Cardicas ›› Dispositivo Prático de Briot Ruffini

O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é um método de resolução de divisão entre dois polinômios. Criado por Charles Auguste Briot e Paolo Ruffini.

Esse método consiste em efetuar a divisão fazendo cálculos apenas com coeficientes e só serve para divisões de um polinômio de grau acima ou igual a 1 por um binômio da forma $$x-alpha$$.

Para efetuar a divisão de $$P(x)$$ por $$x-alpha$$ devemos organizar os monômios de $$P(x)$$ de modo que as potências da variável $$x$$ fiquem em ordem decrescente.

Por exemplo, $$P(x) = 2x^4-3x^3+x^5+3$$ precisa ser escrito como

$$P(x) = x^5+ 2x^4-3x^3+3$$.

Eventualmente precisaremos expandir o polinômio.

Por exemplo, $$P(x)=(x -3)^2$$ precisa ser escrito na forma expandida como

$$P(x)=x^2-6x+9$$.

Com esses dois cuidados podemos identificar os elementos necessários e obrigatórios para fazer uso do método:

1) todos os coeficientes de $$P(x)$$.

2) o grau de $$P(x)$$.

Importante destacar que o grau de $$P(x)$$ precisa ser maior ou igual a $$1$$.

Numa divisão, quem será dividido é chamado de dividendo e quem divide é denominado por divisor.

Na divisão obtemos o quociente e o resto da divisão do dividendo pelo divisor.

1ª Etapa — organizar os coeficientes de $$P(x)$$ no dispositivo

No método dispomos apenas os coeficiente de $$P(x)$$ numa espécia de tabela, um 'mostruário' ou, simplesmente, em um dispositivo. Nesse dispositivo os coeficientes das potências ocupam uma posição exclusiva para eles, em uma coluna específica.

Por exemplo, para $$P(x)=x^2-6x+9$$ o dispositivo fica assim (TI é o Termo Independente):

  coeficientes de
  `x^2` `x` TI
  `1` `-6` `9`
       

Depois da "maior potência" (aquela que tem o maior expoente) todas as potências de $$x$$ tem uma coluna especialmente designada para ela. Mesmo que no polinômio uma potência não compareça, deveremos indicar uma coluna para ela e completar com o coeficiente $$0$$ na posição apropriada.

Esta informação será útil e a usarei em breve, no primeiro exemplo que está aqui.

O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:

  `1` `-6` `9`
  `1`    

 

 

2ª Etapa — registrar a raiz do divisor de $$P(x)$$ no dispositivo

Vamos exemplificar essa etapa usando $$x+2$$ como um divisor de $$P(x)$$. O valor de $$x$$ que é raiz de $$x+2$$ é o número que o anula, ou seja, que faz com que $$x+2=0$$. Logo, a raiz de $$x+2$$ é $$-2$$.

A raiz é colocada na parte destacada, em primeirissimo lugar:

`-2` `1` `-6` `9`
  `1`    

3ª Etapa — calcular os coeficientes do quociente e o resto da divisão de $$P(x)$$ por $$x+2$$ no dispositivo

O procedimento agora é repetitivo e segue o mesmo princípio até esgotar as posições vagas da segunda linha e que estão abaixo dos coeficientes de $$P(x)$$.

 

Multiplicar o último número desta linha pela raiz do divisor e somar com o coeficiente de $$P(x)$$ que está acima da posicão vaga.

 

Em destaque os números que serão objeto do cálculo descrito acima:

`-2`
`1`
`-6`
`9`
 
`1`
vaga  

 

Na posição vaga devemos colocar $$1 times (-2) + (-6) = -8$$.

`-2` `1` `-6` `9`
  `1` `-8`  

 

Como ainda temos uma posição disponível abaixo do $$9$$, devemos repetir o procedimento, mas com estes números destacados:

`-2`
`1` `-6`
`9`
  `1`
`-8`
vaga

 

Na posição vaga devemos colocar $$(-8) times (-2) + (9) = 25$$.

`-2` `1` `-6` `9`
  `1` `-8` `25`

 

No final do processo, sempre o último número corresponde ao resto, ou seja, $$R(x)=25$$.

No dispositivo, da esquerda para a direita temos os coeficientes do quociente, ou seja, $$Q(x) = 1*x-8=x-8$$.

O quociente $$Q(x)$$ da divisão de $$P(x)$$, com $$\text{Gr}_\text{P} >= 1$$ por $$x-alpha$$ o quociente terá grau imediatamente inferior ao grau de $$P(x)$$.

Assim, $$\text{Gr}_\text{P} = n$$ e $$\text{Gr}_\text{Q} = n-1$$ $$(n in \mathbb{N}-{0})$$.

Além disso, $$R(x)$$ sempre será uma constante, ou seja, $$R(x) = \text{constante}$$.

Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=2*(x^4-1)` por `d(x)=x-1`.
   
 

A primeira tarefa é expandir $$P(x)=2*(x^4-1)$$, assim, $$P(x)=2x^4-2$$. Repare que $$\text{Gr}_\text{P} = 4$$ e isso acarreta que $$\text{Gr}_\text{Q} = 3$$ .

Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:

  coeficientes de
  `x^4` `x^3` `x^2` `x` TI
  `2` `0` `0` `0` `-2`
           

O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:

  `2` `0` `0` `0` `-2`
  `2`        

A raiz de $$d(x)=x-1$$ é $$1$$.

`1` `2` `0` `0` `0` `-2`
  `2`        

 

Parte dos cálculos no dispositivo:

$$[2] times (1) + {0} = 2$$:

`(1)` `2` `{0}` `0` `0` `-2`
  `[2]` `2`      

 

$$[2] times (1) + {0} = 2$$:

`(1)` `2` `0` `{0}` `0` `-2`
  `2` `[2]` `2`    

 

$$[2] times (1) + {0} = 2$$:

`(1)` `2` `0` `0` `{0}` `-2`
  `2` `2` `[2]` `2`  

 

$$[1] times (1) + {-2} = 0$$:

`(1)` `2` `0` `0` `0` `{-2}`
  `2` `2` `2` `[2]` `0`

 

Assim, $$R(x) = 0$$ e $$Q(x) = 2x^3+2x^2+2x+2$$.

 

Exemplo – Obter o quociente `Q(x)` e o resto `R(x)` da divisão de `P(x)=(x^2-1)/2` por `d(x)=x`.
   
 

A primeira tarefa é expandir $$P(x)=(x^2-1)/2$$:

$$P(x)=1/2(x^2-1)=1/2 x^2-1/2$$

Parte das arrumações dos coeficientes no dispositivo:

  coeficientes de
  `x^2` `x` TI
  `1/2` `0` `-1/2`
       

O primeiro coeficiente deve ser copiado na linha inferior, na mesma coluna:

  `1/2` `0` `-1/2`
  `1/2`    

A raiz de $$d(x)=x$$ é $$0$$.

`0` `1/2` `0` `-1/2`
  `1/2`    

 

Parte dos cálculos no dispositivo:

$$[1/2] times (0) + {0} = 0$$:

`(0)` `1/2` `{0}` `-1/2`
  `[1/2]` `0`  

 

$$[0] times (0) + {-1/2} = -1/2$$:

`(0)` `1/2` `0` `{-1/2}`
  `1/2` `[0]` `-1/2`

 

Assim, $$R(x) = -1/2$$ e $$Q(x) = 1/2x + 0 = 1/2x$$.