Cardicas ›› Dispositivo Prático de Briot Ruffini

O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é um método de resolução de divisão entre dois polinômios. Criado por Charles Auguste Briot e Paolo Ruffini.

Esse método consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos apenas com coeficientes e só serve para divisões de um polinômio de grau acima ou igual a 1 por um binômio da forma `x-alpha`.

Para efetuar a divisão de `P(x)` por `x-alpha` devemos organizar os monômios de `P(x)` de modo que as potências da variável `x` fiquem em ordem decrescente.

Por exemplo, `P(x) = 2x^4-3x^3+x^5+3` precisa ser escrito como

`P(x) = x^5+ 2x^4-3x^3+3`.

Eventualmente precisaremos expandir o polinômio.

Por exemplo, `P(x)=(x -3)^2` precisa ser escrito na forma expandida como

`P(x)=x^2-6x+9`.

Com esses dois cuidados podemos identificar os elementos necessários e obrigatórios para fazer uso do método:

1) todos os coeficientes de `P(x)`.

2) o grau de `P(x)`.

Importante destacar que o grau de `P(x)` precisa ser maior ou igual a `1`.

Numa divisão, quem será dividido é chamado de dividendo e quem divide é denominado por divisor.

Na divisão obtemos o quociente e o resto da divisão do dividendo pelo divisor.

1ª Etapa — organizar os coeficientes de `P(x)` no dispositivo

No método dispomos apenas os coeficiente de `P(x)` numa espécia de tabela, um 'mostruário' ou, simplesmente, em um dispositivo. Nesse dispositivo os coeficientes das potências ocupam uma posição exclusiva para eles, em uma coluna específica.

Por exemplo, para `P(x)=x^2-6x+9` o dispositivo fica assim (TI é o Termo Independente):

  coeficientes de
  `x^2` `x` TI
  `1` `-6` `9`
       

Depois da "maior potência" (aquela que tem o maior expoente) todas as potências de `x` tem uma coluna especialmente designada para ela. Mesmo que no polinômio uma potência não compareça, deveremos indicar uma coluna para ela e completar com o coeficiente `0` na posição apropriada.

Esta informação será útil e a usarei em breve, no primeiro exemplo que está aqui.

O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:

  `1` `-6` `9`
  `1`    

 

 

2ª Etapa — registrar a raiz do divisor de `P(x)` no dispositivo

Vamos exemplificar essa etapa usando `x+2` como um divisor de `P(x)`. O valor de `x` que é raiz de `x+2` é o número que o anula, ou seja, que faz com que `x+2=0`. Logo, a raiz de `x+2` é `-2`.

A raiz é colocada na parte destacada, em primeirissimo lugar:

`-2` `1` `-6` `9`
  `1`    

3ª Etapa — calcular os coeficientes do quociente e o resto da divisão de `P(x)` por `x+2` no dispositivo

O procedimento agora é repetitivo e segue o mesmo princípio até esgotar as posições vagas da segunda linha e que estão abaixo dos coeficientes de `P(x)`.

 

Multiplicar o último número desta linha pela raiz do divisor e somar com o coeficiente de `P(x)` que está acima da posicão vaga.

 

Em destaque os números que serão objeto do cálculo descrito acima:

`-2`
`1`
`-6`
`9`
 
`1`
vaga  

 

Na posição vaga devemos colocar `1 times (-2) + (-6) = -8`.

`-2` `1` `-6` `9`
  `1` `-8`  

 

Como ainda temos uma posição disponível abaixo do `9`, devemos repetir o procedimento, mas com estes números destacados:

`-2`
`1` `-6`
`9`
  `1`
`-8`
vaga

 

Na posição vaga devemos colocar `(-8) times (-2) + (9) = 25`.

`-2` `1` `-6` `9`
  `1` `-8` `25`

 

No final do processo, sempre o último número corresponde ao resto, ou seja, `R(x)=25`.

No dispositivo, da esquerda para a direita temos os coeficientes do quociente, ou seja, `Q(x) = 1*x-8=x-8`.

O quociente `Q(x)` da divisão de `P(x)`, com `\text{Gr}_\text{P} >= 1` por `x-alpha` o quociente terá grau imediatamente inferior ao grau de `P(x)`.

Assim, `\text{Gr}_\text{P} = n` e `\text{Gr}_\text{Q} = n-1` `(n in \mathbb{N}-{0})`.

Além disso, `R(x)` sempre será uma constante, ou seja, `R(x) = \text{constante}`.

Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=2*(x^4-1)` por `d(x)=x-1`.
   
 

A primeira tarefa é expandir `P(x)=2*(x^4-1)`, assim, `P(x)=2x^4-2`. Repare que `\text{Gr}_\text{P} = 4` e isso acarreta que `\text{Gr}_\text{Q} = 3` .

Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:

  coeficientes de
  `x^4` `x^3` `x^2` `x` TI
  `2` `0` `0` `0` `-2`
           

O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:

  `2` `0` `0` `0` `-2`
  `2`        

A raiz de `d(x)=x-1` é `1`.

`1` `2` `0` `0` `0` `-2`
  `2`        

 

Parte dos cálculos no dispositivo:

`[2] times (1) + {0} = 2`:

`(1)` `2` `{0}` `0` `0` `-2`
  `[2]` `2`      

 

`[2] times (1) + {0} = 2`:

`(1)` `2` `0` `{0}` `0` `-2`
  `2` `[2]` `2`    

 

`[2] times (1) + {0} = 2`:

`(1)` `2` `0` `0` `{0}` `-2`
  `2` `2` `[2]` `2`  

 

`[1] times (1) + {-2} = 0`:

`(1)` `2` `0` `0` `0` `{-2}`
  `2` `2` `2` `[2]` `0`

 

Assim, `R(x) = 0` e `Q(x) = 2x^3+2x^2+2x+2`.

 

Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=(x^2-1)/2` por `d(x)=x`.
   
 

A primeira tarefa é expandir `P(x)=(x^2-1)/2`:

`P(x)=1/2(x^2-1)=1/2 x^2-1/2`

Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:

  coeficientes de
  `x^2` `x` TI
  `1/2` `0` `-1/2`
       

O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:

  `1/2` `0` `-1/2`
  `1/2`    

A raiz de `d(x)=x` é `0`.

`0` `1/2` `0` `-1/2`
  `1/2`    

 

Parte dos cálculos no dispositivo:

`[1/2] times (0) + {0} = 0`:

`(0)` `1/2` `{0}` `-1/2`
  `[1/2]` `0`  

 

`[0] times (0) + {-1/2} = -1/2`:

`(0)` `1/2` `0` `{-1/2}`
  `1/2` `[0]` `-1/2`

 

Assim, `R(x) = -1/2` e `Q(x) = 1/2x + 0 = 1/2x`.