Professor Cardy

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FELIZ SOMA DOS CUBOS DOS NATURAIS DE 2 A 9:

23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 = 2024

A Condição de Existência

$$log_B (A)= x$$

É obrigatório que $${(A>0), (B>0),(B !=1) :}$$.

Para que $$log_B (A)$$ corresponda a um único número real $$x$$, todos os logaritmandos precisam ser positivos, além da base também ser positiva e diferente de $$1$$.

Tal obrigatoriedade se motiva do fato que desejamos que cada $$log_B (A)$$ exista e esteja associado a um único $$x$$. Para que isso ocorra, por exemplo:

A base não pode valer $$1$$. Caso contrário teríamos problemas do tipo:

$$log_1 (5)= x <=> 1^x=5$$ e nenhum valor de $$x$$ satisfaria tal equação.

$$log_1 (1)= x <=> 1^x=1$$ e infinitos valores de $$x$$ satisfariam tal equação.

Se a base ou o logaritmando fossem negativos.

$$log_2 (-4)= x <=> 2^x=-4$$ e nenhum valor de $$x$$ satisfaria tal equação.

$$log_{-2} (4)= x <=> (-2)^x=4$$ temos aqui problema com (-2)^x posto que ele não seria número real, por exemplo, para $$x= 1/2$$ que nos levaria a $$(-2)^x=(-2)^{1/2}=\sqrt{-2}$$ que não é um número real e sim imaginário.

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Exemplo 1

Determine os valores de `x` para a condição de existência de `log_x (2-x)`.

Resolução

Em $$log_x (2-x)$$, temos o valor $$2- x$$ como logaritmando. Então:

(I) $$2- x >0 <=> -x > -2 <=> x < 2$$

Em $$log_x (2-x)$$, temos o valor $$x$$ como base. Então:

(II) $$x >0$$

(III) $$x != 1$$

Da intersecção dos intervalos (I), (II) e (III), vem que $$0 < x < 2 \text{ e } x != 1$$.

 

Resposta: $$0 < x < 2 \text{ e } x != 1$$.

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Exemplo 2


Determine o domíno da função $$f$$ cuja lei é $$f(x) = log_x (2-x)$$.


Resolução

Em $$f(x) = log_x (2-x)$$, temos o valor $$2- x$$ como logaritmando. Então:

(I) $$2- x >0 <=> -x > -2 <=> x < 2$$

Em $$log_x (2-x)$$, temos o valor $$x$$ como base. Então:

(II) $$x >0$$

(III) $$x != 1$$

Assim o encaminhamento da resolução é parecido com a do exemplo anterior. O que será diferente vai ser a formulação do conjunto domínio:

$$D_f = { x \in \mathbb{R} \text{ | } 0 < x < 2 \text{ e } x != 1}$$

 

Resposta: $$D_f = { x \in \mathbb{R} \text{ | } 0 < x < 2 \text{ e } x != 1}$$

OBS> O gráfico de $$f(x) = log_x (2-x)$$, com $$D_f = { x \in \mathbb{R} \text{ | } 0 < x < 2 \text{ e } x != 1}$$ é como segue: