O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é um método de resolução de divisão entre dois polinômios. Criado por Charles Auguste Briot e Paolo Ruffini.

Esse método consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos apenas com coeficientes e só serve para divisões de um polinômio de grau acima ou igual a 1 por um binômio da forma `x-alpha`.

Para efetuar a divisão de `P(x)` por `x-alpha` devemos organizar os monômios de `P(x)` de modo que as potências da variável `x` fiquem em ordem decrescente.

Por exemplo, `P(x) = 2x^4-3x^3+x^5+3` precisa ser escrito como

`P(x) = x^5+ 2x^4-3x^3+3`.

Eventualmente precisaremos expandir o polinômio.

Por exemplo, `P(x)=(x -3)^2` precisa ser escrito na forma expandida como

`P(x)=x^2-6x+9`.

Com esses dois cuidados podemos identificar os elementos necessários e obrigatórios para fazer uso do método:

1) todos os coeficientes de `P(x)`.

2) o grau de `P(x)`.

Importante destacar que o grau de `P(x)` precisa ser maior ou igual a `1`.

1ª Etapa — organizar os coeficientes de `P(x)` no dispositivo

No método dispomos apenas os coeficiente de `P(x)` numa espécia de tabela, um 'mostruário' ou, simplesmente, em um dispositivo. Nesse dispositivo os coeficientes das potências ocupam uma posição exclusiva para eles, em uma coluna específica.

Por exemplo, para `P(x)=x^2-6x+9` o dispositivo fica assim (TI é o Termo Independente):

	coeficientes de
	`x^2`	`x`	TI
	`1`	`-6`	`9`

O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:

	`1`	`-6`	`9`
	`1`

 

 

2ª Etapa — registrar a raiz do divisor de `P(x)` no dispositivo

Vamos exemplificar essa etapa usando `x+2` como um divisor de `P(x)`. O valor de `x` que é raiz de `x+2` é o número que o anula, ou seja, que faz com que `x+2=0`. Logo, a raiz de `x+2` é `-2`.

A raiz é colocada na parte destacada, em primeirissimo lugar:

`-2`	`1`	`-6`	`9`
	`1`

3ª Etapa — calcular os coeficientes do quociente e o resto da divisão de `P(x)` por `x+2` no dispositivo

O procedimento agora é repetitivo e segue o mesmo princípio até esgotar as posições vagas da segunda linha e que estão abaixo dos coeficientes de `P(x)`.

 

Multiplicar o último número desta linha pela raiz do divisor e somar com o coeficiente de `P(x)` que está acima da posicão vaga.

 

Em destaque os números que serão objeto do cálculo descrito acima:

`-2`	`1`	`-6`	`9`
	`1`	vaga

 

Na posição vaga devemos colocar `1 times (-2) + (-6) = -8`.

`-2`	`1`	`-6`	`9`
	`1`	`-8`

 

Como ainda temos uma posição disponível abaixo do `9`, devemos repetir o procedimento, mas com estes números destacados:

`-2`	`1`	`-6`	`9`
	`1`	`-8`	vaga

 

Na posição vaga devemos colocar `(-8) times (-2) + (9) = 25`.

`-2`	`1`	`-6`	`9`
	`1`	`-8`	`25`

 

No final do processo, sempre o último número corresponde ao resto, ou seja, `R(x)=25`.

No dispositivo, da esquerda para a direita temos os coeficientes do quociente, ou seja, `Q(x) = 1*x-8=x-8`.

	Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=2*(x^4-1)` por `d(x)=x-1`.
	A primeira tarefa é expandir `P(x)=2*(x^4-1)`, assim, `P(x)=2x^4-2`. Repare que `\text{Gr}_\text{P} = 4` e isso acarreta que `\text{Gr}_\text{Q} = 3` . Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:   coeficientes de   `x^4` `x^3` `x^2` `x` TI   `2` `0` `0` `0` `-2`             O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:   `2` `0` `0` `0` `-2`   `2`         A raiz de `d(x)=x-1` é `1`. `1` `2` `0` `0` `0` `-2`   `2`           Parte dos cálculos no dispositivo: `[2] times (1) + {0} = 2`: `(1)` `2` `{0}` `0` `0` `-2`   `[2]` `2`         `[2] times (1) + {0} = 2`: `(1)` `2` `0` `{0}` `0` `-2`   `2` `[2]` `2`       `[2] times (1) + {0} = 2`: `(1)` `2` `0` `0` `{0}` `-2`   `2` `2` `[2]` `2`     `[1] times (1) + {-2} = 0`: `(1)` `2` `0` `0` `0` `{-2}`   `2` `2` `2` `[2]` `0`   Assim, `R(x) = 0` e `Q(x) = 2x^3+2x^2+2x+2`.

	Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=(x^2-1)/2` por `d(x)=x`.
	A primeira tarefa é expandir `P(x)=(x^2-1)/2`: `P(x)=1/2(x^2-1)=1/2 x^2-1/2` Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:   coeficientes de   `x^2` `x` TI   `1/2` `0` `-1/2`         O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:   `1/2` `0` `-1/2`   `1/2`     A raiz de `d(x)=x` é `0`. `0` `1/2` `0` `-1/2`   `1/2`       Parte dos cálculos no dispositivo: `[1/2] times (0) + {0} = 0`: `(0)` `1/2` `{0}` `-1/2`   `[1/2]` `0`     `[0] times (0) + {-1/2} = -1/2`: `(0)` `1/2` `0` `{-1/2}`   `1/2` `[0]` `-1/2`   Assim, `R(x) = -1/2` e `Q(x) = 1/2x + 0 = 1/2x`.