A propriedade
`log_B(M/N)= log_B M - log_B N`
São condições de existência obrigatórias que `{(M>0),(N>0), (B>0),(B !=1) :}`. Todos os logaritmandos precisam ser positivos, além da base também ser positiva e diferente de `1`.
Tal propriedade permite que transformemos um logaritmo dado como uma subtração de logaritmos.
Exemplo 1
Dado que `log_10 2 = 0,30` e `log_10 3 = 0,47`.
A) Calcule `log_10 5`.
B) Calcule `log_10 1,5`.
Resolução
A) Em `log_10 5`, temos o número `5` como logaritmando. Observe que a base do logartimo é `10`. Também é importante observar que os logaritmos dados `log_10 2 = 0,30` e `log_10 3 = 0,47`. envolvem os logaritmandos `2` e `3`.
Assim, temos um "cardápio" de números envolvidos nos logaritmandos `2`, `3`, `5` e `10` na base comum a todos. O número `5` pode ser tranformado em uma divisão envolvendo uma dupla de números desse cardápio:
`5=10/2`
Como `5=10/2`, podemos escrever:
`log_10 5 = log_10 (10/2)`
Pela propriedade `log_B(M/N)= log_B M - log_B N`, podemos desenvolver:
`log_10 10/2 = log_10 10 - log_10 2`
Como foi dado que `log_10 2 = 0,30` e temos que `log_10 10 = 1`:
`log_10 5 = log_10 10/2 = log_10 10 - log_10 2 = 1-0,30`
Resposta: `log_10 5 = 0,70`.
B) Como `1,5=15/10=3/2` podemos usar que:
`log_10 1,5 = log_10 3/2 = log_10 3 - log_10 2 = 0,47 - 0,30 = 0,17`.
Resposta: `log_10 1,5 = 0,17`.
Cardica
Quando os logaritmando e base são iguais, ou seja `log_B B` sempre resultará em `1`.
`log_B B =x <=> B^x=B <=> B^x=B^1 <=> x = 1`
`log_B B = 1\text{ com }{(B>0),(B !=1) :}`
Exemplos:
`log_10 10 = 1`
`log_\pi \pi = 1`
Exemplo 2
Calcule `log_2 0,25`.
Resolução
Como `0,25=25/100=1/4` podemos usar que:
`log_2 0,25 = log_2 1/4 = log_2 1 - log_2 4 = 0 - 2 = -2`.
`log_2 1 = x <=> 2^x=1 <=> 2^x = 2^0 <=> x = 0`
`log_2 4 = y <=> 2^x=4 <=> 2^x = 2^2 <=> y = 2`
Resposta: `log_2 0,25 = -2`.
