Professor Cardy

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Controles das constantes a e b.
Resultados Obtidos
a , onde a =

b , onde b =

Você pode mudar os valores acima, clicando nos botões vermelhos ou azuis.

$$f(x) =$$ x + ()

Coordenadas do ponto de Intercepto em Y:

(0, b) = ( 0 , )

Coordenadas do ponto de Intercepto em X:

($$x_1$$, 0) = ( , 0)




A Função Polinomial do 1° Grau, mais conhecida como Função do 1° Grau, é uma Função Afim.

Esse tipo de Função pode representar muitos eventos cotidianos como, por exemplo, o valor que uma pessoa paga ao final de um mês no seu plano de celular pós-pago; pagando um valor fixo mais um outro valor variável em termos do tempo de uso em ligações. Digamos que o valor da assinatura seja fixo em R$20,00 e o custo de ligação é R$0,05 por minuto de chamada.

Assim, o valor total do pré-pago pode ser representado pela lei:

$$f(x) = 20 + 0,05x$$

Onde x é o tempo de ligações, em minutos; e f(x) o preço total a ser pago, em reais.

O exemplo acima é de uma Função Afim. Uma Função Afim é toda funcão $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ que pode ser escrita na forma $$f(x) = ax + b$$ como os coeficientes $$a$$ e $$b$$ reais.

Aprenda

Toda Função Afim $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ pode ser escrita na forma $$f(x) = ax + b$$. Onde:

Coeficientes: $$a$$ e $$b$$ (são números reais).

Variável: $$x$$ (é um número real).

I) Para $$a != 0$$ a Função $$f$$ pode ser chamada de Função Polinomial de 1° Grau.

II) Para $$a = 0$$ a Função $$f$$ não pode ser chamada de Função Polinomial de 1° Grau. Ela é uma Função Constante.

Cardica

No Plano Cartesiano o gráfico de toda função afim $$f(x) = ax +b$$ corresponderá a uma reta. Esse fato decorre que a variação de $$y$$ sobre a variação de $$x$$ é sempre uma constante real.

Repare que:

$$\frac{\Delta_y}{\Delta_x} = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{(ax_1 +b)-(ax_0 +b)}{x_1-x_0}=\frac{ax_1-ax_0}{x_1-x_0}= \frac{a*(x_1-x_0)}{x_1-x_0}=a$$

E $$a$$ é uma constante real, conforme a definição.



Função Afim $$f(x) = ax + b$$

Função Polinomial do 1° Grau

$$f(x) = ax + b$$ com $$a != 0$$

 

Função Constante

$$f(x) = b$$



Sobre o coeficiente $$a$$ (coeficiente angular)

1) $$a > 0$$

Repare simplesmente que se $$a >0$$ conforme aumentam-se os valores de $$x$$ amentar-se-ão os valores de $$ax$$. Logo, também ficarão cada vez maiores os valores de $$b + ax$$ pois $$ax$$ estará contribuindo ao valor de $$b$$ com valores mais e mais elevados.

Note que eu apenas escrevi nesta ordem: $$b + ax$$ para destacar a contribuição e $$ax$$ sobre $$b$$. Mas lembre que $$f(x) = ax+b = b + ax$$.

Portanto, para $$a > 0$$, $$f(x)$$ é crescente.

Ou seja, para $$a > 0$$, o gráfico de $$f$$ no Plano Cartesiano só pode ser uma reta ascendente.

Neste caso, $$f(x)=ax+b$$ é uma Função Polinomial do 1° Grau. Pois $$a != 0$$.

 
2) $$a < 0$$

Repare que se $$a <0$$ conforme diminuem-se os valores de $$x$$ diminuir-se-ão os valores de $$ax$$. Logo, também ficarão cada vez menores os valores de $$b + ax$$ pois estaremos diminuindo $$ax$$ do valor de $$b$$ .

Portanto, para $$a < 0$$, $$f(x)$$ é decrescente.

Ou seja, para $$a < 0$$, o gráfico de $$f$$ no Plano Cartesiano só pode ser uma reta descendente.

Neste caso, $$f(x)=ax+b$$ é uma Função Polinomial do 1° Grau. Pois $$a != 0$$.

 

3) $$a = 0$$

Se $$a = 0$$ qualquer alteração dos valores de $$x$$ não afetará os valores de $$ax$$ pois $$ax = 0*x = 0$$. Logo, ficará constante o resultado $$ax+b$$ pois teremos $$ax + b = 0*x +b=b$$ .

Portanto, para $$a = 0$$, $$f(x)$$ é constante.

Ou seja, para $$a = 0$$, o gráfico de $$f$$ no Plano Cartesiano só pode ser uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas, pois todos os resultados $$f(x)$$ são iguais entre si.

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Exemplo 1


Construa o gráfico da função $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ onde $$f(x) = (x-2)^2-(x+1)^2$$.


Resolução


A lei da função $$f$$, ou seja $$f(x) = (x-2)^2-(x+1)^2$$ pode ser simplificada expandindo os produtos notáveis envolvidos nas parcelas $$(x-2)^2$$ e $$(x+1)^2$$

$$(x-2)^2 = x^2-4x+4$$

$$(x+1)^2 = x^2+2x+1$$

Portanto, $$f(x) = (x-2)^2-(x+1)^2 = x^2-4x+4 -(x^2+2x+1) = -6x+3$$.

Assim $$f$$ é uma função afim pois pode ser escrita na forma $$f(x)=ax+b$$. Repare que $$f(x) = -6x+3$$. Nessa função o coeficente angular vale $$-6$$ o que implica que o seu gráfico no Plano Cartesiano é uma reta descendente.

Intercepto com o eixo $$x$$ - basta fazer $$f(x)=0$$

Podemos obter o ponto de intercepto do gráfico de $$f$$ com o eixo das abscissas (eixo $$x$$) fazendo $$f(x)=0$$:

$$ -6x+3=0$$

$$-6x=-3$$

$$6x=3$$

$$x=1/2$$

Assim o gráfico de $$f$$ intercepta o eixo das abscissas no ponto de coordenadas $$(1/2,0)$$ — o valor $$1/2$$ é chamado de zero da função ou raiz da função. O termo zero, nesse contexto, significa em matemática "o valor que torna zero a função", "o valor que anula a função" ou "$$x$$ tal que $$f(x)=0$$.

Mais apropriado é chamar de zero da função porque funções tem zeros e equações tem raízes. Contudo, se preocupe mais com o conceito envolvido na obtenção do intercepto com o eiox $$x$$ do que as preferências de estilo de linguagem que nós matemáticos apreciamos.

Intercepto com o eixo $$y$$ - basta fazer $$x=0$$

Podemos obter o ponto de intercepto do gráfico de $$f$$ com o eixo das ordenadas (eixo $$y$$) fazendo $$x=0$$ - ou seja, $$f(0)$$:

$$f(0) = -6*0+3 = 3$$.

Logo, o gráfco intercepta o eixo das ordenadas no ponto $$(0,3)$$.

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Exemplo 2


Construa o gráfico da função $$f: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$$ onde $$f(x) = -6x+3$$.


Resolução

Primeiramente repare que foi indicado $$f: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$$. Isso que dizer que o Domínio da função $$f$$ está restrito ao intervalo $$[-1,1]$$ então $$-1<=x<=1$$. Nesse caso o gráfico no Plano Cartesiano não será toda uma reta, mas um trecho dela, um segmento de reta limitado entre $$x=-1$$ e $$x=1$$.

Vamos obter as imagens para $$x=-1$$ e $$x=1$$ em $$f(x) = -6x+3$$

$$f(-1) = -6*(-1)+3=6+3=9$$. Então a primeira extremidade do trecho do gráfico é o ponto $$(-1,9)$$.

$$f(1) = -6*(1)+3=-6+3=-3$$. Então a primeira extremidade do trecho do gráfico é o ponto $$(1,-3)$$.

Ressaltando: Como $$f$$ é da forma $$f(x)=ax+b$$ o gráfico corresponderia a uma reta no Plano Cartesiano; contudo, com as limitações definidas pelo domínio, corresponderá a um segmento de reta no Plano Cartesiano.