Professor Cardy

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O Plano de Argand-Gauss e os Afixos de um Número Complexo.

Forma Algébrica do Número Complexo

Um número complexo $$z$$ escrito na Forma Algébrica $$z = x+iy$$, com $$x$$ a Parte Real (e $$x$$ é um número real) e com $$y$$ a Parte Imaginária (e $$y$$ também é um número real). Assim, nesse formato, tanto a Parte Real bem como a Parte Imaginária são números reais. Um modo prático para a identificação de como eles se qualificam como "Parte alguma coisa" é se a parte 'multiplica' ou não a unidade imaginária $$i$$ ($$i=\sqrt{-1}$$).

Forma Algébrica

$$z = 2+3i$$

Parte Real

2

Parte Imaginária

3

 

Cuidado

Existem os termos Número Complexo e Número Imaginário. São coisas diferentes! Veja aqui

Na Forma Algébrica, apenas se a Parte Imaginária for diferente de 0 é que o número será imaginário. Em se tratando do conjunto dos Números Complexos $$\CC$$, os Números Reais $$\mathbb{R}$$ formam um subconjunto de $$\CC$$ e o Números Imaginários formam o conjunto complementar de $$\mathbb{R}$$ em relação a $$\CC$$.

Os Complexos:

Apenas os imaginários indicados agora:

Um número complexo será denominado Imaginário se a Parte Imaginária for diferente de zero. Agora, se além da Parte Imaginária não ser nula a Parte Real é zero, então o número poderá ser denominado Imaginário Puro.

A seguir podemos denominar TODOS como Números Complexos, repito: TODOS! No último quadro em cada exemplo há a denominação mais específica possível, dentro do que estamos tratando, e que também pode ser usada.

Forma Algébrica

$$z = 2+3i$$

Parte Real

2

Parte Imaginária

3

Identificação

$$2+3i$$ é imaginário


Forma Algébrica

$$z = 0+4i$$

Parte Real

0

Parte Imaginária

4

Identificação

$$0+4i = 4i$$ é imaginário puro


Forma Algébrica

$$z = -5+0i$$

Parte Real

-5

Parte Imaginária

0

Identificação

$$-5+0i = -5$$ é real

1

Exemplo 1


Determine a parte real do número complexo $$(2+3i)(1-4i)$$.


Resolução


O número $$(2+3i)(1-4i)$$ não está na Forma Algébrica. Estando um número complexo registrado na forma algébrica a determinação das suas partes é trivial.

Neste caso, podemos efetuar a conta $$(2+3i)(1-4i)$$ e reorganizar as parcelas do resultado. Veja:

$$(2+3i)(1-4i) = 2 -8i +3i -12i^2$$ — fazendo a distributiva.

$$(2+3i)(1-4i) = 2 -8i +3i -12*(-1)$$ — usando que $$i^2 = -1$$.

$$(2+3i)(1-4i) = 2 -8i +3i + 12$$ — simplificando.

$$(2+3i)(1-4i) = (2 +12) +(-8i +3i)$$ — reagrupando termos, de modo conveniente.

$$(2+3i)(1-4i) = (14) +(-5i)$$ — simplificando.

$$(2+3i)(1-4i) = 14 -5i$$ — "limpando" partículas da notação dispensáveis.

Assim, escrito na forma algébrica o número dado, temos `14-5i`, cuja parte real é `14`.
2

Exemplo 2


Determine a parte real do número complexo $$(1+i)^2$$.


Resolução


O número $$(1+i)^2$$ não está na Forma Algébrica.

Neste caso, podemos efetuar a conta $$(1+i)^2$$ e reorganizar as parcelas do resultado. Veja:

$$(1+i)^2 = 1+2i+i^2$$ — quadrado da soma.

$$(1+i)^2 =1+2i-1$$ — usando que $$i^2 = -1$$.

$$(1+i)^2 = (1-1) +2i$$ — reagrupando termos, de modo conveniente.

$$(1+i)^2 = (0) +2i$$ — simplificando.

$$(1+i)^2 = 0 +2i$$ — "limpando" partículas da notação dispensáveis.

Assim, escrito na forma algébrica o número dado, temos `0+2i`, cuja parte real é `0`.

O Plano de Argand-Gauss e os Afixos de um Número Complexo.