Professor Cardy

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Quem é o "maior" conjunto? O Conjunto dos Naturais ou o Conjunto dos Inteiros?

O Conjunto dos Naturais é um conjunto numérico `\NN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}`.

O Conjunto dos Inteiros é um conjunto numérico `\ZZ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}`.

Temos que o Conjunto dos Inteiros contém o Conjunto dos Naturais. Isso significa que TODO NÚMERO NATURAL É UM NÚMERO INTEIRO, mas nem todo número inteiro é um número natural. Os números inteiros que não são naturais são os inteiros negativos, isto é, ` {..., -5, -4, -3, -2, -1}.

A impressão intuitiva é que o Conjunto dos Inteiros `\ZZ` tenha um número maior de elementos que o conjunto dos Naturais `\NN`. Contudo isso não é verdade! Ambos os conjuntos tem o mesmo número de elementos.

CONJUNTOS INFINITOS

Nossa intuição nem sempre é boa para quantidades FINITAS (que tem fim). Para idéias que envolvam INFINITO a coisa é bem mais delicada. Tanto o conjunto dos inteiros, bem como o conjunto dos naturais tem infinitos elementos e `\NN` está contido em `\ZZ`. Porém a propriedade de continência, para conjuntos infinitos, não é suficiente para afirmar que um conjunto tem mais ou menos elementos que o outro.

Da mesma sorte não é porque ambos são conjuntos de infinitos elementos cada - que significa terem o mesmo número de elementos. Até porque infinito não é um número.

Cardinalidade

Cardinalidade de um conjunto é uma medida do "número de elementos do conjunto". Por exemplo, o conjunto `A={0,2,4, 6}` contém 4 elementos e por isso possui cardinalidade 4.

Denotamos a cardinalidade de um conjunto `A` por `|A|`.


Cardinalidade de Conjuntos Infinitos

Cardinalidade de um conjunto infinito é denotada pela letra hebraica "alef" `\aleph` seguida de um índice de número natural. Quanto maior o índice, maior a cardinalidade.


`\aleph_{0} < \aleph_{1} < \aleph_{2} < \aleph_{3} < ...`


`|\ZZ| = |\NN|`?

Traduzindo: o Conjunto dos Inteiros tem a mesma cardinalidade que o conjunto dos números naturais?

Ou seja, os referidos conjuntos tem o mesmo número de elementos?

À título de informação (sem demonstração aqui), a cardinalidade desses conjuntos é a mesma: `|\NN| = |\ZZ| = \aleph_{0}`

Uma forma de convencer que os conjuntos tem o mesmo "tamanho"


Número Inteiro Contagem Caminho
  0
0 1
1 2
-1 3
2 4
-2 5
3 6
etc. ... etc.
TODOS OS INTEIROS TODOS OS NATURAIS