A propriedade
$$log_B(M/N)= log_B M - log_B N$$
São condições de existência obrigatórias que $${(M>0),(N>0), (B>0),(B !=1) :}$$. Todos os logaritmandos precisam ser positivos, além da base também ser positiva e diferente de $$1$$.
Tal propriedade permite que transformemos um logaritmo dado como uma subtração de logaritmos.
Exemplo 1
Dado que $$log_10 2 = 0,30$$ e $$log_10 3 = 0,47$$.
A) Calcule $$log_10 5$$.
B) Calcule $$log_10 1,5$$.
Resolução
A) Em $$log_10 5$$, temos o número $$5$$ como logaritmando. Observe que a base do logartimo é $$10$$. Também é importante observar que os logaritmos dados $$log_10 2 = 0,30$$ e $$log_10 3 = 0,47$$. envolvem os logaritmandos $$2$$ e $$3$$.
Assim, temos um "cardápio" de números envolvidos nos logaritmandos $$2$$, $$3$$, $$5$$ e $$10$$ na base comum a todos. O número $$5$$ pode ser tranformado em uma divisão envolvendo uma dupla de números desse cardápio:
$$5=10/2$$
Como $$5=10/2$$, podemos escrever:
$$log_10 5 = log_10 (10/2)$$
Pela propriedade $$log_B(M/N)= log_B M - log_B N$$, podemos desenvolver:
$$log_10 10/2 = log_10 10 - log_10 2$$
Como foi dado que $$log_10 2 = 0,30$$ e temos que $$log_10 10 = 1$$:
$$log_10 5 = log_10 10/2 = log_10 10 - log_10 2 = 1-0,30$$
Resposta: $$log_10 5 = 0,70$$.
B) Como $$1,5=15/10=3/2$$ podemos usar que:
$$log_10 1,5 = log_10 3/2 = log_10 3 - log_10 2 = 0,47 - 0,30 = 0,17$$.
Resposta: $$log_10 1,5 = 0,17$$.
Cardica
Quando os logaritmando e base são iguais, ou seja $$log_B B$$ sempre resultará em $$1$$.
$$log_B B =x <=> B^x=B <=> B^x=B^1 <=> x = 1$$
$$log_B B = 1\text{ com }{(B>0),(B !=1) :}$$
Exemplos:
$$log_10 10 = 1$$
$$log_\pi \pi = 1$$
Exemplo 2
Calcule $$log_2 0,25$$.
Resolução
Como $$0,25=25/100=1/4$$ podemos usar que:
$$log_2 0,25 = log_2 1/4 = log_2 1 - log_2 4 = 0 - 2 = -2$$.
$$log_2 1 = x <=> 2^x=1 <=> 2^x = 2^0 <=> x = 0$$
$$log_2 4 = y <=> 2^x=4 <=> 2^x = 2^2 <=> y = 2$$
Resposta: $$log_2 0,25 = -2$$.