Introdução
Técnica para inverter funções da forma `f(x) = ax^2 + bx + c`.
Primeiramente para uma função `f` admitir a função `f^(-1)` como sua função inversa é necessário que a função `f: A rarr B` seja bijetora. Se for bijetora (injetora + sobrejetora), admite a inversa `f^(-1):B rarr A`; de tal modo que se `f(x) = y`, então `f^(-1)(y) = x`.
Se pela `f` o `x` corresponde ao `y`;
então, pela `f^(-1)`, o `y` corresponderá ao `x` .
`f(x) = a x^2 + b x + c`
Exemplo 1
Exemplo - Supondo que a função `f(x) = 3x + 1` admita uma função inversa `f^-1`. Calcule `f^-1 (4)`.
Resolução
Não temos a lei de `f^-1`, mas temos a lei de `f`.
Como precisamos descobrir que valor corresponde a `f^-1 (4)` (que vou chamar de `y`), ou seja, `f^-1 (4) = y`; precisaremos determinar qual valor de `x` faz com que `f(x) = 4`.
`f(x) = 3x + 1 = 4`
`3x + 1 = 4`
`3x = 4 - 1`
`3x = 3`
`x = 1`
Assim, como `f(1) = 4`, temos que `f^-1 (4) = 1`.
Para uma dada função quadrática que seja bijetora (injetora + sobrejetora), a técnica a seguir requer que a lei da funcão quadrática esteja escrita na forma geral `f(x) = ax^2 + bx + c`.
Etapas:
1. Em `f(x) = ax^2 + bx + c` trocamos `f(x)` por `y` e deixamos a equação com o 0 em um dos membros:
`f(x) = ax^2 + bx + c `
`y = ax^2 + bx + c `
`0 = ax^2 + bx + c - y`
Assim, temos `ax^2 + bx + c - y = 0`.
2. Em `ax^2 + bx + c - y = 0` isolamos `x` de `y` usando a Fórmula de Bháskara:
`ax^2 + bx + c - y = 0`
`\Delta = b^2 - 4a(c-y)`
`x_(1,2) = \frac{-b +- \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b +- \sqrt{b^2 - 4a(c-y)}}{2a}`
3. De acordo com o domínio da função `f` escolhemos o `x_1` ou `x_2` que seja conveniente e trocamos o respectivo `x_1` ou `x_2` por `f^(-1)(x)` e `y` por `x`:
Se for `x_1` o conveniente: `x_1 = \frac{-b +- \sqrt{b^2 - 4a(c-y)}}{2a}` `f^(-1)(x) = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4a(c-x)}}{2a}` |
Se for `x_2` o conveniente: `x_2 = \frac{-b +- \sqrt{b^2 - 4a(c-y)}}{2a}` `f^(-1)(x) = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4a(c-x)}}{2a}` |
*obs - Tanto faz se você vai usar `x_1` ou `x_2` com o sinal de `+` ou de `-` presente no meio da fórmula de Bháskara. Aqui neste texto, vou usar que `x_1` vai com o `+` e `x_2` vai com o `-`.
Exemplo 2
Exemplo - Dada a função f: [3, +∞[ → IR+ , com f(x) = x2 – 6x + 9. Obtenha a lei da sua função inversa `f^-1`.
Resolução
`f(x) = x^2 -6x + 9 `
`y = x^2 -6x + 9`
`0 = x^2 -6x + 9 - y`
Assim, temos `x^2 -6x + 9 - y = 0`.
`\Delta = b^2 - 4a(c-y) = (-6)^2 - 4*1*(9-y) = 36 -36+4y=4y`
`x_(1,2) = \frac{-b +- \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) +- \sqrt{4y}}{2*1}`
`x_(1,2) = \frac{6 +- \sqrt{4y}}{2} = \frac{6}{2} +-2\frac{\sqrt{y}}{2} = 3 +-\sqrt{y}`
`x_(1,2) = 3 +-\sqrt{y}`
Como o domínio da função é [3, +∞[ então o valor do x pertence a um intervalo onde os valores de x são maiores ou iguais a 3. Portanto o conveniente é o x1.
`x_1 = 3 +\sqrt{y}`
Logo,
`f^(-1)(x) = 3 +\sqrt{x}`