Introdução
A Função Polinomial do 1° Grau, mais conhecida como Função do 1° Grau, é uma Função Afim.
Esse tipo de Função pode representar muitos eventos cotidianos como, por exemplo, o valor que uma pessoa paga ao final de um mês no seu plano de celular pós-pago; pagando um valor fixo mais um outro valor variável em termos do tempo de uso em ligações. Digamos que o valor da assinatura seja fixo em R$20,00 e o custo de ligação é R$0,05 por minuto de chamada.
Assim, o valor total do pré-pago pode ser representado pela lei:
`f(x) = 20 + 0,05x`
Onde x é o tempo de ligações, em minutos; e f(x) o preço total a ser pago, em reais.
O exemplo acima é de uma Função Afim. Uma Função Afim é toda funcão `f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}` que pode ser escrita na forma `f(x) = ax + b` como os coeficientes `a` e `b` reais.
Aprenda
Toda Função Afim `f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}` pode ser escrita na forma `f(x) = ax + b`. Onde:
Coeficientes: `a` e `b` (são números reais).
Variável: `x` (é um número real).
I) Para `a != 0` a Função `f` pode ser chamada de Função Polinomial de 1° Grau.
II) Para `a = 0` a Função `f` não pode ser chamada de Função Polinomial de 1° Grau. Ela é uma Função Constante.
No Plano Cartesiano o gráfico de toda função afim `f(x) = ax +b` corresponderá a uma reta. Esse fato decorre que a variação de `y` sobre a variação de `x` é sempre uma constante real.
Repare que:
`\frac{\Delta_y}{\Delta_x} = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{(ax_1 +b)-(ax_0 +b)}{x_1-x_0}=\frac{ax_1-ax_0}{x_1-x_0}= \frac{a*(x_1-x_0)}{x_1-x_0}=a`
E `a` é uma constante real, conforme a definição.
Função Afim `f(x) = ax + b`
Função Polinomial do 1° Grau
`f(x) = ax + b` com `a != 0`
Função Constante
`f(x) = b`
Sobre o coeficiente `a` (coeficiente angular)
1) `a > 0`
Repare simplesmente que se `a >0` conforme aumentam-se os valores de `x` amentar-se-ão os valores de `ax`. Logo, também ficarão cada vez maiores os valores de `b + ax` pois `ax` estará contribuindo ao valor de `b` com valores mais e mais elevados.
Note que eu apenas escrevi nesta ordem: `b + ax` para destacar a contribuição e `ax` sobre `b`. Mas lembre que `f(x) = ax+b = b + ax`.
Portanto, para `a > 0`, `f(x)` é crescente.
Ou seja, para `a > 0`, o gráfico de `f` no Plano Cartesiano só pode ser uma reta ascendente.
Neste caso, `f(x)=ax+b` é uma Função Polinomial do 1° Grau. Pois `a != 0`.
2) `a < 0`
Repare que se `a <0` conforme diminuem-se os valores de `x` diminuir-se-ão os valores de `ax`. Logo, também ficarão cada vez menores os valores de `b + ax` pois estaremos diminuindo `ax` do valor de `b` .
Portanto, para `a < 0`, `f(x)` é decrescente.
Ou seja, para `a < 0`, o gráfico de `f` no Plano Cartesiano só pode ser uma reta descendente.
Neste caso, `f(x)=ax+b` é uma Função Polinomial do 1° Grau. Pois `a != 0`.
3) `a = 0`
Se `a = 0` qualquer alteração dos valores de `x` não afetará os valores de `ax` pois `ax = 0*x = 0`. Logo, ficará constante o resultado `ax+b` pois teremos `ax + b = 0*x +b=b` .
Portanto, para `a = 0`, `f(x)` é constante.
Ou seja, para `a = 0`, o gráfico de `f` no Plano Cartesiano só pode ser uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas, pois todos os resultados `f(x)` são iguais entre si.
Exemplo 1
Construa o gráfico da função `f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}` onde `f(x) = (x-2)^2-(x+1)^2`.
Resolução
A lei da função `f`, ou seja `f(x) = (x-2)^2-(x+1)^2` pode ser simplificada expandindo os produtos notáveis envolvidos nas parcelas `(x-2)^2` e `(x+1)^2`
`(x-2)^2 = x^2-4x+4`
`(x+1)^2 = x^2+2x+1`
Portanto, `f(x) = (x-2)^2-(x+1)^2 = x^2-4x+4 -(x^2+2x+1) = -6x+3`.
Assim `f` é uma função afim pois pode ser escrita na forma `f(x)=ax+b`. Repare que `f(x) = -6x+3`. Nessa função o coeficente angular vale `-6` o que implica que o seu gráfico no Plano Cartesiano é uma reta descendente.
Intercepto com o eixo `x` - basta fazer `f(x)=0`
Podemos obter o ponto de intercepto do gráfico de `f` com o eixo das abscissas (eixo `x`) fazendo `f(x)=0`:
` -6x+3=0`
`-6x=-3`
`6x=3`
`x=1/2`
Assim o gráfico de `f` intercepta o eixo das abscissas no ponto de coordenadas `(1/2,0)` — o valor `1/2` é chamado de zero da função ou raiz da função. O termo zero, nesse contexto, significa em matemática "o valor que torna zero a função", "o valor que anula a função" ou "`x` tal que `f(x)=0`.
Mais apropriado é chamar de zero da função porque funções tem zeros e equações tem raízes. Contudo, se preocupe mais com o conceito envolvido na obtenção do intercepto com o eiox `x` do que as preferências de estilo de linguagem que nós matemáticos apreciamos.
Intercepto com o eixo `y` - basta fazer `x=0`
Podemos obter o ponto de intercepto do gráfico de `f` com o eixo das ordenadas (eixo `y`) fazendo `x=0` - ou seja, `f(0)`:
`f(0) = -6*0+3 = 3`.
Logo, o gráfco intercepta o eixo das ordenadas no ponto `(0,3)`.
Exemplo 2
Construa o gráfico da função `f: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}` onde `f(x) = -6x+3`.
Resolução
Primeiramente repare que foi indicado `f: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}`. Isso que dizer que o Domínio da função `f` está restrito ao intervalo `[-1,1]` então `-1<=x<=1`. Nesse caso o gráfico no Plano Cartesiano não será toda uma reta, mas um trecho dela, um segmento de reta limitado entre `x=-1` e `x=1`.
Vamos obter as imagens para `x=-1` e `x=1` em `f(x) = -6x+3`
`f(-1) = -6*(-1)+3=6+3=9`. Então a primeira extremidade do trecho do gráfico é o ponto `(-1,9)`.
`f(1) = -6*(1)+3=-6+3=-3`. Então a primeira extremidade do trecho do gráfico é o ponto `(1,-3)`.
Ressaltando: Como `f` é da forma `f(x)=ax+b` o gráfico corresponderia a uma reta no Plano Cartesiano; contudo, com as limitações definidas pelo domínio, corresponderá a um segmento de reta no Plano Cartesiano.
