Aqui neste artigo vou tratar da técnica de substituição para resolver qualquer Equação Recíproca.
Caso você não saiba o que é uma Equação Recíproca, clique aqui antes de prosseguir.
1ª etapa — rearrumar a equação
A técnica de substituição requer que rearrumemos um equação recíproca (já disposta conforme uma regrinha).
A equação `6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0` já está arrumada pela 'regrinha". Agora, por assim dizer, uma "regrona".
Os termos simétricos, veja pelas respectivas cores, precisam ficar 'perto'. Na equação, o termo `62x^2` é o termo central, deixe ele por último no primeiro membro.
| coeficientes de | |||||
| `x^4` | `x^3` | `x^2` | `x` | TI | `=0` |
| `6` | `-35` | `62` | `-35` | `6` | |
Rearrumando:
| coeficientes de | |||||
| `x^4` | TI | `x^3` | `x` | `x^2` | `=0` |
| `6` | `6` | `-35` | `-35` | `62` | |
Portanto, temos `6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0` que passou a ficar registrada como:
`6x^4+6-35x^3-35x+62x^2=0`
| coeficientes de | |||||
| `x^4` | TI | `x^3` | `x` | `x^2` | `=0` |
| `6` | `6` | `-35` | `-35` | `62` | |
De cada dupla destacada pelas respectivas cores faça um sub-agrupamento, colocando em evidência os coeficientes relativos:
`6*(x^4+1)-35(x^3+x)+62x^2=0`
2ª etapa — dividir toda a equação por `x^2`
Mas precisa manter os destaques que os parenteses dão.
Vamos lá:
`\frac{6*(x^4+1)-35(x^3+x)+62x^2}{x^2}=\frac{0}{x^2}`
`6*\frac{(x^4+1)}{x^2}-35*\frac{(x^3+x)}{x^2}+\frac{62x^2}{x^2}=0`
`6*(x^2+\frac{1}{x^2})-35*(x+1/x)+62=0`
3ª etapa — fazer a troca de variáveis apropriada
Essa troca se fará de `x+1/x` por `y` e `x^2+\frac{1}{x^2}` por `y^2 -2`.
A troca de `x+1/x` por `y` significa que fizemos `y=x+1/x`.
Veja que se elevarmos ao quadrado os dois membros teremos:
`y^2=(x+1/x)^2`
`y^2=x^2+2*x*1/x+ 1/x^2`
`y^2=x^2+2+ 1/x^2`
`y^2-2=x^2+ 1/x^2`
Então, pela troca de `x+1/x` por `y`, devemos usar que também que `x^2+\frac{1}{x^2}=y^2 -2`.
Voltando em
`6*(x^2+\frac{1}{x^2})-35*(x+1/x)+62=0`
Com a substituição:
`6*(y^2 -2)-35*(y)+62=0`
Recaímos numa equação do 2º Grau, na incógnita `y`.
`6*(y^2 -2)-35*(y)+62=0`
`6y^2 -35y+50=0 => {(y_1=\frac{-35+\sqrt{35^2-4*6*50}}{2*6}), (y_2=\frac{-35-\sqrt{35^2-4*6*50}}{2*6}) :} => {(y_1=10/3), (y_2=5/2) :}`
Como fizemos `x+1/x = y` agora, com os valores de `y_1` e `y_2` temos:
Para `y_1=10/3`:
`x+1/x = 10/3`
`\frac{x^2+1}{x} = 10/3`
`3*(x^2+1) = 10*x`
`3*x^2+3 - 10x= 0`
`3*x^2-10x+3= 0`
`3*x^2-10x+3= 0=> {(x_1=\frac{-10+\sqrt{(-10)^2-4*3*3}}{2*3}), (x_2=\frac{-10-\sqrt{(-10)^2-4*3*3}}{2*3}) :} => {(x_1=3), (x_2=1/3) :}`
Para `y_2=5/2`:
`x+1/x = 5/2`
`\frac{x^2+1}{x} = 5/2`
`2*(x^2+1) = 5*x`
`2*x^2+2 - 5x= 0`
`2*x^2-5x+2= 0`
`2*x^2-5x+2= 0 => {(x_2=\frac{-5+\sqrt{(-5)^2-4*2*2}}{2*2}), (x_3=\frac{-5-\sqrt{(-5)^2-4*2*2}}{2*2}) :} => {(x_2=2), (x_3=1/2) :}`
Assim,
`S={2, 1/2, 3, 1/3}`
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Exemplo – Resolva a equação `6x^5 -29x^4+27x^3+27x^2-29x+6=0` |
A equação`6x^5 -29x^4+27x^3+27x^2-29x+6=0`é do tipo I e recíproca de primeira ordem, logo `-1` é uma solução (veja o porquê). É bastante importante aproveitar o fato conhecido de que `-1` é solução pois temos condições de resolver uma equação polinomial de grau 4, após uma divisão de `6x^5 -29x^4+27x^3+27x^2-29x+6` por `x+1`.
Assim, como `Q(x) = 6x^4+6-35x^3-35x+62x^2` basta resolvermos a equação `6x^4+6-35x^3-35x+62x^2=0`. Bom, como já temos resolvida a última equação, cujas soluções são `3, 1/3, 2` e `1/2`; formamos o conjunto solução: `S={-1, 3, 1/3, 2, 1/2}`
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Uma equação recíproca (ou de 1ª espécie ou de 2ª espécie) de grau `n`, onde `a_n !=0`:
`a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0=0` (equação)
i) se n for ÍMPAR: `1` ou `-1` são soluções da (equação). Você só precisa que uma delas seja! Descobrindo qual é: use Briot-Ruffini para 'abaixar' o grau da (equação). Ela passará a ser uma recíproca de grau PAR. Use o procedimento em (ii).
ii) se n for PAR: execute as etapas 1, 2 e 3 do artigo.
Matemática de Loterias
As pessoas normalmente fazem apostas na Mega Sena, pelo valor acumulado mais alto ou pelo simples hábito. Sabemos que a probabilidade de levar o prêmio principal é bem baixo. Contudo, será que vale mais a pena apostar numa Mega Sena que pode pagar R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões?
Pensar exclusivamente na questão PROBABILIDADE é a melhor referência. Porém, aliado a isso, o VALOR DO PRÊMIO e o VALOR DA APOSTA também são interessantes de levar em conta. Vale mais a pena gastar seus REAIS na MEGA SENA que paga R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões? A probabilidade da Timemania é melhor (em relação à da Mega) e o valor da aposta é mais baixo.
É certo que O VALOR ALTO DE PRÊMIO seduz muito e valor baixo desmotiva o interesse. Porém, se o valor alto vem de um jogo cujas chances de ganho são muito discrepantes no confronto direto, muitas vezes é mais interessante ir atrás de um prêmio menor se as suas chances de êxito vencem, mesmo sendo uma premiação inferior.
De acordo com a relação PRÊMIO A CONQUISTAR e PROBABILIDADE DE LEVAR, CUSTO DA APOSTA, eu calculei uma NOTA DE MAIS VALIA. Veja na ORDEM (de cima para baixo) onde vale mais a pena (NOTA 100) gastar seu real até onde menos vale a pena apostar, levando tudo isso em consideração
A TABELA A SEGUIR MUDA DE ACORDO COM OS VALORES DOS PRÊMIOS, CUSTOS e REGRAS. CONFIRA A ANÁLISE NA DATA INFORMADA.
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