O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é um método de resolução de divisão entre dois polinômios. Criado por Charles Auguste Briot e Paolo Ruffini.
Esse método consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos apenas com coeficientes e só serve para divisões de um polinômio de grau acima ou igual a 1 por um binômio da forma $$x-alpha$$.
Para efetuar a divisão de $$P(x)$$ por $$x-alpha$$ devemos organizar os monômios de $$P(x)$$ de modo que as potências da variável $$x$$ fiquem em ordem decrescente.
Por exemplo, $$P(x) = 2x^4-3x^3+x^5+3$$ precisa ser escrito como
$$P(x) = x^5+ 2x^4-3x^3+3$$.
Eventualmente precisaremos expandir o polinômio.
Por exemplo, $$P(x)=(x -3)^2$$ precisa ser escrito na forma expandida como
$$P(x)=x^2-6x+9$$.
Com esses dois cuidados podemos identificar os elementos necessários e obrigatórios para fazer uso do método:
1) todos os coeficientes de $$P(x)$$.
2) o grau de $$P(x)$$.
Importante destacar que o grau de $$P(x)$$ precisa ser maior ou igual a $$1$$.
Numa divisão, quem será dividido é chamado de dividendo e quem divide é denominado por divisor.
Na divisão obtemos o quociente e o resto da divisão do dividendo pelo divisor.
No método dispomos apenas os coeficiente de $$P(x)$$ numa espécia de tabela, um 'mostruário' ou, simplesmente, em um dispositivo. Nesse dispositivo os coeficientes das potências ocupam uma posição exclusiva para eles, em uma coluna específica.
Por exemplo, para $$P(x)=x^2-6x+9$$ o dispositivo fica assim (TI é o Termo Independente):
coeficientes de | |||
`x^2` | `x` | TI | |
`1` | `-6` | `9` | |
Depois da "maior potência" (aquela que tem o maior expoente) todas as potências de $$x$$ tem uma coluna especialmente designada para ela. Mesmo que no polinômio uma potência não compareça, deveremos indicar uma coluna para ela e completar com o coeficiente $$0$$ na posição apropriada.
Esta informação será útil e a usarei em breve, no primeiro exemplo que está aqui.
O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:
`1` | `-6` | `9` | |
`1` |
Vamos exemplificar essa etapa usando $$x+2$$ como um divisor de $$P(x)$$. O valor de $$x$$ que é raiz de $$x+2$$ é o número que o anula, ou seja, que faz com que $$x+2=0$$. Logo, a raiz de $$x+2$$ é $$-2$$.
A raiz é colocada na parte destacada, em primeirissimo lugar:
`-2` | `1` | `-6` | `9` |
`1` |
O procedimento agora é repetitivo e segue o mesmo princípio até esgotar as posições vagas da segunda linha e que estão abaixo dos coeficientes de $$P(x)$$.
Multiplicar o último número desta linha pela raiz do divisor e somar com o coeficiente de $$P(x)$$ que está acima da posicão vaga.
Em destaque os números que serão objeto do cálculo descrito acima:
`-2` |
`1` | `-6` |
`9` |
`1` |
vaga |
Na posição vaga devemos colocar $$1 times (-2) + (-6) = -8$$.
`-2` | `1` | `-6` | `9` |
`1` | `-8` |
Como ainda temos uma posição disponível abaixo do $$9$$, devemos repetir o procedimento, mas com estes números destacados:
`-2` |
`1` | `-6` | `9` |
`1` | `-8` |
vaga |
Na posição vaga devemos colocar $$(-8) times (-2) + (9) = 25$$.
`-2` | `1` | `-6` | `9` |
`1` | `-8` | `25` |
No final do processo, sempre o último número corresponde ao resto, ou seja, $$R(x)=25$$.
No dispositivo, da esquerda para a direita temos os coeficientes do quociente, ou seja, $$Q(x) = 1*x-8=x-8$$.
O quociente $$Q(x)$$ da divisão de $$P(x)$$, com $$\text{Gr}_\text{P} >= 1$$ por $$x-alpha$$ o quociente terá grau imediatamente inferior ao grau de $$P(x)$$.
Assim, $$\text{Gr}_\text{P} = n$$ e $$\text{Gr}_\text{Q} = n-1$$ $$(n in \mathbb{N}-{0})$$.
Além disso, $$R(x)$$ sempre será uma constante, ou seja, $$R(x) = \text{constante}$$.
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Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=2*(x^4-1)` por `d(x)=x-1`. |
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A primeira tarefa é expandir $$P(x)=2*(x^4-1)$$, assim, $$P(x)=2x^4-2$$. Repare que $$\text{Gr}_\text{P} = 4$$ e isso acarreta que $$\text{Gr}_\text{Q} = 3$$ . Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:
O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:
A raiz de $$d(x)=x-1$$ é $$1$$.
Parte dos cálculos no dispositivo:$$[2] times (1) + {0} = 2$$:
$$[2] times (1) + {0} = 2$$:
$$[2] times (1) + {0} = 2$$:
$$[1] times (1) + {-2} = 0$$:
Assim, $$R(x) = 0$$ e $$Q(x) = 2x^3+2x^2+2x+2$$.
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![]() |
Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=(x^2-1)/2` por `d(x)=x`. |
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A primeira tarefa é expandir $$P(x)=(x^2-1)/2$$: $$P(x)=1/2(x^2-1)=1/2 x^2-1/2$$ Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:
O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:
A raiz de $$d(x)=x$$ é $$0$$.
Parte dos cálculos no dispositivo:$$[1/2] times (0) + {0} = 0$$:
$$[0] times (0) + {-1/2} = -1/2$$:
Assim, $$R(x) = -1/2$$ e $$Q(x) = 1/2x + 0 = 1/2x$$. |
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