Não se esqueça que:
$$logA$$ ou $$log_10 A$$. A base é $$10$$. Chamado de Logaritmo Decimal.
$$ln A$$ ou $$log_e A$$. A base é o número natural $$e = 2, 71...$$. Chamado de Logaritmo Natural.
A propriedade
$$log_B A= \frac{log_C A}{log_C B}$$
São condições de existência obrigatórias que $${(A>0), (B>0),(B !=1), (C>0),(C !=1) :}$$. Todos os logaritmandos precisam ser positivos, além das bases $$B$$ e $$C$$ também serem positivas e diferentes de $$1$$.
Tal propriedade permite que sejam calculaods logaritmos de qualquer base, mesmo com as restrições de algumas calculadoras que, por exemplo, só exibem logaritmos na base e ou na base 10..
Exemplo 1
Resolução
Foi pedido $$log_2 10$$, cuja base vale $$2$$. Em $$log 2 = 0,30$$, a base vale $$10$$. Podemos escrever:
$$log 2 = log_10 2$$
Pela propriedade $$log_B A= \frac{log_C A}{log_C B}$$ , podemos passar da base $$10$$ para a base $$2$$:
$$log_10 2= \frac{log_2 2}{log_2 10}$$
Como $$log_10 2 = 0,30$$ e $$log_2 2 =1$$:
$$log_10 2= \frac{log_2 2}{log_2 10}=\frac{1}{0,30} $$
$$log_10 2= \frac{1}{0,30} = \frac{1}{30/100}=100/30=10/3$$
Resposta: $$log_10 2= 10/3$$.
Exemplo 2
Calcule $$(log_7 8)*(log_8 7)$$.
Resolução
Se convertermos um dos logaritmos para a base do outro, por exemplo, passar o logaritmo $$log_7 8$$ para a base $$8$$:
$$log_7 8= \frac{log_8 8}{log_8 7}$$
Como $$log_8 8 = 1$$ :
$$log_7 8= \frac{1}{log_8 7}$$
Na expressão dada:
$$(log_7 8)*(log_8 7)=(\frac{1}{log_8 7})*(log_8 7)=\frac{log_8 7}{log_8 7}=1$$
Resposta: $$(log_7 8)*(log_8 7) =1$$.