Professor Cardy

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FELIZ SOMA DOS CUBOS DOS NATURAIS DE 2 A 9:

23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 = 2024

O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é o maior natural que divide todos estes números.

Denotamos o máximo divisor comum dos números $${a, b, c, ...}$$ por $$\text{mdc}(a, b, c, ...)$$.

Exemplo
   
 

O máximo divisor comum de {12, 15}, ou seja, mdc(12,15) é 3. O número 3 é o maior natural que divide, com resto 0, tanto 12 como 15

$$12/3 = 4$$

$$15/3 = 5$$



Números {a, b, c, ...} cujo mdc(a, b, c, ...) = 1 são chamados primos entre si.



Exemplo
   
 

O máximo divisor comum de {12, 35}, ou seja, mdc(12, 35) é 1. O número 1 é o maior natural que divide, com resto 0, tanto 12 como 35

$$12/1 = 12$$

$$35/1 = 35$$

Como mdc(12, 35) = 1, dizemos que 12 e 35 são primos entre si.



Para se obter o mdc entre dois ou mais números naturais, podemos fatorar cada um dos números envolvidos e pesquisar os divisores comuns, averiguando qual é o máximo.

(A) Basta multiplicar TODOS os fatores comuns (e que formam uma quantidade mínima comum a todos).

(B) Caso não exitam fatores comuns, o maior divisor comum é 1, logo o mdc entre eles é 1.

Este procedimento permite que você determine o mdc de dois ou mais números usando, basicamente, apenas a fatoração sem necessidadade de decorar outro método específico para mdc.

Exemplo — Obter mdc(120, 980).
   
 

120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5

980 = 2 · 2 · 5 · 7 · 7

Os divisores comuns são 2 , 2 e 5. Repare que a quantidade mínima comum dos '2' é dois - é certo que o fator '2' comparece duas vezes em 120 e duas vezes em 980 - mas, em comum, não mais do que isso e nem menos do que isso.

Portanto, mdc(120, 980) = 2 · 2 · 5 = 20

 

Exemplo — Obter mdc(8, 21).
   
 

8 = 2 · 2 · 2

21 = 3 · 7

Os números não têm fator comum, neste caso, o maior divisor comum é 1. Portanto, mdc(8, 21) = 1


Eventualmente, o mdc (máximo divisor comum) é mais fácil de ser obtido que o mmc (mínimo múltiplo comum) e podemos usar esta relação válida entre mdc e mmc de números naturais:

$$\text{mmc}(x, y, z, ...) = \frac{x*y*z* ...}{\text{mdc}(x,y, z, ...)}$$


Exemplo — Obter mmc(24, 36).
   
 

24 = 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3

Temos que mdc(24, 36) = 12

Assim,

mmc(24, 36) = 24 · 36 : mdc(24, 36)

mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12

mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12 = 72



Exemplo — Obter mdc(8, 21).
   
 

8 = 2 · 2 · 2

21 = 3 · 7

Os números não têm fator comum, neste caso, o maior divisor comum é 1. Portanto, mdc(8, 21) = 1



Exemplo — Obter mmc(1024, 7).
   
 

Temos que mdc(1024, 7) = 1 (ver m.d.c.) pois são primos entre si.

Vai ficar bem mais rápido usar:

$$\text{mmc}(x, y, z, ...) = \frac{x*y*z* ...}{\text{mdc}(x,y, z, ...)}$$

Assim,

$$\text{mmc}(1024, 7) = \frac{1024*7}{\text{mdc}(1024, 7)} = \frac{1024*7}{1} = 1024*7 = 7168$$

Quando dois ou mais números naturais são primos entre si (isso significa que o mdc entre eles é 1), o mmc entre eles será o resultado da multiplicação simples entre eles.

Exemplos:

mmc(6, 35) = 6 · 35 = 210.

mmc(14, 45) = 14 ·45 = 630.

mmc(8, 27, 25) = 8 · 27 · 25 = 5400.