O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é um método de resolução de divisão entre dois polinômios. Criado por Charles Auguste Briot e Paolo Ruffini.

Esse método consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos apenas com coeficientes e só serve para divisões de um polinômio de grau acima ou igual a 1 por um binômio da forma $$x-alpha$$.

Para efetuar a divisão de $$P(x)$$ por $$x-alpha$$ devemos organizar os monômios de $$P(x)$$ de modo que as potências da variável $$x$$ fiquem em ordem decrescente.

Por exemplo, $$P(x) = 2x^4-3x^3+x^5+3$$ precisa ser escrito como

$$P(x) = x^5+ 2x^4-3x^3+3$$.

Eventualmente precisaremos expandir o polinômio.

Por exemplo, $$P(x)=(x -3)^2$$ precisa ser escrito na forma expandida como

$$P(x)=x^2-6x+9$$.

Com esses dois cuidados podemos identificar os elementos necessários e obrigatórios para fazer uso do método:

1) todos os coeficientes de $$P(x)$$.

2) o grau de $$P(x)$$.

Importante destacar que o grau de $$P(x)$$ precisa ser maior ou igual a $$1$$.

1ª Etapa — organizar os coeficientes de $$P(x)$$ no dispositivo

No método dispomos apenas os coeficiente de $$P(x)$$ numa espécia de tabela, um 'mostruário' ou, simplesmente, em um dispositivo. Nesse dispositivo os coeficientes das potências ocupam uma posição exclusiva para eles, em uma coluna específica.

Por exemplo, para $$P(x)=x^2-6x+9$$ o dispositivo fica assim (TI é o Termo Independente):

	coeficientes de
	`x^2`	`x`	TI
	`1`	`-6`	`9`

O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:

	`1`	`-6`	`9`
	`1`

 

 

2ª Etapa — registrar a raiz do divisor de $$P(x)$$ no dispositivo

Vamos exemplificar essa etapa usando $$x+2$$ como um divisor de $$P(x)$$. O valor de $$x$$ que é raiz de $$x+2$$ é o número que o anula, ou seja, que faz com que $$x+2=0$$. Logo, a raiz de $$x+2$$ é $$-2$$.

A raiz é colocada na parte destacada, em primeirissimo lugar:

`-2`	`1`	`-6`	`9`
	`1`

3ª Etapa — calcular os coeficientes do quociente e o resto da divisão de $$P(x)$$ por $$x+2$$ no dispositivo

O procedimento agora é repetitivo e segue o mesmo princípio até esgotar as posições vagas da segunda linha e que estão abaixo dos coeficientes de $$P(x)$$.

 

Multiplicar o último número desta linha pela raiz do divisor e somar com o coeficiente de $$P(x)$$ que está acima da posicão vaga.

 

Em destaque os números que serão objeto do cálculo descrito acima:

`-2`	`1`	`-6`	`9`
	`1`	vaga

 

Na posição vaga devemos colocar $$1 times (-2) + (-6) = -8$$.

`-2`	`1`	`-6`	`9`
	`1`	`-8`

 

Como ainda temos uma posição disponível abaixo do $$9$$, devemos repetir o procedimento, mas com estes números destacados:

`-2`	`1`	`-6`	`9`
	`1`	`-8`	vaga

 

Na posição vaga devemos colocar $$(-8) times (-2) + (9) = 25$$.

`-2`	`1`	`-6`	`9`
	`1`	`-8`	`25`

 

No final do processo, sempre o último número corresponde ao resto, ou seja, $$R(x)=25$$.

No dispositivo, da esquerda para a direita temos os coeficientes do quociente, ou seja, $$Q(x) = 1*x-8=x-8$$.

	Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=2*(x^4-1)` por `d(x)=x-1`.
	A primeira tarefa é expandir $$P(x)=2*(x^4-1)$$, assim, $$P(x)=2x^4-2$$. Repare que $$\text{Gr}_\text{P} = 4$$ e isso acarreta que $$\text{Gr}_\text{Q} = 3$$ . Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:   coeficientes de   `x^4` `x^3` `x^2` `x` TI   `2` `0` `0` `0` `-2`             O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:   `2` `0` `0` `0` `-2`   `2`         A raiz de $$d(x)=x-1$$ é $$1$$. `1` `2` `0` `0` `0` `-2`   `2`           Parte dos cálculos no dispositivo: $$[2] times (1) + {0} = 2$$: `(1)` `2` `{0}` `0` `0` `-2`   `[2]` `2`         $$[2] times (1) + {0} = 2$$: `(1)` `2` `0` `{0}` `0` `-2`   `2` `[2]` `2`       $$[2] times (1) + {0} = 2$$: `(1)` `2` `0` `0` `{0}` `-2`   `2` `2` `[2]` `2`     $$[1] times (1) + {-2} = 0$$: `(1)` `2` `0` `0` `0` `{-2}`   `2` `2` `2` `[2]` `0`   Assim, $$R(x) = 0$$ e $$Q(x) = 2x^3+2x^2+2x+2$$.

	Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=(x^2-1)/2` por `d(x)=x`.
	A primeira tarefa é expandir $$P(x)=(x^2-1)/2$$: $$P(x)=1/2(x^2-1)=1/2 x^2-1/2$$ Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:   coeficientes de   `x^2` `x` TI   `1/2` `0` `-1/2`         O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:   `1/2` `0` `-1/2`   `1/2`     A raiz de $$d(x)=x$$ é $$0$$. `0` `1/2` `0` `-1/2`   `1/2`       Parte dos cálculos no dispositivo: $$[1/2] times (0) + {0} = 0$$: `(0)` `1/2` `{0}` `-1/2`   `[1/2]` `0`     $$[0] times (0) + {-1/2} = -1/2$$: `(0)` `1/2` `0` `{-1/2}`   `1/2` `[0]` `-1/2`   Assim, $$R(x) = -1/2$$ e $$Q(x) = 1/2x + 0 = 1/2x$$.