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Quem é o "maior" conjunto? O Conjunto dos Naturais ou o Conjunto dos Inteiros?
O Conjunto dos Naturais é um conjunto numérico $$\mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}$$.
O Conjunto dos Inteiros é um conjunto numérico $$\mathbb{Z} = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}$$.
Temos que o Conjunto dos Inteiros contém o Conjunto dos Naturais. Isso significa que TODO NÚMERO NATURAL É UM NÚMERO INTEIRO, mas nem todo número inteiro é um número natural. Os números inteiros que não são naturais são os inteiros negativos, isto é, $$ {..., -5, -4, -3, -2, -1}.
A impressão intuitiva é que o Conjunto dos Inteiros $$\mathbb{Z}$$ tenha um número maior de elementos que o conjunto dos Naturais $$\mathbb{N}$$. Contudo isso não é verdade! Ambos os conjuntos tem o mesmo número de elementos.
CONJUNTOS INFINITOS
Nossa intuição nem sempre é boa para quantidades FINITAS (que tem fim). Para idéias que envolvam INFINITO a coisa é bem mais delicada. Tanto o conjunto dos inteiros, bem como o conjunto dos naturais tem infinitos elementos e $$\mathbb{N}$$ está contido em $$\mathbb{Z}$$. Porém a propriedade de continência, para conjuntos infinitos, não é suficiente para afirmar que um conjunto tem mais ou menos elementos que o outro.
Da mesma sorte não é porque ambos são conjuntos de infinitos elementos cada - que significa terem o mesmo número de elementos. Até porque infinito não é um número.
Cardinalidade
Cardinalidade de um conjunto é uma medida do "número de elementos do conjunto". Por exemplo, o conjunto $$A={0,2,4, 6}$$ contém 4 elementos e por isso possui cardinalidade 4.
Denotamos a cardinalidade de um conjunto $$A$$ por $$|A|$$.
Cardinalidade de Conjuntos Infinitos
Cardinalidade de um conjunto infinito é denotada pela letra hebraica "alef" $$\aleph$$ seguida de um índice de número natural. Quanto maior o índice, maior a cardinalidade.
$$\aleph_{0} < \aleph_{1} < \aleph_{2} < \aleph_{3} < ...$$
$$|\mathbb{Z}| = |\mathbb{N}|$$?
Traduzindo: o Conjunto dos Inteiros tem a mesma cardinalidade que o conjunto dos números naturais?
Ou seja, os referidos conjuntos tem o mesmo número de elementos?
À título de informação (sem demonstração aqui), a cardinalidade desses conjuntos é a mesma: $$|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = \aleph_{0}$$
Uma forma de convencer que os conjuntos tem o mesmo "tamanho"
| Número Inteiro | Contagem | Caminho |
| 0 |  |
|
| 0 | 1 |  |
| 1 | 2 |  |
| -1 | 3 |  |
| 2 | 4 |  |
| -2 | 5 |  |
| 3 | 6 |  |
| etc. | ... | etc. |
| TODOS OS INTEIROS | TODOS OS NATURAIS |