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Cardicas > Mínimo Múltiplo Comum

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a todos estes números.

Denotamos o mínimo multiplo comum dos números {a, b, c, ...} por mmc(a, b, c, ...).

Em um procedimento mais rústico, para se obter o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais, fazemos uma listagem de seus primeiros múltiplos até encontrar o menor comum.

Exemplo — Obter mmc(10, 12, 15).
   
 

10: {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, ... }
12: {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, .... }
15: {15, 30, 45, 60, 75, 90, ...}

Portanto, mmc(10, 12, 15) = 60.

 

 

Cardica

Cuidado: Apenas números naturais têm m.m.c.


Outro modo de se determinar o mmc entre dois ou mais números naturais é fatorar cada um deles.

Basta multiplicar todos os fatores comuns, sendo que a quantidade de vezes que cada fator vai comparecer é a mesma que o maior comparecimento em pelo menos uma ocasião dos números fatorados.

Exemplo — Obter mmc(24, 36).
   
 

24 = 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3

Veja quais são os fatores envolvidos: do 'tipo' {2} e do 'tipo' {3}.

Quantas vezes cada 'tipo' de fator compareceu no 24 e no 36:

  {2} {3}
24 3 vezes 1 vez
36 2 vezes 2 vezes

 

O mmc(24,36) será o produto de todos os fatores envolvidos, na maior quantidade envolvida (em pelo menos uma das fatorações). Ou seja:

{2} {3}
3 vezes  
  2 vezes

 

Portanto, mmc(24, 36) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72

 

Exemplo — Obter mmc(30, 56, 70).
   
 

30 = 2 · 3 · 5
56 = 2 · 2 · 2 · 7

70 = 2 · 5 · 7

Veja quais são os fatores envolvidos: do 'tipo' {2}, do 'tipo' {3}, do 'tipo' {5} e do 'tipo' {7}.

Quantas vezes cada 'tipo' de fator compareceu no 24 e no 36:

  {2} {3} {5} {7}
30 1 vez 1 vez 1 vez 0 vezes
56 3 vezes 0 vezes 0 vezes 1 vez
70 1 vez 0 vezes 1 vez 1 vez

 

O mmc(30, 56, 70) será o produto de todos os fatores envolvidos, na maior quantidade envolvida (em pelo menos uma das fatorações). Ou seja:

  {2} {3} {5} {7}
30   1 vez 1 vez  
56 3 vezes     1 vez
70     1 vez 1 vez

 

Portanto, mmc(30, 56, 70) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 840

 

Eventualmente, o mdc (máximo divisor comum) é mais fácil de ser obtido que o mmc (mínimo múltiplo comum) e podemos usar esta relação válida entre mdc e mmc de números naturais:

`\text{mmc}(x, y, z, ...) = \frac{x*y*z* ...}{\text{mdc}(x,y, z, ...)}`

 

Exemplo — Obter mmc(24, 36).
   
 

24 = 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3

Temos que mdc(24, 36) = 12 (ver m.d.c.)

Assim,

mmc(24, 36) = 24 · 36 : mdc(24, 36)

mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12

mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12 = 72

 

Exemplo — Obter mmc(1024, 7).
   
 

Temos que mdc(1024, 7) = 1 (ver m.d.c.) pois são primos entre si.

Vai ficar bem mais rápido usar:

`\text{mmc}(x, y, z, ...) = \frac{x*y*z* ...}{\text{mdc}(x,y, z, ...)}`

Assim,

`\text{mmc}(1024, 7) = \frac{1024*7}{\text{mdc}(1024, 7)} = \frac{1024*7}{1} = 1024*7 = 7168`

 


Cardica

Quando dois ou mais números naturais são primos entre si (isso significa que o mdc entre eles é 1), o mmc entre eles será o resultado da multiplicação simples entre eles.

Exemplos:

mmc(6, 35) = 6 · 35 = 210.

mmc(14, 45) = 14 ·45 = 630.

mmc(8, 27, 25) = 8 · 27 · 25 = 5400.

Calculadora

Para Fatorar um número natural, digite ele aqui:

A fatoração é esta:


Aritmética

Máximo Divisor Comum

Mínimo Múltiplo Comum

Número Primo

Os 1000 primeiros números Primos

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