Professor Cardy

web
statistics

Note na seguinte ilustração de uma elipse genérica - e considerando o que já foi ponderado nos tópicos do tema - que o triângulo $$BF_1 C$$ é retângulo em $$C$$. Além disso, como $$B$$ pertence à elipse tem-se $$BF_1 + BF_2= 2a$$.

Não é difícil perceber que os triângulos $$BF_1 C$$ e $$BF_2 C$$ são congruentes o que implica que $$BF_1 = BF_2$$. Com isso e aliado ao fato de $$BF_1 + BF_2= 2a$$ chega-se a conclusão que $$BF_1 = BF_2 = a$$ que é a medida da hipotenusa do triângulo colorido (veja também que $$a > b$$ e $$a > c$$ pois se a hipotenusa tem medida $$a$$, ela é maior que a medida dos outros catetos).


Dados dois pontos $$B$$ e $$B'$$ de uma elipse que sejam extremidades do segmento de reta $$B B'$$ que é perpendicular ao seu Eixo Maior e passe pelo seu ponto médio, então $$B B'$$ será denominado Eixo Menor da Elipse.

Vamos designar o ponto médio de $$A A'$$ por $$C$$ e que também será denomindado Centro da Elipse.

Você já deve ter reparado que definimos a elipse usando a equação

$$PF_1 + PF_2$$$$= constante = 2a$$ ($$a> 0$$),

com P um ponto genérico da elipse. Pois bem, o que talvez você possa ter reparado é qual seria o motivo de termos atribuido à constante 2a. Por que o "2"?

É por uma conveniência algébrica de repartição. Toda elipse tem propriedade de simetria tanto pelo Eixo Maior bem como pelo Eixo Menor. Assim, usando $$2a$$, podemos repartir o Eixo Maior pelas metades "a" e "a" usando o centro C.

Iremos também atribuir ao Eixo Menor a medida $$2b$$ ($$b> 0$$), para que possamos fazer uma repartição similar pelo centro $$C$$. Repare:

Relação Fundamental da Elipse

No triângulo retângulo $$BF_1C$$ pelo Teorema de Pitágoras, temos:

$$a^2 = b^2 + c^2$$


Com $$a > b > 0$$ e $$a > c > 0$$

  • `F_1` e `F_2` — focos.
  • `F_1F_2` `= 2c` — distância focal (`c> 0`).
  • C — centro.
  • `A`, `A'`, `B` e `B'` — vértices.
  • `\bar{A A'}` — eixo maior.
  • `A A'` `= 2``a` — medida do eixo maior (`a``> 0`).
  • `BB'` — eixo menor.
  • `\bar{BB'}` `= 2``b` — medida do eixo menor (`b``> 0`).