Notação
Na notação de logaritmo `log_BA=x` temos:
`B` é a base do logaritmo. Essa base precisa ser positiva `(B>0)` e diferente de `1` `(B !=1)`.
`A` é o logaritmando. O logaritmando precisa ser positivo `(A>0)`.
`x` é o logaritmo. É o logaritmo de `A` na base `B`.
Cada `log_BA` que satisfizer as condições de existência para o logaritmo `{(A>0),(B>0),(B !=1) :}` estará associado a um único `x` de tal modo que `log_BA=x <=> B^x=A`. Assim o valor `x` (o logaritmo de `A` na base `B`.) nada mais é do que o expoente da base `B` que devemos ter de modo que seja igual a `A`.
Exemplo 1
Calcule `log_2 32`.
Resolução
Em `log_2 32`, vamos verificar as condições de existência:
`2` é a base do logaritmo. Essa base é positiva e diferente de `1`.
`32` é o logaritmando. O logaritmando é positivo.
Como estão satisfeitas as condições de existência `log_BA \text{ com }{(A>0),(B>0),(B !=1) :}` então existe um único valor `x` de modo que `log_2 32 = x`.
Em alguns casos de combinações convenientes entre Base e Logaritmando, podemos "fazer de cabeça" o cálculo de logaritmo respondendo a seguinte pergunta: Qual é o expoente para a base do logaritmo de modo que o resultado seja o logaritmando?
Perguntando "2 elevado a quanto resulta em 32?" A resposta é 5.
Repare que `log_2 32 = 5 <=> 2^5=32`.
Resposta: `log_2 32 = 5`.
Exemplo 2
Calcule `log_10 0,01`.
Resolução
Em `log_10 0,01`, vamos verificar as condições de existência:
`10` é a base do logaritmo. Essa base é positiva e diferente de `1`.
`0,01` é o logaritmando. O logaritmando é positivo.
Como estão satisfeitas as condições de existência `log_BA \text{ com }{(A>0),(B>0),(B !=1) :}` então existe um único valor `x` de modo que `log_10 0,01 = x`.
Nem sempre o cálculo mental usado no Exemplo 1 será simples. Podemos em qualquer caso usar a estrutura `log_BA=x <=> B^x=A` e resolver a equação exponencial envolvida, veja:
`log_10 0,01 <=> 10^x=0,01`
Prestemos atenção na equação exponencial, resolvendo-a:
`10^x=0,01`
`10^x=1/100`
`10^x=1/10^2`
`10^x=10^{-2}`
`x=-2`
Resposta: `log_10 0,01 = -2`
É importante salientar que não há problema algum que um logaritmo resulte num valor negativo. O que não podem ser negativos é a base e o logaritmando.
Cardica
O logaritmo de `1` em qualquer base positiva e diferente de `1` sempre valerá `0`, devido ao fato de que todo número diferente de zero elevado a zero é `1`.
`log_B 1 =x <=> B^x=1 <=> B^x=B^0 <=> x = 0`
`log_B 1 = 0\text{ com }{(B>0),(B !=1) :}`
Bases notáveis
É importante reconhecer, na notação de logaritmos, algumas bases frequentes:
`logA` ou `log_10 A`. A base é `10`. Chamado de Logaritmo Decimal.
`ln A` ou `log_e A`. A base é o número natural `e = 2, 71...`. Chamado de Logaritmo Natural.