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A Condição de Existência

`log_B (A)= x`

É obrigatório que `{(A>0), (B>0),(B !=1) :}`.

Para que `log_B (A)` corresponda a um único número real `x`, todos os logaritmandos precisam ser positivos, além da base também ser positiva e diferente de `1`.

Tal obrigatoriedade se motiva do fato que desejamos que cada `log_B (A)` exista e esteja associado a um único `x`. Para que isso ocorra, por exemplo:

A base não pode valer `1`. Caso contrário teríamos problemas do tipo:

`log_1 (5)= x <=> 1^x=5` e nenhum valor de `x` satisfaria tal equação.

`log_1 (1)= x <=> 1^x=1` e infinitos valores de `x` satisfariam tal equação.

Se a base ou o logaritmando fossem negativos.

`log_2 (-4)= x <=> 2^x=-4` e nenhum valor de `x` satisfaria tal equação.

`log_{-2} (4)= x <=> (-2)^x=4` temos aqui problema com (-2)^x posto que ele não seria número real, por exemplo, para `x= 1/2` que nos levaria a `(-2)^x=(-2)^{1/2}=\sqrt{-2}` que não é um número real e sim imaginário.

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Exemplo 1

Determine os valores de `x` para a condição de existência de `log_x (2-x)`.

Resolução

Em `log_x (2-x)`, temos o valor `2- x` como logaritmando. Então:

(I) `2- x >0 <=> -x > -2 <=> x < 2`

Em `log_x (2-x)`, temos o valor `x` como base. Então:

(II) `x >0`

(III) `x != 1`

Da intersecção dos intervalos (I), (II) e (III), vem que `0 < x < 2 \text{ e } x != 1`.

 

Resposta: `0 < x < 2 \text{ e } x != 1`.

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Exemplo 2


Determine o domíno da função `f` cuja lei é `f(x) = log_x (2-x)`.


Resolução

Em `f(x) = log_x (2-x)`, temos o valor `2- x` como logaritmando. Então:

(I) `2- x >0 <=> -x > -2 <=> x < 2`

Em `log_x (2-x)`, temos o valor `x` como base. Então:

(II) `x >0`

(III) `x != 1`

Assim o encaminhamento da resolução é parecido com a do exemplo anterior. O que será diferente vai ser a formulação do conjunto domínio:

`D_f = { x \in \RR \text{ | } 0 < x < 2 \text{ e } x != 1}`

 

Resposta: `D_f = { x \in \RR \text{ | } 0 < x < 2 \text{ e } x != 1}`

OBS> O gráfico de `f(x) = log_x (2-x)`, com `D_f = { x \in \RR \text{ | } 0 < x < 2 \text{ e } x != 1}` é como segue:

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