Professor Cardy

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O Plano de Argand-Gauss e os Afixos de um Número Complexo.

Forma Algébrica do Número Complexo

Um número complexo `z` escrito na Forma Algébrica `z = x+iy`, com `x` a Parte Real (e `x` é um número real) e com `y` a Parte Imaginária (e `y` também é um número real). Assim, nesse formato, tanto a Parte Real bem como a Parte Imaginária são números reais. Um modo prático para a identificação de como eles se qualificam como "Parte alguma coisa" é se a parte 'multiplica' ou não a unidade imaginária `i` (`i=\sqrt{-1}`).

Forma Algébrica

`z = 2+3i`

Parte Real

2

Parte Imaginária

3

 

Cuidado

Existem os termos Número Complexo e Número Imaginário. São coisas diferentes! Veja aqui

Na Forma Algébrica, apenas se a Parte Imaginária for diferente de 0 é que o número será imaginário. Em se tratando do conjunto dos Números Complexos `\CC`, os Números Reais `\RR` formam um subconjunto de `\CC` e o Números Imaginários formam o conjunto complementar de `\RR` em relação a `\CC`.

Os Complexos:

Apenas os imaginários indicados agora:

Um número complexo será denominado Imaginário se a Parte Imaginária for diferente de zero. Agora, se além da Parte Imaginária não ser nula a Parte Real é zero, então o número poderá ser denominado Imaginário Puro.

A seguir podemos denominar TODOS como Números Complexos, repito: TODOS! No último quadro em cada exemplo há a denominação mais específica possível, dentro do que estamos tratando, e que também pode ser usada.

Forma Algébrica

`z = 2+3i`

Parte Real

2

Parte Imaginária

3

Identificação

`2+3i` é imaginário


Forma Algébrica

`z = 0+4i`

Parte Real

0

Parte Imaginária

4

Identificação

`0+4i = 4i` é imaginário puro


Forma Algébrica

`z = -5+0i`

Parte Real

-5

Parte Imaginária

0

Identificação

`-5+0i = -5` é real

1

Exemplo 1


Determine a parte real do número complexo `(2+3i)(1-4i)`.


Resolução


O número `(2+3i)(1-4i)` não está na Forma Algébrica. Estando um número complexo registrado na forma algébrica a determinação das suas partes é trivial.

Neste caso, podemos efetuar a conta `(2+3i)(1-4i)` e reorganizar as parcelas do resultado. Veja:

`(2+3i)(1-4i) = 2 -8i +3i -12i^2` — fazendo a distributiva.

`(2+3i)(1-4i) = 2 -8i +3i -12*(-1)` — usando que `i^2 = -1`.

`(2+3i)(1-4i) = 2 -8i +3i + 12` — simplificando.

`(2+3i)(1-4i) = (2 +12) +(-8i +3i)` — reagrupando termos, de modo conveniente.

`(2+3i)(1-4i) = (14) +(-5i)` — simplificando.

`(2+3i)(1-4i) = 14 -5i` — "limpando" partículas da notação dispensáveis.

Assim, escrito na forma algébrica o número dado, temos `14-5i`, cuja parte real é `14`.
2

Exemplo 2


Determine a parte real do número complexo `(1+i)^2`.


Resolução


O número `(1+i)^2` não está na Forma Algébrica.

Neste caso, podemos efetuar a conta `(1+i)^2` e reorganizar as parcelas do resultado. Veja:

`(1+i)^2 = 1+2i+i^2` — quadrado da soma.

`(1+i)^2 =1+2i-1` — usando que `i^2 = -1`.

`(1+i)^2 = (1-1) +2i` — reagrupando termos, de modo conveniente.

`(1+i)^2 = (0) +2i` — simplificando.

`(1+i)^2 = 0 +2i` — "limpando" partículas da notação dispensáveis.

Assim, escrito na forma algébrica o número dado, temos `0+2i`, cuja parte real é `0`.

O Plano de Argand-Gauss e os Afixos de um Número Complexo.

Matemática de Loterias



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