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Controles das constantes a, h e k.
Resultados Obtidos
a , onde a =

h , onde h =

k , onde k =

f(x) = [x – ()]2 + ()

Coordenadas do Vértice: ( h, k ) = ( , )

 

Você pode mudar os valores acima, clicando nos botões vermelhos ou azuis.

 


Introdução

Dizemos que uma fórmula está na forma canônica quando ela está escrita na sua forma mais simples ou que expõe algo de grande importância.

Uma função quadrática (que muitas vezes é denominada como "Função do Segundo Grau"*) é normalmente apresentada na sua forma geral f(x) = ax2 + bx + c pois nessa forma se fazem referências aos coeficiente a, b e c presentes na estrutura da expressão

"ax2 + bx + c"

E tal estrutura já compareceu nos estudos em outro tópico: "Equação do Segundo Grau", lembra? Quando ax2 + bx + c = 0 e você tinha que determinar os valores de x que tornavam esta sentença verdadeira?

(*) O termo completo é "Função Polinomial do 2º Grau"

 

Mas você sabia que existem outras formas para se escrever a lei da Função Quadrática?

Importante

Primeiramente, um alerta que Função Quadrática não é o mesmo que Equação Quadrática, apesar das notórias coisas parecidas que possuem em comum. Por exemplo, tanto os zeros de `f(x) = a x^2 + b x + c` bem como as raízes em `a x^2 + b x + c = 0` correspondem aos mesmos (com `a !=0`).

`x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}` e `x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}`.

 

No entanto, uma Função Quadrática e uma Equação Quadrática, também têm muitas coisas diferentes! Por exemplo, o gráfico de uma Funcão Quadrática é uma parábola e toda parábola tem um vértice. E o vértice é vital para o estudo da parábola. Já uma Equação Quadrática não tem vértice.

Uma vez que o vértice é de essencial importância para a parábola, é interessante que tenhamos uma lei de função que possa aprensentar informações sobre ele. E temos isso!

Vejamos!

As coordenadas do vértice de uma parábola associada a uma função quadrática podem ser obtidas de formas variadas.

Se a função estiver na forma canônica:

`f(x) = a(x - h)^2 + k`

O vértice fica bem fácil de ser determinado porque simplesmente corresponde ao ponto de coordenadas `(h, k)`.

 

Pelo método de completar o quadrado transforma-se a forma geral:

`f(x) = a x^2 + b x + c`

Para a forma canônica:

` f(x) = a(x - h)^2 + k`

 

Como as coordenadas do vértice da parábola são `V (x_v, y_v) = (-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}). ` com `h = -\frac{b}{2a}` e `k = - \frac{b^2-4ac}{4 a} = -\frac{\Delta}{4a}`, temos que a forma canônica é muito para prática para determinar as coordenadas do vértice!

1

Exemplo 1


Dado que o gráfico de uma função quadrática `f` tem como vértice o ponto `V(3,5)` e passa pelo ponto de coordenadas `P(4,7)`, obter `f(x)`.


Resolução


Conhecendo as coordenadas do vértice, a forma canônica é muito prática!

`f(x) = a(x - h)^2 + k`

Pois com `V(3,5)`, temos `h=3` e `k=5`. Assim:

`f(x) = a(x - 3)^2 + 5`

Precisamos determinar o valor da constante `a`. Para isso, basta usarmos a informação de que o ponto `P(4,7)` pertence ao gráfico da `f` (`G_f`).

`P(4,7) \in G_{f} <=> `f(4)=7`.

`f(x) = a(x - 3)^2 + 5`

`f(4) = a(4 - 3)^2 + 5= a+5`

Como `f(4) = 7`:

`a+5=7`

`.: a=2`

 

`f(x) = 2(x - 3)^2 + 5`




Método de Completar os Quadrados

É uma técnica mais avançada para quem deseja este aprofundamento no assunto.

Para transformar uma funcão quadrática na forma geral `f(x) = ax^2 + bx + c` para a forma canônica `f(x) = a(x - h)^2 + k`.

 

Etapas:

1. Em `f(x) = ax^2 + bx + c` somamos e subtraimos um termo conveniente `\frac{b^2}{4a}` (artifício algébrico):

`f(x) = ax^2 + bx + c + \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{4a}`

`f(x) = ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{4a} + c`

 

2. Trocamos `c` por `\frac{4ac}{4a}` (outro artifício):

`f(x) = ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a}`

 

3. Agrupamos as três primeiras parcelas e as duas últimas (preste atenção em como ficou o sinal de "-" na fração do final):

`f(x) = (ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a}) - (\frac{b^2}{4a} - \frac{4ac}{4a})`

 

4. Algumas passagens algébricas complementares:

`f(x) = (ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a}) - (\frac{b^2}{4a} - \frac{4ac}{4a})`

`f(x) = a (x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}) - (\frac{b^2 - 4ac}{4a})`

`f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b^2 - 4ac}{4a})`

 

5. Usando que `h = -\frac{b}{2a}` e `k = - \frac{b^2-4ac}{4 a} = -\frac{\Delta}{4a}`:

`f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b^2 - 4ac}{4a}) = a(x - h)^2 + k`

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