Professor Cardy

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Aqui neste artigo vou tratar da técnica de substituição para resolver qualquer Equação Recíproca.

Caso você não saiba o que é uma Equação Recíproca, clique aqui antes de prosseguir.

1ª etapa — rearrumar a equação

A técnica de substituição requer que rearrumemos um equação recíproca (já disposta conforme uma regrinha).

A equação $$6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0$$ já está arrumada pela 'regrinha". Agora, por assim dizer, uma "regrona".

Os termos simétricos, veja pelas respectivas cores, precisam ficar 'perto'. Na equação, o termo $$62x^2$$ é o termo central, deixe ele por último no primeiro membro.

coeficientes de  
`x^4` `x^3` `x^2` `x` TI `=0`
`6` `-35` `62` `-35` `6`  
 

 

Rearrumando:

coeficientes de  
`x^4` TI `x^3` `x` `x^2` `=0`
`6` `6` `-35` `-35` `62`  
 

 

Portanto, temos $$6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0$$ que passou a ficar registrada como:

$$6x^4+6-35x^3-35x+62x^2=0$$

coeficientes de  
`x^4` TI `x^3` `x` `x^2` `=0`
`6` `6` `-35` `-35` `62`  
 

 

De cada dupla destacada pelas respectivas cores faça um sub-agrupamento, colocando em evidência os coeficientes relativos:

$$6*(x^4+1)-35(x^3+x)+62x^2=0$$

 

2ª etapa — dividir toda a equação por $$x^2$$

Mas precisa manter os destaques que os parenteses dão.

Vamos lá:

$$\frac{6*(x^4+1)-35(x^3+x)+62x^2}{x^2}=\frac{0}{x^2}$$

$$6*\frac{(x^4+1)}{x^2}-35*\frac{(x^3+x)}{x^2}+\frac{62x^2}{x^2}=0$$

$$6*(x^2+\frac{1}{x^2})-35*(x+1/x)+62=0$$

 

3ª etapa — fazer a troca de variáveis apropriada

Essa troca se fará de $$x+1/x$$ por $$y$$ e $$x^2+\frac{1}{x^2}$$ por $$y^2 -2$$.

A troca de $$x+1/x$$ por $$y$$ significa que fizemos $$y=x+1/x$$.

Veja que se elevarmos ao quadrado os dois membros teremos:

$$y^2=(x+1/x)^2$$

$$y^2=x^2+2*x*1/x+ 1/x^2$$

$$y^2=x^2+2+ 1/x^2$$

$$y^2-2=x^2+ 1/x^2$$

Então, pela troca de $$x+1/x$$ por $$y$$, devemos usar que também que $$x^2+\frac{1}{x^2}=y^2 -2$$.

Voltando em

$$6*(x^2+\frac{1}{x^2})-35*(x+1/x)+62=0$$

Com a substituição:

$$6*(y^2 -2)-35*(y)+62=0$$

 

Recaímos numa equação do 2º Grau, na incógnita $$y$$.

$$6*(y^2 -2)-35*(y)+62=0$$

$$6y^2 -35y+50=0 => {(y_1=\frac{-35+\sqrt{35^2-4*6*50}}{2*6}), (y_2=\frac{-35-\sqrt{35^2-4*6*50}}{2*6}) :} => {(y_1=10/3), (y_2=5/2) :}$$

 

Como fizemos $$x+1/x = y$$ agora, com os valores de $$y_1$$ e $$y_2$$ temos:

Para $$y_1=10/3$$:

$$x+1/x = 10/3$$

$$\frac{x^2+1}{x} = 10/3$$

$$3*(x^2+1) = 10*x$$

$$3*x^2+3 - 10x= 0$$

$$3*x^2-10x+3= 0$$

$$3*x^2-10x+3= 0=> {(x_1=\frac{-10+\sqrt{(-10)^2-4*3*3}}{2*3}), (x_2=\frac{-10-\sqrt{(-10)^2-4*3*3}}{2*3}) :} => {(x_1=3), (x_2=1/3) :}$$

 

Para $$y_2=5/2$$:

$$x+1/x = 5/2$$

$$\frac{x^2+1}{x} = 5/2$$

$$2*(x^2+1) = 5*x$$

$$2*x^2+2 - 5x= 0$$

$$2*x^2-5x+2= 0$$

$$2*x^2-5x+2= 0 => {(x_2=\frac{-5+\sqrt{(-5)^2-4*2*2}}{2*2}), (x_3=\frac{-5-\sqrt{(-5)^2-4*2*2}}{2*2}) :} => {(x_2=2), (x_3=1/2) :}$$

Assim,

$$S={2, 1/2, 3, 1/3}$$

 

Exemplo – Resolva a equação `6x^5 -29x^4+27x^3+27x^2-29x+6=0`
   
 

A equação$$6x^5 -29x^4+27x^3+27x^2-29x+6=0$$é do tipo I e recíproca de primeira ordem, logo $$-1$$ é uma solução (veja o porquê).

É bastante importante aproveitar o fato conhecido de que $$-1$$ é solução pois temos condições de resolver uma equação polinomial de grau 4, após uma divisão de $$6x^5 -29x^4+27x^3+27x^2-29x+6$$ por $$x+1$$.

Assim, como $$Q(x) = 6x^4+6-35x^3-35x+62x^2$$ basta resolvermos a equação $$6x^4+6-35x^3-35x+62x^2=0$$.

Bom, como já temos resolvida a última equação, cujas soluções são $$3, 1/3, 2$$ e $$1/2$$; formamos o conjunto solução:

$$S={-1, 3, 1/3, 2, 1/2}$$

 

 

Uma equação recíproca (ou de 1ª espécie ou de 2ª espécie) de grau $$n$$, onde $$a_n !=0$$:

$$a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0=0$$ (equação)

i) se n for ÍMPAR: $$1$$ ou $$-1$$ são soluções da (equação). Você só precisa que uma delas seja! Descobrindo qual é: use Briot-Ruffini para 'abaixar' o grau da (equação). Ela passará a ser uma recíproca de grau PAR. Use o procedimento em (ii).

ii) se n for PAR: execute as etapas 1, 2 e 3 do artigo.