Professor Cardy

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O Módulo de um Número Complexo.

Definição

No Plano de Argand-Gauss é o ângulo orientado (ou a sua medida) formado a partir do semi-eixo real positivo com a semirreta suporte `\vec{OA}`, com `O` a origem do plano e `A` o afixo do número complexo.

O Argumento de um Número Complexo, denotado por `\phi`, se medido em radianos, é um número real compreendido entre `0` (inclusive) e `2\pi`. Ou seja `0 <= \phi < 2\pi`; se medido em graus, é um número real compreendido entre `0º` (inclusive) e `360º`. Ou seja `0º <= \phi < 360º`.

A seguir você pode mover o ponto A.

 

Caso o número complexo `z` esteja escrito na forma algébrica `z=x+yi`. Podemos usar o módulo de `z` e as relações trigonométricas sugeridas a partirde um triângulo retângulo, como a seguir:

`{(x=|z|\text{ cos}\phi),(y=|z|\text{ sen}\phi):}`

 

Cardica

A ilustração acima sugere um triângulo retângulo no primeiro quadrante. Há como fazer uso de outros triângulos posicionados em outros quadrantes e chegaremos às mesmas relações do sistema:

`{(x=|z|*\text{cos}\phi),(y=|z|*\text{sen}\phi):}`

Mesmo que os afixos estejam nos eixos, as relações acima são igualmente válidas - mesmo que nesses casos não tenhamos um triângulo retângulo auxiliar a ser formado. Contudo, caso os afixos estejam nos eixos não vale a pena usar as relações para avaliar o argumento justamente porque nos eixos os argumentos de `z` são triviais: `0, \pi/2, \pi` ou `\frac{3pi}{2}`.

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Exemplo 1


Determine o argumento de `3+3i`.


Resolução


Além do número complexo dado estar na forma algébrica, as suas partes real e imaginária são números inteiros. Pode ajudar, nesses casos, uma exploração gráfica auxiliar.

Podemos explorar com o afixo de `3+3i` um triângulo retângulo auxiliar como sugere a próxima ilustração. Em tal triângulo temos catetos de medidas iguais entre si (medem `3`) o que implica o triângulo também ser isósceles, cujo ângulo agudo em destaque é 45º.

Observo, ainda, que a menos que seja explicitado a medida do argumento requisitado, podemos usar tanto graus bem como radianos. Quando não for explicitado, mas com alguns dados no problema que já estejam ou em graus ou em radianos, convém manter a uniformidade e trabalhar com a métrica já enunciada.


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Exemplo 2


Determine o argumento de `1-\sqrt{3}*i`.


Resolução


O número complexo `1-\sqrt{3}*i` tem parte real `x=1` e parte imaginária `y=-\sqrt{3}`. Logo, `|z| =\sqrt{1^2 + (-sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2`.

Para determinar `\phi` podemos fazer uso das relações:

`{(x=|z|*\text{cos}\phi),(y=|z|*\text{sen}\phi):}`

Ou seja:

`{(1=2*\text{cos}\phi),(-\sqrt{3}=2*\text{sen}\phi):}`

`{(\text{cos}\phi = 1/2 ),(\text{sen}\phi = -\frac{\sqrt{3}}{2}):} `

O arco procurado `\phi` que satisfaz essas duas relações, ordenadas como `(\text{cos}\phi, \text{sen}\phi) = ( 1/2 ,-\frac{\sqrt{3}}{2})` é `\frac{5\pi}{3}`.

O argumento de `1-\sqrt{3}*i` é `\frac{5\pi}{3}`.


O Módulo de um Número Complexo.

Matemática de Loterias



As pessoas normalmente fazem apostas na Mega Sena, pelo valor acumulado mais alto ou pelo simples hábito. Sabemos que a probabilidade de levar o prêmio principal é bem baixo. Contudo, será que vale mais a pena apostar numa Mega Sena que pode pagar R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões?

Pensar exclusivamente na questão PROBABILIDADE é a melhor referência. Porém, aliado a isso, o VALOR DO PRÊMIO e o VALOR DA APOSTA também são interessantes de levar em conta. Vale mais a pena gastar seus REAIS na MEGA SENA que paga R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões? A probabilidade da Timemania é melhor (em relação à da Mega) e o valor da aposta é mais baixo.

É certo que O VALOR ALTO DE PRÊMIO seduz muito e valor baixo desmotiva o interesse. Porém, se o valor alto vem de um jogo cujas chances de ganho são muito discrepantes no confronto direto, muitas vezes é mais interessante ir atrás de um prêmio menor se as suas chances de êxito vencem, mesmo sendo uma premiação inferior.

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