando. O logaritmando precisa ser positivo `(A>0)`.

`x` é o logaritmo. É o logaritmo de `A` na base `B`.

Cada `log_BA` que satisfizer as condições de existência para o logaritmo `{(A>0),(B>0),(B !=1) :}` estará associado a um único `x` de tal modo que `log_BA=x <=> B^x=A`. Assim o valor `x` (o logaritmo de `A` na base `B`.) nada mais é do que o expoente da base `B` que devemos ter de modo que seja igual a `A`.

1

Exemplo 1


Calcule `log_2 32`.


Resolução

Em `log_2 32`, vamos verificar as condições de existência:

`2` é a base do logaritmo. Essa base é positiva e diferente de `1`.

`32` é o logaritmando. O logaritmando é positivo.

Como estão satisfeitas as condições de existência `log_BA \text{ com }{(A>0),(B>0),(B !=1) :}` então existe um único valor `x` de modo que `log_2 32 = x`.

Em alguns casos de combinações convenientes entre Base e Logaritmando, podemos "fazer de cabeça" o cálculo de logaritmo respondendo a seguinte pergunta: Qual é o expoente para a base do logaritmo de modo que o resultado seja o logaritmando?

Perguntando "2 elevado a quanto resulta em 32?" A resposta é 5.

Repare que `log_2 32 = 5 <=> 2^5=32`.

 

Resposta: `log_2 32 = 5`.

2

Exemplo 2


Calcule `log_10 0,01`.


Resolução

Em `log_10 0,01`, vamos verificar as condições de existência:

`10` é a base do logaritmo. Essa base é positiva e diferente de `1`.

`0,01` é o logaritmando. O logaritmando é positivo.

Como estão satisfeitas as condições de existência `log_BA \text{ com }{(A>0),(B>0),(B !=1) :}` então existe um único valor `x` de modo que `log_10 0,01 = x`.

Nem sempre o cálculo mental usado no Exemplo 1 será simples. Podemos em qualquer caso usar a estrutura `log_BA=x <=> B^x=A` e resolver a equação exponencial envolvida, veja:

`log_10 0,01 <=> 10^x=0,01`

Prestemos atenção na equação exponencial, resolvendo-a:

`10^x=0,01`

`10^x=1/100`

`10^x=1/10^2`

`10^x=10^{-2}`

`x=-2`

Resposta: `log_10 0,01 = -2`

É importante salientar que não há problema algum que um logaritmo resulte num valor negativo. O que não podem ser negativos é a base e o logaritmando.


Cardica

O logaritmo de `1` em qualquer base positiva e diferente de `1` sempre valerá `0`, devido ao fato de que todo número diferente de zero elevado a zero é `1`.

`log_B 1 =x <=> B^x=1 <=> B^x=B^0 <=> x = 0`

`log_B 1 = 0\text{ com }{(B>0),(B !=1) :}`



Bases notáveis

É importante reconhecer, na notação de logaritmos, algumas bases frequentes:

`logA` ou `log_10 A`. A base é `10`. Chamado de Logaritmo Decimal.

 

`ln A` ou `log_e A`. A base é o número natural `e = 2, 71...`. Chamado de Logaritmo Natural.

Calculadora

Quero calcular o Logaritmo de:

Na base:

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