O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é o maior natural que divide todos estes números.
Denotamos o máximo divisor comum dos números `{a, b, c, ...}` por `\text{mdc}(a, b, c, ...)`.
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Exemplo |
O máximo divisor comum de {12, 15}, ou seja, mdc(12,15) é 3. O número 3 é o maior natural que divide, com resto 0, tanto 12 como 15 `12/3 = 4` `15/3 = 5` |
Números {a, b, c, ...} cujo mdc(a, b, c, ...) = 1 são chamados primos entre si.
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Exemplo |
O máximo divisor comum de {12, 35}, ou seja, mdc(12, 35) é 1. O número 1 é o maior natural que divide, com resto 0, tanto 12 como 35 `12/1 = 12` `35/1 = 35` Como mdc(12, 35) = 1, dizemos que 12 e 35 são primos entre si. |
Para se obter o mdc entre dois ou mais números naturais, podemos fatorar cada um dos números envolvidos e pesquisar os divisores comuns, averiguando qual é o máximo.
(A) Basta multiplicar TODOS os fatores comuns (e que formam uma quantidade mínima comum a todos).
(B) Caso não exitam fatores comuns, o maior divisor comum é 1, logo o mdc entre eles é 1.
Este procedimento permite que você determine o mdc de dois ou mais números usando, basicamente, apenas a fatoração sem necessidadade de decorar outro método específico para mdc.
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Exemplo — Obter mdc(120, 980). |
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 980 = 2 · 2 · 5 · 7 · 7 Os divisores comuns são 2 , 2 e 5. Repare que a quantidade mínima comum dos '2' é dois - é certo que o fator '2' comparece duas vezes em 120 e duas vezes em 980 - mas, em comum, não mais do que isso e nem menos do que isso. Portanto, mdc(120, 980) = 2 · 2 · 5 = 20 |
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Exemplo — Obter mdc(8, 21). |
8 = 2 · 2 · 2 21 = 3 · 7 Os números não têm fator comum, neste caso, o maior divisor comum é 1. Portanto, mdc(8, 21) = 1 |
Eventualmente, o mdc (máximo divisor comum) é mais fácil de ser obtido que o mmc (mínimo múltiplo comum) e podemos usar esta relação válida entre mdc e mmc de números naturais:
`\text{mmc}(x, y, z, ...) = \frac{x*y*z* ...}{\text{mdc}(x,y, z, ...)}`
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Exemplo — Obter mmc(24, 36). |
24 = 2 · 2 · 2 · 3 Temos que mdc(24, 36) = 12 Assim, mmc(24, 36) = 24 · 36 : mdc(24, 36) mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12 mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12 = 72 |
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Exemplo — Obter mdc(8, 21). |
8 = 2 · 2 · 2 21 = 3 · 7 Os números não têm fator comum, neste caso, o maior divisor comum é 1. Portanto, mdc(8, 21) = 1 |
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Exemplo — Obter mmc(1024, 7). |
Temos que mdc(1024, 7) = 1 (ver m.d.c.) pois são primos entre si. Vai ficar bem mais rápido usar: `\text{mmc}(x, y, z, ...) = \frac{x*y*z* ...}{\text{mdc}(x,y, z, ...)}` Assim, `\text{mmc}(1024, 7) = \frac{1024*7}{\text{mdc}(1024, 7)} = \frac{1024*7}{1} = 1024*7 = 7168` |
Quando dois ou mais números naturais são primos entre si (isso significa que o mdc entre eles é 1), o mmc entre eles será o resultado da multiplicação simples entre eles.
Exemplos:
mmc(6, 35) = 6 · 35 = 210.
mmc(14, 45) = 14 ·45 = 630.
mmc(8, 27, 25) = 8 · 27 · 25 = 5400.