Definição
Uma função `f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}` com:
`f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`
é uma função polinomial de grau `n` exclusivamente para `a_n !=0`.
A dica importante que será trabalhada aqui é que em um polinômio `P(x)` o termo independente sempre corresponde ao `P(0)`. Ou seja, basta usar que `x=0` em `P(x)` que teremos o termo independente.
De fato, veja:
`P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`
Fazendo `x=0`:
`P(0) = a_n*0^n + a_(n-1)*0^(n-1) + ... + a_2*0^2 + a_1*0^1 + a_0`
`P(0) = a_n*0 + a_(n-1)*0 + ... + a_2*0 + a_1*0 + a_0`
Todas as parcelas que tem `x` vão se anular!
`P(0) = 0 + 0 + ... + 0 + 0 + a_0`
`P(0) = a_0`
Claro que se temos todas as potências de `P(x)` expandidas fica muito fácil reconhecer o termo independente de `x`, porque ele vai estar, digamos, "sozinho", "sem `x`"...
| Polinômio | Termo Independente |
| `P(x) = 3x^2-6x-7` | `-7` |
| `P(x) = 19+2x^5-2x^3` | `19` |
| `P(x) = x^2-x` | `0` |
Eu sei que dá uma vontade enorme de dizer, em qualquer caso, que o termo independente é simplesmente "o termo que não tem x". Entretanto, repare o perigo dessa frase porque ela não se aplica perfeitamente em toda e qualquer situação. Lembre-se que o polinômio tem que estar expandido, "espalhado" para que possamos ver TODAS as suas parcelas e constatar aquela que não tem `x`.
Alguém poderia se precipitar em dizer que em `P(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3` o termo independente é `3` - MAS NÃO É! Nesse caso é `7` como você verá indicado na próxima tabela.
Além disso nem sempre teremos logo de início o polinômio organizado de modo que todas as suas parcelas sejam visíveis. Por exemplo, `P(x)=(x-1)(x^2+1)^3`. Ou casos que a expansão do polimômio pode ser muito PESADA para ser executada algebricamente: `P(x)=(\frac{27}{234}x-1)^213`
Como calcular `P(0)` SEMPRE fornece o termo independente, podemos fazer uso desse recurso em todos os casos anteriores e nos adicionados a seguir:
| Polinômio | Termo Independente | Termo Independente |
| `P(x) = 3x^2-6x-7` |
`P(0) = 3*0^2-6*0-7=-7` |
`-7` |
| `P(x) = 19+2x^5-2x^3` |
`P(0) = 19+20^5-20^3=19+0+0=19` |
`19` |
| `P(x) = x^2-x` |
`P(0) = 0^2-0=0` |
`0` |
| `P(x)=(x-1)(x^2+1)^3` |
`P(0)=(0-1)(0^2+1)^3=(-1)(1)^3=-1` |
`-1` |
| `P(x)=2(x-1)(x+2)-4` |
`P(0)=2(0-1)(0+2)-4=2(-1)(2)-4=4-4=0` |
`0` |
| `P(x)=(\frac{27}{234}x-1)^213` |
`P(0)=(\frac{27}{234}0-1)^213=(-1)^213=-1` |
`-1` |
Uma importância de determinarmos o termo independente é que ele é a ordenada do ponto de cruzamento do gráfico da função polinomial com o eixo das ordenadas (0y). Determinar esse cruzamento é fazer `x=0`.
Assim, o ponto de cruzamento do gráfico de um polinômio com o eixo das ordenadas é `(0, P(0))`.
Se temos um gráfico de um polinômio `P(x)`, podemos investigar o valor do termo independente pela observação do ponto do gráfico que passa pelo eixo das ordenadas. Repare que `P(0)=3`, logo o termo independente de `P(x)` é `3`.
