O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é um método de resolução de divisão entre dois polinômios. Criado por Charles Auguste Briot e Paolo Ruffini.
Esse método consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos apenas com coeficientes e só serve para divisões de um polinômio de grau acima ou igual a 1 por um binômio da forma `x-alpha`.
Para efetuar a divisão de `P(x)` por `x-alpha` devemos organizar os monômios de `P(x)` de modo que as potências da variável `x` fiquem em ordem decrescente.
Por exemplo, `P(x) = 2x^4-3x^3+x^5+3` precisa ser escrito como
`P(x) = x^5+ 2x^4-3x^3+3`.
Eventualmente precisaremos expandir o polinômio.
Por exemplo, `P(x)=(x -3)^2` precisa ser escrito na forma expandida como
`P(x)=x^2-6x+9`.
Com esses dois cuidados podemos identificar os elementos necessários e obrigatórios para fazer uso do método:
1) todos os coeficientes de `P(x)`.
2) o grau de `P(x)`.
Importante destacar que o grau de `P(x)` precisa ser maior ou igual a `1`.
Numa divisão, quem será dividido é chamado de dividendo e quem divide é denominado por divisor.
Na divisão obtemos o quociente e o resto da divisão do dividendo pelo divisor.
No método dispomos apenas os coeficiente de `P(x)` numa espécia de tabela, um 'mostruário' ou, simplesmente, em um dispositivo. Nesse dispositivo os coeficientes das potências ocupam uma posição exclusiva para eles, em uma coluna específica.
Por exemplo, para `P(x)=x^2-6x+9` o dispositivo fica assim (TI é o Termo Independente):
coeficientes de | |||
`x^2` | `x` | TI | |
`1` | `-6` | `9` | |
Depois da "maior potência" (aquela que tem o maior expoente) todas as potências de `x` tem uma coluna especialmente designada para ela. Mesmo que no polinômio uma potência não compareça, deveremos indicar uma coluna para ela e completar com o coeficiente `0` na posição apropriada.
Esta informação será útil e a usarei em breve, no primeiro exemplo que está aqui.
O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:
`1` | `-6` | `9` | |
`1` |
Vamos exemplificar essa etapa usando `x+2` como um divisor de `P(x)`. O valor de `x` que é raiz de `x+2` é o número que o anula, ou seja, que faz com que `x+2=0`. Logo, a raiz de `x+2` é `-2`.
A raiz é colocada na parte destacada, em primeirissimo lugar:
`-2` | `1` | `-6` | `9` |
`1` |
O procedimento agora é repetitivo e segue o mesmo princípio até esgotar as posições vagas da segunda linha e que estão abaixo dos coeficientes de `P(x)`.
Multiplicar o último número desta linha pela raiz do divisor e somar com o coeficiente de `P(x)` que está acima da posicão vaga.
Em destaque os números que serão objeto do cálculo descrito acima:
`-2` |
`1` | `-6` |
`9` |
`1` |
vaga |
Na posição vaga devemos colocar `1 times (-2) + (-6) = -8`.
`-2` | `1` | `-6` | `9` |
`1` | `-8` |
Como ainda temos uma posição disponível abaixo do `9`, devemos repetir o procedimento, mas com estes números destacados:
`-2` |
`1` | `-6` | `9` |
`1` | `-8` |
vaga |
Na posição vaga devemos colocar `(-8) times (-2) + (9) = 25`.
`-2` | `1` | `-6` | `9` |
`1` | `-8` | `25` |
No final do processo, sempre o último número corresponde ao resto, ou seja, `R(x)=25`.
No dispositivo, da esquerda para a direita temos os coeficientes do quociente, ou seja, `Q(x) = 1*x-8=x-8`.
O quociente `Q(x)` da divisão de `P(x)`, com `\text{Gr}_\text{P} >= 1` por `x-alpha` o quociente terá grau imediatamente inferior ao grau de `P(x)`.
Assim, `\text{Gr}_\text{P} = n` e `\text{Gr}_\text{Q} = n-1` `(n in \mathbb{N}-{0})`.
Além disso, `R(x)` sempre será uma constante, ou seja, `R(x) = \text{constante}`.
![]() |
Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=2*(x^4-1)` por `d(x)=x-1`. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A primeira tarefa é expandir `P(x)=2*(x^4-1)`, assim, `P(x)=2x^4-2`. Repare que `\text{Gr}_\text{P} = 4` e isso acarreta que `\text{Gr}_\text{Q} = 3` . Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:
O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:
A raiz de `d(x)=x-1` é `1`.
Parte dos cálculos no dispositivo:`[2] times (1) + {0} = 2`:
`[2] times (1) + {0} = 2`:
`[2] times (1) + {0} = 2`:
`[1] times (1) + {-2} = 0`:
Assim, `R(x) = 0` e `Q(x) = 2x^3+2x^2+2x+2`.
|
![]() |
Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=(x^2-1)/2` por `d(x)=x`. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A primeira tarefa é expandir `P(x)=(x^2-1)/2`: `P(x)=1/2(x^2-1)=1/2 x^2-1/2` Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:
O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:
A raiz de `d(x)=x` é `0`.
Parte dos cálculos no dispositivo:`[1/2] times (0) + {0} = 0`:
`[0] times (0) + {-1/2} = -1/2`:
Assim, `R(x) = -1/2` e `Q(x) = 1/2x + 0 = 1/2x`. |
2001 — 2018
18 anos on line!
GRATUITAMENTE, com acesso TOTAL e completamente liberado!