Polinômio
Forma fatorada
Consulte também:
- polinômios 1
- polinômios 2
- polinômios 3
- polinômios 4
- polinômios 5
Em problemas em que são dados os gráficos de funções polinomiais temos oportunidades de fazer uma série de interpretações rápidas que podem auxiliar na diminuição de cálculos.
Vou mostrar algumas das informações que você pode aproveitar. Só vou tratar de função definida em IR.
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Definição |
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Em casos em que se sabe as coordenadas de n + 1 pontos distintos do gráfico de f(x), uma função polinomial de grau n, podemos montar n + 1 equações num sistema e resolvê-lo.
Importante: Se f(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x1 + a0 tem grau n, então temos n + 1 coeficientes a determinar!
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Exemplo - Dado que o gráfico uma função do primeiro grau passa pelos pontos ( 1, 2) e (2, 4), obter f(x) = ax + b. |
Temos pelo ponto (1, 2) que f(1) = 2 e pelo ponto (2, 4) que f(2) = 4.Assim: a + b = 2 e 2a + b = 4 De onde tira-se que a = 2 e b = 0. Então f(x) = 2x. |
Mas e se não tivermos n + 1 pontos do gráfico com coordenadas conhecidas?
Cardica Sempre que você tiver todas as raízes (reais ou não) de uma função polinomial e mais um ponto do seu gráfico fora do eixo Ox, use a forma fatorada da função! |
Lembre-se que um polinômio f(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x1 + a0 pode (também) ser escrito em sua forma fatorada, (an não nulo) como:
f(x) = an·(x – xn)·(x – xn–1 )· ... ·(x – x2)·(x – x1)
Cada fator (x – xn) tem uma correspondência direta com xn : que é uma raiz de f(x)! Leia também sobre multiplicidade de uma raiz.
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Exemplo - Dado que o grau da função polinomial g é 3. Determine g(x). |
| O gráfico de g(x) é exibido a seguir: | |
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Sendo g(x) de grau 3:
g(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Do gráfico de g(x) temos apenas 3 pontos de coordenadas conhecidas, o grau de g é 3... É improdutivo fazer que g(1) = 0, g(3) = 0 e g(0) = 15 porque ficaria faltando uma equação no sistema para serem obtidos 4 coeficientes (a, b, c, d).
Bem, repare que temos todas as raízes de g(x) no gráfico.
Temos a raiz 1 de vizinhança de mesmo sinal (+,+) e a raiz 3 de vizinhança de sinais contrários (+, -), então a única possibilidade para distribuição das raízes é que 1 seja uma raiz dupla e 3 seja uma raiz simples.
Na forma fatorada temos:
g(x) = a·(x – 1)·(x – 1)·(x – 3)
Basta agora determinarmos o coeficiente dominante a. Observe que temos o ponto (0, 15) no gráfico de g(x), logo g( 0 ) = 15.
g( 0 ) = a·(0 – 1)·(0 – 1)·(0 – 3) = 15
Portanto, como a·(– 1)·(– 1)·(– 3) = 15, chega-se que a = –5.
g(x) = –5·(x – 1)·(x – 1)·(x – 3)
Professor Cardy