Professor Cardy

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O Plano de Argand-Gauss e os Afixos de um Número Complexo.

O Argumento de um Número Complexo.

Definindo módulo como uma distância

O módulo de um número complexo `z` pode ser definido como a distância entre o afixo de `z` com a origem do Plano de Argand-Gauss. Denotamos o módulo de `z` como `|z|`.

Se temos o número complexo `z` escrito na forma algébrica `z=x+yi`, muitas vezes, facilita usar que `|z| = \sqrt{x^2+y^2}`. Outras vezes o bom uso do conceito ou de propriedades decorrentes nos traz um ganho significativo de cálculos ou procedimentos.

 


Cardica

Em Matemática temos várias formas de definir distâncias. Depende de como desejamos aplicar a definição. No caso de agora usamos o mesmo conceito de distância usado na Geometria Plana (Geometria Euclideana); onde, entre outras propriedades, a mais importante é que uma distância não pode ser negativa. Distância será um número real não negativo.

Muitas vezes se pede que seja calculada uma distância. Assim, não se espante que se peça "Calcule `|z|` - um modo de interpretar isso é que se deseja saber "qual é a distância do afixo de `z` a origem.

Sob esse ponto de vista, que `|z|` é um tipo de conta, de cálculo... chamamos `z` de modulando porque é dele que estamos calculando o módulo.

Algumas propriedades úteis a respeito de módulo de número complexo:

  1. `|z_1|*|z_2| = |z_1 * z_2|` — o produto dos módulos é o módulo do produto.
  2. `|z_1|/|z_2| = |z_1 / z_2|` — o quociente dos módulos é o módulo do produto (com `z_2 != 0`).
  3. `|z^n| =|z|^n` — o modulo da potência é a potência do módulo (com `n` um número inteiro). Quando `n` é natural não nulo essa decorre da propriedade (1).

 

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Exemplo 1


Calcule `|3*(2-i)|`.


Resolução


`|3*(2-i)|` — dado.

`|3*(2-i)| = |3|*|2-i|` — usando a propriedade (1).

Veja que `|3|` tem modulando `3`. A distância de `3` até a origem é `3`.

Em `|2-i|` o modulando é `2-i` e que já está na forma algébrica, com parte real `x=2` e parte imaginária `y=-1`. Vamos usar que `|z| = \sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{4+1}= \sqrt{5}`.

Voltando em `|3*(2-i)|`:

`|3*(2-i)| = |3|*|2-i|` — onde paramos anteriormente.

`|3*(2-i)| = |3|*|2-i| = 3 * \sqrt{5} ` — usando os resultados avaliados separadamente.

Portanto, `|3*(2-i)| = 3 * \sqrt{5} `

 

Obs.

Nada impede, é claro, que você siga outro caminho. Por exemplo `|3*(2-i)|=|6-3i|=\sqrt{6^2+(-3)^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}`.


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Exemplo 2


Calcule `|(1+i)^4|`.


Resolução


`|(1+i)^4|`— dado.

`|(1+i)^4| = |1+i|^4 `— usando a propriedade (3).

Em `|1+i|` o modulando é `1+i` e que já está na forma algébrica, com parte real `x=1` e parte imaginária `y=1`. Vamos usar que `|z| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{1+1}= \sqrt{2}`.

`|(1+i)^4| = |1+i|^4 =( \sqrt{2})^4` — usando o resultado obtido separadamente.

`|(1+i)^4| = ( \sqrt{2})^4 = \sqrt{2^4} = \sqrt{16}=4` — usando propriedades de radicais e potências.

Assim `|(1+i)^4| =4`.


O Plano de Argand-Gauss e os Afixos de um Número Complexo.

O Argumento de um Número Complexo.

Matemática de Loterias



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