Cardicas > Condição de Existência de Logaritmo
Para que exista um único número real associado à função logaritmo logb x é obrigatório que b > 0 e b ≠ 1, ou seja, b positivo e b diferente de 1. Além disso também temos que apenas utilizar x > 0.
y = logb x ⇔ by = x
Se assim não fosse, por exemplo, ficaríamos em apuros ao tentar indentificar como um número real:
- y = log1 5 ⇔ 1y = 5. Não existe y para que a equação seja satisfeita pois 1y = 1 para qualquer y real.
- y = log1 1 ⇔ 1y = 1. Não existe um único y para que a equação seja satisfeita pois qualquer y real torna 1y = 1 uma sentença verdadeira.
- y = log2 [-5] ⇔ 2y = -5. Não existe y para que a equação seja satisfeita pois 2y > 0 para qualquer y real.
Entre outras combinações de obstáculos, as listadas acima já justificam alguns motivos da condição de existência ser assim estabelecida.
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Exemplo - Determine a condição de existência de logx [2 – x]. |
| solucão | |
Obrigatoriamente e simultaneamente devemos ter: I) Do logaritmando: 2 – x > 0 ⇔– x > –2 ⇔ x < 2. II) Da base: x > 0. III) Da base: x ≠ 1.
Da intersecção dos intervalos (I), (II) e (III), vem que 0 < x < 2 e x ≠ 1. Portanto, para que logx [2 – x] seja um número real é necessário e suficiente que 0 < x < 2 e x ≠ 1 |
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Exemplo - Determine o domínio da função cuja lei é f(x) = logx [2 – x]. |
| solucão | |
As condições são idêndicas às encartadas do exemplo anterior. I) Do logaritmando: 2 – x > 0 ⇔– x > –2 ⇔ x < 2. II) Da base: x > 0. III) Da base: x ≠ 1. A diferença é apenas na forma de terminar o registro da intersecção dos intervalos (I), (II) e (III), onde vem que 0 < x < 2 e x ≠ 1. Como se pede o domínio da função f, Df, concluímos (pelo menos 3 formas de representação): Df = { x ∈ IR | 0 < x < 2 e x ≠ 1 } Df = ]0, 2[ – {1} Df = ]0, 1[ ⋃ ]1, 2[ Curiosidade. O gráfico de f(x) = logx [2 – x], gerado eletronicamente, é:
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