A Condição de Existência
$$log_B (A)= x$$
É obrigatório que $${(A>0), (B>0),(B !=1) :}$$.
Para que $$log_B (A)$$ corresponda a um único número real $$x$$, todos os logaritmandos precisam ser positivos, além da base também ser positiva e diferente de $$1$$.
Tal obrigatoriedade se motiva do fato que desejamos que cada $$log_B (A)$$ exista e esteja associado a um único $$x$$. Para que isso ocorra, por exemplo:
A base não pode valer $$1$$. Caso contrário teríamos problemas do tipo:
$$log_1 (5)= x <=> 1^x=5$$ e nenhum valor de $$x$$ satisfaria tal equação.
$$log_1 (1)= x <=> 1^x=1$$ e infinitos valores de $$x$$ satisfariam tal equação.
Se a base ou o logaritmando fossem negativos.
$$log_2 (-4)= x <=> 2^x=-4$$ e nenhum valor de $$x$$ satisfaria tal equação.
$$log_{-2} (4)= x <=> (-2)^x=4$$ temos aqui problema com (-2)^x posto que ele não seria número real, por exemplo, para $$x= 1/2$$ que nos levaria a $$(-2)^x=(-2)^{1/2}=\sqrt{-2}$$ que não é um número real e sim imaginário.
Exemplo 1
Resolução
Em $$log_x (2-x)$$, temos o valor $$2- x$$ como logaritmando. Então:
(I) $$2- x >0 <=> -x > -2 <=> x < 2$$
Em $$log_x (2-x)$$, temos o valor $$x$$ como base. Então:
(II) $$x >0$$
(III) $$x != 1$$
Da intersecção dos intervalos (I), (II) e (III), vem que $$0 < x < 2 \text{ e } x != 1$$.
Resposta: $$0 < x < 2 \text{ e } x != 1$$.
Exemplo 2
Determine o domíno da função $$f$$ cuja lei é $$f(x) = log_x (2-x)$$.
Resolução
Em $$f(x) = log_x (2-x)$$, temos o valor $$2- x$$ como logaritmando. Então:
(I) $$2- x >0 <=> -x > -2 <=> x < 2$$
Em $$log_x (2-x)$$, temos o valor $$x$$ como base. Então:
(II) $$x >0$$
(III) $$x != 1$$
Assim o encaminhamento da resolução é parecido com a do exemplo anterior. O que será diferente vai ser a formulação do conjunto domínio:
$$D_f = { x \in \mathbb{R} \text{ | } 0 < x < 2 \text{ e } x != 1}$$
Resposta: $$D_f = { x \in \mathbb{R} \text{ | } 0 < x < 2 \text{ e } x != 1}$$
OBS> O gráfico de $$f(x) = log_x (2-x)$$, com $$D_f = { x \in \mathbb{R} \text{ | } 0 < x < 2 \text{ e } x != 1}$$ é como segue:
