A propriedade
$$log_B(MxxN)= log_B M + log_B N$$
São condições de existência obrigatórias que $${(M>0),(N>0), (B>0),(B !=1) :}$$. Todos os logaritmandos precisam ser positivos, além da base também ser positiva e diferente de $$1$$.
Tal propriedade permite que transformemos um logaritmo dado como uma soma de logaritmos.
Exemplo 1
Resolução
Em $$log_10 6$$, temos o número $$6$$ como logaritmando. Como $$6=2xx3$$, podemos escrever:
$$log_10 6 = log_10 (2xx3)$$
Pela propriedade $$log_B(MxxN)= log_B M + log_B N$$, podemos desenvolver:
$$log_10 (2xx3)= log_10 2 + log_10 3$$
Como foi dado que $$log_10 2 = 0,30$$ e $$log_10 3 = 0,47$$:
$$log_10 6 = log_10 2 + log_10 3 = 0,30 + 0,47 = 0,77$$
Resposta: $$log_10 6 = 0,77$$.
Exemplo 2
Calcule $$log_17 2 + log_17 0,5$$.
Resolução
A propriedade $$log_B(MxxN)= log_B M + log_B N$$ vale "na ida" e "na volta". Isso quer dizer que podemos usar ela tanto para expandir $$log_B(MxxN)$$ bem como agrupar $$log_B M + log_B N$$. Repare então que:
$$log_B M + log_B N = log_B(MxxN)$$
Então
$$log_17 2 + log_17 0,5 = log_17 (2xx0,5)$$
Continuando:
$$log_17 2 + log_17 0,5 = log_17 (2xx0,5) = log_17 1 = 0$$
Resposta: $$log_17 2 + log_17 0,5 = 0$$.
Não se esqueça que
Cardica
O logaritmo de $$1$$ em qualquer base positiva e diferente de $$1$$ sempre valerá $$0$$, devido ao fato de que todo número diferente de zero elevado a zero é $$1$$.
$$log_B 1 =x <=> B^x=1 <=> B^x=B^0 <=> x = 0$$
$$log_B 1 = 0\text{ com }{(B>0),(B !=1) :}$$