Professor Cardy

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No vídeo acima, os produtores usaram as órbitas como circunferências quando, na verdade, as órbitas dos planetas formam elipses - onde um dos focos está na posição do Sol. Esta é a Primeira Lei de Kepler:

"O planeta em órbita em torno do Sol descreve uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos."

Esta lei definiu que as órbitas não eram circunferências, como se supunha até então, mas sim elipses.

Entendo que a ideia principal do vídeo, no entanto, era apenas dar a noção das distâncias e tamanhos dos corpos - papel que foi muito bem cumprido pelos produtores. Nesse aspecto estão de parabéns.



A elipse tem dois focos e o segmento de reta que passa por eles chama-se eixo maior de medida $$2a$$ . O segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor de medida $$2b$$.

As principais medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respectivamente, de semi-eixo maior (de medida $$a$$) e semi-eixo menor (de medida $$b$$).

Eixo maior

Como, por definição, um ponto genérico $$P$$ de uma elipse deve respeitar a equação $$PF_1 + PF_2$$= constante = $$2a$$ ($$a > 0$$); então tomemos dois pontos da Elipse $$A$$ e $$A'$$ que sejam colineares (pertençam a uma mesma reta) aos focos $$F_1$$ e $$F_2$$, conforme ilustrado:

Uma vez que $$A$$ pertente à elipse, então:

(1) $$AF_1 + AF_2 = 2a$$

Uma vez que A' pertente à elipse, então:

(2) $$A'F_1 + A'F_2 = 2a$$

Portanto (1) + (2) temos:

(3) $$AF_1$$ + $$AF_2$$ + $$A'F_1$$ + $$A'F_2$$ $$= 2a + 2a = 4a$$

Repare que obrigatoriamente $$AF_1$$ + $$A'F_1$$ = $$AF_2$$ + $$A'F_2$$ = $$A A'$$. Com esta informação, podemos reescrever a equação (3) como segue:

(3) $$AF_1$$ $$+$$ $$AF_2$$ $$+$$ $$A'F_1$$ $$+$$ $$A'F_2$$ $$= 2a + 2a = 4a$$

(4) $$A A'$$ $$+$$ $$A A'$$ $$=$$ $$2A A'$$ $$= 4a$$

Portanto, $$A A' = 2a$$.

 

O segmento de reta $$A A'$$ será denominado Eixo Maior da Elipse.

Propriedades do Eixo Maior de uma Elipse:

  1. Sua medida é `2a` (`a> 0`).
  2. Contém os dois focos.


Eixo menor

Dados dois pontos $$B$$ e $$B'$$ de uma elipse que sejam extremidades do segmento de reta $$B B'$$ que é perpendicular ao seu Eixo Maior e passe pelo seu ponto médio, então $$B B'$$ será denominado Eixo Menor da Elipse.

Vamos designar o ponto médio de $$A A'$$ por $$C$$ e que também será denomindado Centro da Elipse.

Você já deve ter reparado que definimos a elipse usando a equação

$$PF_1 + PF_2$$$$= constante = 2a$$ ($$a> 0$$),

com P um ponto genérico da elipse. Pois bem, o que talvez você possa ter reparado é qual seria o motivo de termos atribuido à constante 2a. Por que o "2"?

É por uma conveniência algébrica de repartição. Toda elipse tem propriedade de simetria tanto pelo Eixo Maior bem como pelo Eixo Menor. Assim, usando $$2a$$, podemos repartir o Eixo Maior pelas metades "a" e "a" usando o centro C.

Iremos também atribuir ao Eixo Menor a medida $$2b$$ ($$b> 0$$), para que possamos fazer uma repartição similar pelo centro $$C$$. Repare:

Cuidado

Nem o Eixo Maior, nem o Eixo Menor da Elipse são retas ou são semi-retas. É um segmento de reta e, por isso, tem começo e tem fim (ou seja, podemos medir tais eixos - tais medidas são, respectivamente $$2a$$ e $$2b$$.

Propriedades do Eixo Menor de uma Elipse:

  1. Sua medida é `2b` (`b> 0`).
  2. Está contido na mediatriz do Eixo Maior.

O uso do termo "maior" e "menor" nos impele a caracterizar que a medida $$a$$ é maior que a medida $$b$$, ou seja $$a > b$$. Como tanto $$a$$ como $$b$$ são positivos, é comum usar a relação

$$a> b > 0$$

($$a$$ é maior que $$b$$ que, por sua vez, é maior do que zero)

 

Não é errado que a medida $$a$$ seja igual a $$b$$, $$a$$ $$=$$ $$b$$. Você verá mais tarde que neste caso a elipse se degenera numa circunferência. Não vejo problemas em considerar que sejam iguais estas medidas.

 

Ainda pela simetria da elipse, onde $$C$$ é o centro da elipse, os focos também devem preservar a mesma distância até o centro $$C$$.

Vamos atribuir que essa distância considerada seja $$c$$ ($$c> 0$$) para que a distância focal $$F_1F_2$$ seja igual a $$2$$$$c$$, ou seja $$F_1F_2$$ $$= 2$$$$c$$.

Em síntese:

  • `F_1` e `F_2` — focos.
  • `F_1F_2` `= 2c` — distância focal (`c> 0`).
  • C — centro.
  • `A`, `A'`, `B` e `B'` — vértices.
  • `\bar{A A'}` — eixo maior.
  • `A A'` `= 2``a` — medida do eixo maior (`a``> 0`).
  • `BB'` — eixo menor.
  • `\bar{BB'}` `= 2``b` — medida do eixo menor (`b``> 0`).