Professor Cardy

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Definição

Uma função $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ com:

$$f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0$$

é uma função polinomial de grau $$n$$ exclusivamente para $$a_n !=0$$.

 

A dica importante que será trabalhada aqui é que em um polinômio $$P(x)$$ o termo independente sempre corresponde ao $$P(0)$$. Ou seja, basta usar que $$x=0$$ em $$P(x)$$ que teremos o termo independente.

De fato, veja:

$$P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0$$

Fazendo $$x=0$$:

$$P(0) = a_n*0^n + a_(n-1)*0^(n-1) + ... + a_2*0^2 + a_1*0^1 + a_0$$

$$P(0) = a_n*0 + a_(n-1)*0 + ... + a_2*0 + a_1*0 + a_0$$

Todas as parcelas que tem $$x$$ vão se anular!

$$P(0) = 0 + 0 + ... + 0 + 0 + a_0$$

$$P(0) = a_0$$

Claro que se temos todas as potências de $$P(x)$$ expandidas fica muito fácil reconhecer o termo independente de $$x$$, porque ele vai estar, digamos, "sozinho", "sem $$x$$"...

Polinômio Termo Independente
`P(x) = 3x^2-6x-7` `-7`
`P(x) = 19+2x^5-2x^3` `19`
`P(x) = x^2-x` `0`

Eu sei que dá uma vontade enorme de dizer, em qualquer caso, que o termo independente é simplesmente "o termo que não tem x". Entretanto, repare o perigo dessa frase porque ela não se aplica perfeitamente em toda e qualquer situação. Lembre-se que o polinômio tem que estar expandido, "espalhado" para que possamos ver TODAS as suas parcelas e constatar aquela que não tem $$x$$.

Alguém poderia se precipitar em dizer que em $$P(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3$$ o termo independente é $$3$$ - MAS NÃO É! Nesse caso é $$7$$ como você verá indicado na próxima tabela.

Além disso nem sempre teremos logo de início o polinômio organizado de modo que todas as suas parcelas sejam visíveis. Por exemplo, $$P(x)=(x-1)(x^2+1)^3$$. Ou casos que a expansão do polimômio pode ser muito PESADA para ser executada algebricamente: $$P(x)=(\frac{27}{234}x-1)^213$$

Como calcular $$P(0)$$ SEMPRE fornece o termo independente, podemos fazer uso desse recurso em todos os casos anteriores e nos adicionados a seguir:

Polinômio Termo Independente Termo Independente
`P(x) = 3x^2-6x-7`

`P(0) = 3*0^2-6*0-7=-7`

`-7`

`P(x) = 19+2x^5-2x^3`

`P(0) = 19+20^5-20^3=19+0+0=19`

`19`

`P(x) = x^2-x`

`P(0) = 0^2-0=0`

`0`

`P(x)=(x-1)(x^2+1)^3`

`P(0)=(0-1)(0^2+1)^3=(-1)(1)^3=-1`

`-1`

`P(x)=2(x-1)(x+2)-4`

`P(0)=2(0-1)(0+2)-4=2(-1)(2)-4=4-4=0`

`0`

`P(x)=(\frac{27}{234}x-1)^213`

`P(0)=(\frac{27}{234}0-1)^213=(-1)^213=-1`

`-1`



Uma importância de determinarmos o termo independente é que ele é a ordenada do ponto de cruzamento do gráfico da função polinomial com o eixo das ordenadas (0y). Determinar esse cruzamento é fazer $$x=0$$.

Assim, o ponto de cruzamento do gráfico de um polinômio com o eixo das ordenadas é $$(0, P(0))$$.

desc

Se temos um gráfico de um polinômio $$P(x)$$, podemos investigar o valor do termo independente pela observação do ponto do gráfico que passa pelo eixo das ordenadas. Repare que $$P(0)=3$$, logo o termo independente de $$P(x)$$ é $$3$$.

desc