Cardicas ›› Termo Independente

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Uma função `P: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}` com:

`P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`

é uma função polinomial, ou polinômio. Onde `a_0` é o termo independente de `P(x)`.

 

Apenas vou usar coeficentes reais, ou seja, os `a_n, a_(n-1),a_(n-2), ... , a_2, a_1` e `a_0` são todos reais.

A dica importante que será trabalhada aqui é que em um polinômio `P(x)` o termo independente sempre corresponde ao `P(0)`. Ou seja, basta usar que `x=0` em `P(x)` que teremos o termo independente.

De fato, veja:

`P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`

Fazendo `x=0`:

`P(0) = a_n*0^n + a_(n-1)*0^(n-1) + ... + a_2*0^2 + a_1*0^1 + a_0`

`P(0) = a_n*0 + a_(n-1)*0 + ... + a_2*0 + a_1*0 + a_0`

Todas as parcelas que tem `x` vão se anular!

`P(0) = 0 + 0 + ... + 0 + 0 + a_0`

`P(0) = a_0`

Claro que se temos todas as potências de `P(x)` expandidas fica muito fácil reconhecer o termo independente de `x`, porque ele vai estar, digamos, "sozinho", "sem `x`"...

Polinômio Termo Independente
`P(x) = 3x^2-6x-7` `-7`
`P(x) = 19+2x^5-2x^3` `19`
`P(x) = x^2-x` `0`

Eu sei que dá uma vontade enorme de dizer, em qualquer caso, que o termo independente é simplesmente "o termo que não tem x". Entretanto, repare o perigo dessa frase porque ela não se aplica perfeitamente em toda e qualquer situação. Lembre-se que o polinômio tem que estar expandido, "espalhado" para que possamos ver TODAS as suas parcelas e constatar aquela que não tem `x`.

Alguém poderia se precipitar em dizer que em `P(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3` o termo independente é `3` - MAS NÃO É! Nesse caso é `7` como você verá indicado na próxima tabela.

Além disso nem sempre teremos logo de início o polinômio organizado de modo que todas as suas parcelas sejam visíveis. Por exemplo, `P(x)=(x-1)(x^2+1)^3`. Ou casos que a expansão do polimômio pode ser muito PESADA para ser executada algebricamente: `P(x)=(\frac{27}{234}x-1)^213`

Como calcular `P(0)` SEMPRE fornece o termo independente, podemos fazer uso desse recurso em todos os casos anteriores e nos adicionados a seguir:

Polinômio Termo Independente Termo Independente
`P(x) = 3x^2-6x-7` `P(0) = 3*0^2-6*0-7=-7` `-7`
`P(x) = 19+2x^5-2x^3` `P(0) = 19+20^5-20^3=19+0+0=19` `19`
`P(x) = x^2-x` `P(0) = 0^2-0=0` `0`
`P(x)=(x-1)(x^2+1)^3` `P(0)=(0-1)(0^2+1)^3=(-1)(1)^3=-1` `-1`
`P(x)=2(x-1)(x+2)-4` `P(0)=2(0-1)(0+2)-4=2(-1)(2)-4=4-4=0` `0`
`P(x)=(\frac{27}{234}x-1)^213` `P(0)=(\frac{27}{234}0-1)^213=(-1)^213=-1` `-1`
`P(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3` `P(0) = (0-4)(0+1)(0-1) + 3=(-4)(1)(-1)+3=7` `7`

Uma importância de determinarmos o termo independente é que ele é a ordenada do ponto de cruzamento do gráfico da função polinomial com o eixo das ordenadas (0y). Determinar esse cruzamento é fazer `x=0`.

Assim, o ponto de cruzamento do gráfico de um polinômio com o eixo das ordenadas é `(0, P(0))`.

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Se temos um gráfico de um polinômio `P(x)`, podemos investigar o valor do termo independente pela observação do ponto do gráfico que passa pelo eixo das ordenadas. Repare que `P(0)=3`, logo o termo independente de `P(x)` é `3`.

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