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Eu disponibilizo várias calculadoras no meu site. Uma delas, que faz grande sucesso, é de Porcentagem. Noto que muitas pessoas tem dificuldades no tema e elaborei um formato bem didático para você inserir os dados, na forma de questios. Confira!

Aqui neste artigo vou tratar da técnica de substituição para resolver qualquer Equação Recíproca.

Caso você não saiba o que é uma Equação Recíproca, clique aqui antes de prosseguir.

1ª etapa — rearrumar a equação

A técnica de substituição requer que rearrumemos um equação recíproca (já disposta conforme uma regrinha).

A equação `6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0` já está arrumada pela 'regrinha". Agora, por assim dizer, uma "regrona".

Os termos simétricos, veja pelas respectivas cores, precisam ficar 'perto'. Na equação, o termo `62x^2` é o termo central, deixe ele por último no primeiro membro.

coeficientes de  
`x^4` `x^3` `x^2` `x` TI `=0`
`6` `-35` `62` `-35` `6`  
 

 

Rearrumando:

coeficientes de  
`x^4` TI `x^3` `x` `x^2` `=0`
`6` `6` `-35` `-35` `62`  
 

 

Portanto, temos `6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0` que passou a ficar registrada como:

`6x^4+6-35x^3-35x+62x^2=0`

coeficientes de  
`x^4` TI `x^3` `x` `x^2` `=0`
`6` `6` `-35` `-35` `62`  
 

 

De cada dupla destacada pelas respectivas cores faça um sub-agrupamento, colocando em evidência os coeficientes relativos:

`6*(x^4+1)-35(x^3+x)+62x^2=0`

 

2ª etapa — dividir toda a equação por `x^2`

Mas precisa manter os destaques que os parenteses dão.

Vamos lá:

`\frac{6*(x^4+1)-35(x^3+x)+62x^2}{x^2}=\frac{0}{x^2}`

`6*\frac{(x^4+1)}{x^2}-35*\frac{(x^3+x)}{x^2}+\frac{62x^2}{x^2}=0`

`6*(x^2+\frac{1}{x^2})-35*(x+1/x)+62=0`

 

3ª etapa — fazer a troca de variáveis apropriada

Essa troca se fará de `x+1/x` por `y` e `x^2+\frac{1}{x^2}` por `y^2 -2`.

A troca de `x+1/x` por `y` significa que fizemos `y=x+1/x`.

Veja que se elevarmos ao quadrado os dois membros teremos:

`y^2=(x+1/x)^2`

`y^2=x^2+2*x*1/x+ 1/x^2`

`y^2=x^2+2+ 1/x^2`

`y^2-2=x^2+ 1/x^2`

Então, pela troca de `x+1/x` por `y`, devemos usar que também que `x^2+\frac{1}{x^2}=y^2 -2`.

Voltando em

`6*(x^2+\frac{1}{x^2})-35*(x+1/x)+62=0`

Com a substituição:

`6*(y^2 -2)-35*(y)+62=0`

 

Recaímos numa equação do 2º Grau, na incógnita `y`.

`6*(y^2 -2)-35*(y)+62=0`

`6y^2 -35y+50=0 => {(y_1=\frac{-35+\sqrt{35^2-4*6*50}}{2*6}), (y_2=\frac{-35-\sqrt{35^2-4*6*50}}{2*6}) :} => {(y_1=10/3), (y_2=5/2) :}`

 

Como fizemos `x+1/x = y` agora, com os valores de `y_1` e `y_2` temos:

Para `y_1=10/3`:

`x+1/x = 10/3`

`\frac{x^2+1}{x} = 10/3`

`3*(x^2+1) = 10*x`

`3*x^2+3 - 10x= 0`

`3*x^2-10x+3= 0`

`3*x^2-10x+3= 0=> {(x_1=\frac{-10+\sqrt{(-10)^2-4*3*3}}{2*3}), (x_2=\frac{-10-\sqrt{(-10)^2-4*3*3}}{2*3}) :} => {(x_1=3), (x_2=1/3) :}`

 

Para `y_2=5/2`:

`x+1/x = 5/2`

`\frac{x^2+1}{x} = 5/2`

`2*(x^2+1) = 5*x`

`2*x^2+2 - 5x= 0`

`2*x^2-5x+2= 0`

`2*x^2-5x+2= 0 => {(x_2=\frac{-5+\sqrt{(-5)^2-4*2*2}}{2*2}), (x_3=\frac{-5-\sqrt{(-5)^2-4*2*2}}{2*2}) :} => {(x_2=2), (x_3=1/2) :}`

Assim,

`S={2, 1/2, 3, 1/3}`

 

Exemplo – Resolva a equação `6x^5 -29x^4+27x^3+27x^2-29x+6=0`
   
 

A equação`6x^5 -29x^4+27x^3+27x^2-29x+6=0`é do tipo I e recíproca de primeira ordem, logo `-1` é uma solução (veja o porquê).

É bastante importante aproveitar o fato conhecido de que `-1` é solução pois temos condições de resolver uma equação polinomial de grau 4, após uma divisão de `6x^5 -29x^4+27x^3+27x^2-29x+6` por `x+1`.

Assim, como `Q(x) = 6x^4+6-35x^3-35x+62x^2` basta resolvermos a equação `6x^4+6-35x^3-35x+62x^2=0`.

Bom, como já temos resolvida a última equação, cujas soluções são `3, 1/3, 2` e `1/2`; formamos o conjunto solução:

`S={-1, 3, 1/3, 2, 1/2}`

 

 

Uma equação recíproca (ou de 1ª espécie ou de 2ª espécie) de grau `n`, onde `a_n !=0`:

`a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0=0` (equação)

i) se n for ÍMPAR: `1` ou `-1` são soluções da (equação). Você só precisa que uma delas seja! Descobrindo qual é: use Briot-Ruffini para 'abaixar' o grau da (equação). Ela passará a ser uma recíproca de grau PAR. Use o procedimento em (ii).

ii) se n for PAR: execute as etapas 1, 2 e 3 do artigo.





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