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Introdução

Técnica para inverter funções da forma `f(x) = ax^2 + bx + c`.

Primeiramente para uma função `f` admitir a função `f^(-1)` como sua função inversa é necessário que a função `f: A rarr B` seja bijetora. Se for bijetora (injetora + sobrejetora), admite a inversa `f^(-1):B rarr A`; de tal modo que se `f(x) = y`, então `f^(-1)(y) = x`.

Se pela `f` o `x` corresponde ao `y`;

então, pela `f^(-1)`, o `y` corresponderá ao `x` .

`f(x) = a x^2 + b x + c`


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Exemplo 1


Exemplo - Supondo que a função `f(x) = 3x + 1` admita uma função inversa `f^-1`. Calcule `f^-1 (4)`.


Resolução


Não temos a lei de `f^-1`, mas temos a lei de `f`.

Como precisamos descobrir que valor corresponde a `f^-1 (4)` (que vou chamar de `y`), ou seja, `f^-1 (4) = y`; precisaremos determinar qual valor de `x` faz com que `f(x) = 4`.

`f(x) = 3x + 1 = 4`

`3x + 1 = 4`

`3x = 4 - 1`

`3x = 3`

`x = 1`

Assim, como `f(1) = 4`, temos que `f^-1 (4) = 1`.




Para uma dada função quadrática que seja bijetora (injetora + sobrejetora), a técnica a seguir requer que a lei da funcão quadrática esteja escrita na forma geral `f(x) = ax^2 + bx + c`.

 

Etapas:

1. Em `f(x) = ax^2 + bx + c` trocamos `f(x)` por `y` e deixamos a equação com o 0 em um dos membros:

`f(x) = ax^2 + bx + c `

`y = ax^2 + bx + c `

`0 = ax^2 + bx + c - y`

Assim, temos `ax^2 + bx + c - y = 0`.

 

2. Em `ax^2 + bx + c - y = 0` isolamos `x` de `y` usando a Fórmula de Bháskara:

`ax^2 + bx + c - y = 0`

`\Delta = b^2 - 4a(c-y)`

`x_(1,2) = \frac{-b +- \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b +- \sqrt{b^2 - 4a(c-y)}}{2a}`

 

3. De acordo com o domínio da função `f` escolhemos o `x_1` ou `x_2` que seja conveniente e trocamos o respectivo `x_1` ou `x_2` por `f^(-1)(x)` e `y` por `x`:

Se for `x_1` o conveniente:

`x_1 = \frac{-b +- \sqrt{b^2 - 4a(c-y)}}{2a}`

`f^(-1)(x) = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4a(c-x)}}{2a}`

Se for `x_2` o conveniente:

`x_2 = \frac{-b +- \sqrt{b^2 - 4a(c-y)}}{2a}`

`f^(-1)(x) = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4a(c-x)}}{2a}`

 

*obs - Tanto faz se você vai usar `x_1` ou `x_2` com o sinal de `+` ou de `-` presente no meio da fórmula de Bháskara. Aqui neste texto, vou usar que `x_1` vai com o `+` e `x_2` vai com o `-`.



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Exemplo 2


Exemplo - Dada a função f: [3, +∞[ → IR+ , com f(x) = x2 – 6x + 9. Obtenha a lei da sua função inversa `f^-1`.


Resolução


`f(x) = x^2 -6x + 9 `

`y = x^2 -6x + 9`

`0 = x^2 -6x + 9 - y`

Assim, temos `x^2 -6x + 9 - y = 0`.

`\Delta = b^2 - 4a(c-y) = (-6)^2 - 4*1*(9-y) = 36 -36+4y=4y`

`x_(1,2) = \frac{-b +- \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) +- \sqrt{4y}}{2*1}`

`x_(1,2) = \frac{6 +- \sqrt{4y}}{2} = \frac{6}{2} +-2\frac{\sqrt{y}}{2} = 3 +-\sqrt{y}`

`x_(1,2) = 3 +-\sqrt{y}`

Como o domínio da função é [3, +∞[ então o valor do x pertence a um intervalo onde os valores de x são maiores ou iguais a 3. Portanto o conveniente é o x1.

`x_1 = 3 +\sqrt{y}`

Logo,

`f^(-1)(x) = 3 +\sqrt{x}`

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