Professor Cardy

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Introdução

Técnica para inverter funções da forma $$f(x) = ax^2 + bx + c$$.

Primeiramente para uma função $$f$$ admitir a função $$f^(-1)$$ como sua função inversa é necessário que a função $$f: A rarr B$$ seja bijetora. Se for bijetora (injetora + sobrejetora), admite a inversa $$f^(-1):B rarr A$$; de tal modo que se $$f(x) = y$$, então $$f^(-1)(y) = x$$.

Se pela $$f$$ o $$x$$ corresponde ao $$y$$;

então, pela $$f^(-1)$$, o $$y$$ corresponderá ao $$x$$ .

$$f(x) = a x^2 + b x + c$$


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Exemplo 1


Exemplo - Supondo que a função $$f(x) = 3x + 1$$ admita uma função inversa $$f^-1$$. Calcule $$f^-1 (4)$$.


Resolução


Não temos a lei de $$f^-1$$, mas temos a lei de $$f$$.

Como precisamos descobrir que valor corresponde a $$f^-1 (4)$$ (que vou chamar de $$y$$), ou seja, $$f^-1 (4) = y$$; precisaremos determinar qual valor de $$x$$ faz com que $$f(x) = 4$$.

$$f(x) = 3x + 1 = 4$$

$$3x + 1 = 4$$

$$3x = 4 - 1$$

$$3x = 3$$

$$x = 1$$

Assim, como $$f(1) = 4$$, temos que $$f^-1 (4) = 1$$.




Para uma dada função quadrática que seja bijetora (injetora + sobrejetora), a técnica a seguir requer que a lei da funcão quadrática esteja escrita na forma geral $$f(x) = ax^2 + bx + c$$.

 

Etapas:

1. Em $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ trocamos $$f(x)$$ por $$y$$ e deixamos a equação com o 0 em um dos membros:

$$f(x) = ax^2 + bx + c $$

$$y = ax^2 + bx + c $$

$$0 = ax^2 + bx + c - y$$

Assim, temos $$ax^2 + bx + c - y = 0$$.

 

2. Em $$ax^2 + bx + c - y = 0$$ isolamos $$x$$ de $$y$$ usando a Fórmula de Bháskara:

$$ax^2 + bx + c - y = 0$$

$$\Delta = b^2 - 4a(c-y)$$

$$x_(1,2) = \frac{-b +- \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b +- \sqrt{b^2 - 4a(c-y)}}{2a}$$

 

3. De acordo com o domínio da função $$f$$ escolhemos o $$x_1$$ ou $$x_2$$ que seja conveniente e trocamos o respectivo $$x_1$$ ou $$x_2$$ por $$f^(-1)(x)$$ e $$y$$ por $$x$$:

Se for $$x_1$$ o conveniente:

$$x_1 = \frac{-b +- \sqrt{b^2 - 4a(c-y)}}{2a}$$

$$f^(-1)(x) = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4a(c-x)}}{2a}$$

Se for $$x_2$$ o conveniente:

$$x_2 = \frac{-b +- \sqrt{b^2 - 4a(c-y)}}{2a}$$

$$f^(-1)(x) = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4a(c-x)}}{2a}$$

 

*obs - Tanto faz se você vai usar $$x_1$$ ou $$x_2$$ com o sinal de $$+$$ ou de $$-$$ presente no meio da fórmula de Bháskara. Aqui neste texto, vou usar que $$x_1$$ vai com o $$+$$ e $$x_2$$ vai com o $$-$$.



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Exemplo 2


Exemplo - Dada a função f: [3, +∞[ → IR+ , com f(x) = x2 – 6x + 9. Obtenha a lei da sua função inversa $$f^-1$$.


Resolução


$$f(x) = x^2 -6x + 9 $$

$$y = x^2 -6x + 9$$

$$0 = x^2 -6x + 9 - y$$

Assim, temos $$x^2 -6x + 9 - y = 0$$.

$$\Delta = b^2 - 4a(c-y) = (-6)^2 - 4*1*(9-y) = 36 -36+4y=4y$$

$$x_(1,2) = \frac{-b +- \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) +- \sqrt{4y}}{2*1}$$

$$x_(1,2) = \frac{6 +- \sqrt{4y}}{2} = \frac{6}{2} +-2\frac{\sqrt{y}}{2} = 3 +-\sqrt{y}$$

$$x_(1,2) = 3 +-\sqrt{y}$$

Como o domínio da função é [3, +∞[ então o valor do x pertence a um intervalo onde os valores de x são maiores ou iguais a 3. Portanto o conveniente é o x1.

$$x_1 = 3 +\sqrt{y}$$

Logo,

$$f^(-1)(x) = 3 +\sqrt{x}$$