Notação
Na notação de logaritmo $$log_BA=x$$ temos:
$$B$$ é a base do logaritmo. Essa base precisa ser positiva $$(B>0)$$ e diferente de $$1$$ $$(B !=1)$$.
$$A$$ é o logaritmando. O logaritmando precisa ser positivo $$(A>0)$$.
$$x$$ é o logaritmo. É o logaritmo de $$A$$ na base $$B$$.
Cada $$log_BA$$ que satisfizer as condições de existência para o logaritmo $${(A>0),(B>0),(B !=1) :}$$ estará associado a um único $$x$$ de tal modo que $$log_BA=x <=> B^x=A$$. Assim o valor $$x$$ (o logaritmo de $$A$$ na base $$B$$.) nada mais é do que o expoente da base $$B$$ que devemos ter de modo que seja igual a $$A$$.
Exemplo 1
Calcule $$log_2 32$$.
Resolução
Em $$log_2 32$$, vamos verificar as condições de existência:
$$2$$ é a base do logaritmo. Essa base é positiva e diferente de $$1$$.
$$32$$ é o logaritmando. O logaritmando é positivo.
Como estão satisfeitas as condições de existência $$log_BA \text{ com }{(A>0),(B>0),(B !=1) :}$$ então existe um único valor $$x$$ de modo que $$log_2 32 = x$$.
Em alguns casos de combinações convenientes entre Base e Logaritmando, podemos "fazer de cabeça" o cálculo de logaritmo respondendo a seguinte pergunta: Qual é o expoente para a base do logaritmo de modo que o resultado seja o logaritmando?
Perguntando "2 elevado a quanto resulta em 32?" A resposta é 5.
Repare que $$log_2 32 = 5 <=> 2^5=32$$.
Resposta: $$log_2 32 = 5$$.
Exemplo 2
Calcule $$log_10 0,01$$.
Resolução
Em $$log_10 0,01$$, vamos verificar as condições de existência:
$$10$$ é a base do logaritmo. Essa base é positiva e diferente de $$1$$.
$$0,01$$ é o logaritmando. O logaritmando é positivo.
Como estão satisfeitas as condições de existência $$log_BA \text{ com }{(A>0),(B>0),(B !=1) :}$$ então existe um único valor $$x$$ de modo que $$log_10 0,01 = x$$.
Nem sempre o cálculo mental usado no Exemplo 1 será simples. Podemos em qualquer caso usar a estrutura $$log_BA=x <=> B^x=A$$ e resolver a equação exponencial envolvida, veja:
$$log_10 0,01 <=> 10^x=0,01$$
Prestemos atenção na equação exponencial, resolvendo-a:
$$10^x=0,01$$
$$10^x=1/100$$
$$10^x=1/10^2$$
$$10^x=10^{-2}$$
$$x=-2$$
Resposta: $$log_10 0,01 = -2$$
É importante salientar que não há problema algum que um logaritmo resulte num valor negativo. O que não podem ser negativos é a base e o logaritmando.
Cardica
O logaritmo de $$1$$ em qualquer base positiva e diferente de $$1$$ sempre valerá $$0$$, devido ao fato de que todo número diferente de zero elevado a zero é $$1$$.
$$log_B 1 =x <=> B^x=1 <=> B^x=B^0 <=> x = 0$$
$$log_B 1 = 0\text{ com }{(B>0),(B !=1) :}$$
Bases notáveis
É importante reconhecer, na notação de logaritmos, algumas bases frequentes:
$$logA$$ ou $$log_10 A$$. A base é $$10$$. Chamado de Logaritmo Decimal.
$$ln A$$ ou $$log_e A$$. A base é o número natural $$e = 2, 71...$$. Chamado de Logaritmo Natural.