A Função Polinomial do 1° Grau, mais conhecida como Função do 1° Grau, é uma Função Afim.

Esse tipo de Função pode representar muitos eventos cotidianos como, por exemplo, o valor que uma pessoa paga ao final de um mês no seu plano de celular pós-pago; pagando um valor fixo mais um outro valor variável em termos do tempo de uso em ligações. Digamos que o valor da assinatura seja fixo em R$20,00 e o custo de ligação é R$0,05 por minuto de chamada.

Assim, o valor total do pré-pago pode ser representado pela lei:

`f(x) = 20 + 0,05x`

Onde x é o tempo de ligações, em minutos; e f(x) o preço total a ser pago, em reais.

O exemplo acima é de uma Função Afim. Uma Função Afim é toda funcão `f: \RR \rightarrow \RR` que pode ser escrita na forma `f(x) = ax + b` como os coeficientes `a` e `b` reais.

Aprenda

Toda Função Afim `f: \RR \rightarrow \RR` pode ser escrita na forma `f(x) = ax + b`. Onde:

Coeficientes: `a` e `b` (são números reais).

Variável: `x` (é um número real).

I) Para `a != 0` a Função `f` pode ser chamada de Função Polinomial de 1° Grau.

II) Para `a = 0` a Função `f` não pode ser chamada de Função Polinomial de 1° Grau. Ela é uma Função Constante.

Cardica

No Plano Cartesiano o gráfico de toda função afim `f(x) = ax +b` corresponderá a uma reta. Esse fato decorre que a variação de `y` sobre a variação de `x` é sempre uma constante real.

Repare que:

`\frac{\Delta_y}{\Delta_x} = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{(ax_1 +b)-(ax_0 +b)}{x_1-x_0}=\frac{ax_1-ax_0}{x_1-x_0}= \frac{a*(x_1-x_0)}{x_1-x_0}=a`

E `a` é uma constante real, conforme a definição.



Função Afim `f(x) = ax + b`

Função Polinomial do 1° Grau

`f(x) = ax + b` com `a != 0`

 

Função Constante

`f(x) = b`




Controles das constantes a e b.
Resultados Obtidos
a , onde a =

b , onde b =


Você pode mudar os valores acima, clicando nos botões vermelhos ou azuis.

Exemplo 1

`f(x) =` x + ()

Coordenadas do ponto de Intercepto em Y:

(0, b) = ( 0 , )

Coordenadas do ponto de Intercepto em X:

(`x_1`, 0) = ( , 0)

aaa

Sobre o coeficiente `a` (coeficiente angular)

1) `a > 0`

Repare simplesmente que se `a >0` conforme aumentam-se os valores de `x` amentar-se-ão os valores de `ax`. Logo, também ficarão cada vez maiores os valores de `b + ax` pois `ax` estará contribuindo ao valor de `b` com valores mais e mais elevados.

Note que eu apenas escrevi nesta ordem: `b + ax` para destacar a contribuição e `ax` sobre `b`. Mas lembre que `f(x) = ax+b = b + ax`.

Portanto, para `a > 0`, `f(x)` é crescente.

Ou seja, para `a > 0`, o gráfico de `f` no Plano Cartesiano só pode ser uma reta ascendente.

Neste caso, `f(x)=ax+b` é uma Função Polinomial do 1° Grau. Pois `a != 0`.

 
2) `a < 0`

Repare que se `a <0` conforme diminuem-se os valores de `x` diminuir-se-ão os valores de `ax`. Logo, também ficarão cada vez menores os valores de `b + ax` pois estaremos diminuindo `ax` do valor de `b` .

Portanto, para `a < 0`, `f(x)` é decrescente.

Ou seja, para `a < 0`, o gráfico de `f` no Plano Cartesiano só pode ser uma reta descendente.

Neste caso, `f(x)=ax+b` é uma Função Polinomial do 1° Grau. Pois `a != 0`.

 

3) `a = 0`

Se `a = 0` qualquer alteração dos valores de `x` não afetará os valores de `ax` pois `ax = 0*x = 0`. Logo, ficará constante o resultado `ax+b` pois teremos `ax + b = 0*x +b=b` .

Portanto, para `a = 0`, `f(x)` é constante.

Ou seja, para `a = 0`, o gráfico de `f` no Plano Cartesiano só pode ser uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas, pois todos os resultados `f(x)` são iguais entre si.

1

Exemplo 1


Construa o gráfico da função `f: \RR \rightarrow \RR` onde `f(x) = (x-2)^2-(x+1)^2`.


Resolução


A lei da função `f`, ou seja `f(x) = (x-2)^2-(x+1)^2` pode ser simplificada expandindo os produtos notáveis envolvidos nas parcelas `(x-2)^2` e `(x+1)^2`

`(x-2)^2 = x^2-4x+4`

`(x+1)^2 = x^2+2x+1`

Portanto, `f(x) = (x-2)^2-(x+1)^2 = x^2-4x+4 -(x^2+2x+1) = -6x+3`.

Assim `f` é uma função afim pois pode ser escrita na forma `f(x)=ax+b`. Repare que `f(x) = -6x+3`. Nessa função o coeficente angular vale `-6` o que implica que o seu gráfico no Plano Cartesiano é uma reta descendente.

Intercepto com o eixo `x` - basta fazer `f(x)=0`

Podemos obter o ponto de intercepto do gráfico de `f` com o eixo das abscissas (eixo `x`) fazendo `f(x)=0`:

` -6x+3=0`

`-6x=-3`

`6x=3`

`x=1/2`

Assim o gráfico de `f` intercepta o eixo das abscissas no ponto de coordenadas `(1/2,0)` — o valor `1/2` é chamado de zero da função ou raiz da função. O termo zero, nesse contexto, significa em matemática "o valor que torna zero a função", "o valor que anula a função" ou "`x` tal que `f(x)=0`.

Mais apropriado é chamar de zero da função porque funções tem zeros e equações tem raízes. Contudo, se preocupe mais com o conceito envolvido na obtenção do intercepto com o eiox `x` do que as preferências de estilo de linguagem que nós matemáticos apreciamos.

Intercepto com o eixo `y` - basta fazer `x=0`

Podemos obter o ponto de intercepto do gráfico de `f` com o eixo das ordenadas (eixo `y`) fazendo `x=0` - ou seja, `f(0)`:

`f(0) = -6*0+3 = 3`.

Logo, o gráfco intercepta o eixo das ordenadas no ponto `(0,3)`.

2

Exemplo 2


Construa o gráfico da função `f: [-1,1] \rightarrow \RR` onde `f(x) = -6x+3`.


Resolução

Primeiramente repare que foi indicado `f: [-1,1] \rightarrow \RR`. Isso que dizer que o Domínio da função `f` está restrito ao intervalo `[-1,1]` então `-1<=x<=1`. Nesse caso o gráfico no Plano Cartesiano não será toda uma reta, mas um trecho dela, um segmento de reta limitado entre `x=-1` e `x=1`.

Vamos obter as imagens para `x=-1` e `x=1` em `f(x) = -6x+3`

`f(-1) = -6*(-1)+3=6+3=9`. Então a primeira extremidade do trecho do gráfico é o ponto `(-1,9)`.

`f(1) = -6*(1)+3=-6+3=-3`. Então a primeira extremidade do trecho do gráfico é o ponto `(1,-3)`.

Ressaltando: Como `f` é da forma `f(x)=ax+b` o gráfico corresponderia a uma reta no Plano Cartesiano; contudo, com as limitações definidas pelo domínio, corresponderá a um segmento de reta no Plano Cartesiano.






Comente

São mais de 50.000 páginas de conteúdo . Não acompanho os diálogos a seguir - por isso, caso você ache alguma pergunta feita pelos usuários e queira contribuir, por favor, deixe o seu parecer - que irá enriquecer o material.