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Eu disponibilizo várias calculadoras no meu site. Uma delas, que faz grande sucesso, é de Porcentagem. Noto que muitas pessoas tem dificuldades no tema e elaborei um formato bem didático para você inserir os dados, na forma de questios. Confira!

No vídeo acima, os produtores usaram as órbitas como circunferências quando, na verdade, as órbitas dos planetas formam elipses - onde um dos focos está na posição do Sol. Esta é a Primeira Lei de Kepler:

"O planeta em órbita em torno do Sol descreve uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos."

Esta lei definiu que as órbitas não eram circunferências, como se supunha até então, mas sim elipses.

Entendo que a ideia principal do vídeo, no entanto, era apenas dar a noção das distâncias e tamanhos dos corpos - papel que foi muito bem cumprido pelos produtores. Nesse aspecto estão de parabéns.



A elipse tem dois focos e o segmento de reta que passa por eles chama-se eixo maior de medida `2a` . O segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor de medida `2b`.

As principais medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respectivamente, de semi-eixo maior (de medida `a`) e semi-eixo menor (de medida `b`).

Eixo maior

Como, por definição, um ponto genérico `P` de uma elipse deve respeitar a equação `PF_1 + PF_2`= constante = `2a` (`a > 0`); então tomemos dois pontos da Elipse `A` e `A'` que sejam colineares (pertençam a uma mesma reta) aos focos `F_1` e `F_2`, conforme ilustrado:

Uma vez que `A` pertente à elipse, então:

(1) `AF_1 + AF_2 = 2a`

Uma vez que A' pertente à elipse, então:

(2) `A'F_1 + A'F_2 = 2a`

Portanto (1) + (2) temos:

(3) `AF_1` + `AF_2` + `A'F_1` + `A'F_2` `= 2a + 2a = 4a`

Repare que obrigatoriamente `AF_1` + `A'F_1` = `AF_2` + `A'F_2` = `A A'`. Com esta informação, podemos reescrever a equação (3) como segue:

(3) `AF_1` `+` `AF_2` `+` `A'F_1` `+` `A'F_2` `= 2a + 2a = 4a`

(4) `A A'` `+` `A A'` `=` `2A A'` `= 4a`

Portanto, `A A' = 2a`.

 

O segmento de reta `A A'` será denominado Eixo Maior da Elipse.

Propriedades do Eixo Maior de uma Elipse:

  1. Sua medida é `2a` (`a> 0`).
  2. Contém os dois focos.


Eixo menor

Dados dois pontos `B` e `B'` de uma elipse que sejam extremidades do segmento de reta `B B'` que é perpendicular ao seu Eixo Maior e passe pelo seu ponto médio, então `B B'` será denominado Eixo Menor da Elipse.

Vamos designar o ponto médio de `A A'` por `C` e que também será denomindado Centro da Elipse.

Você já deve ter reparado que definimos a elipse usando a equação

`PF_1 + PF_2``= constante = 2a` (`a> 0`),

com P um ponto genérico da elipse. Pois bem, o que talvez você possa ter reparado é qual seria o motivo de termos atribuido à constante 2a. Por que o "2"?

É por uma conveniência algébrica de repartição. Toda elipse tem propriedade de simetria tanto pelo Eixo Maior bem como pelo Eixo Menor. Assim, usando `2a`, podemos repartir o Eixo Maior pelas metades "a" e "a" usando o centro C.

Iremos também atribuir ao Eixo Menor a medida `2b` (`b> 0`), para que possamos fazer uma repartição similar pelo centro `C`. Repare:

Cuidado

Nem o Eixo Maior, nem o Eixo Menor da Elipse são retas ou são semi-retas. É um segmento de reta e, por isso, tem começo e tem fim (ou seja, podemos medir tais eixos - tais medidas são, respectivamente `2a` e `2b`.

Propriedades do Eixo Menor de uma Elipse:

  1. Sua medida é `2b` (`b> 0`).
  2. Está contido na mediatriz do Eixo Maior.

O uso do termo "maior" e "menor" nos impele a caracterizar que a medida `a` é maior que a medida `b`, ou seja `a > b`. Como tanto `a` como `b` são positivos, é comum usar a relação

`a> b > 0`

(`a` é maior que `b` que, por sua vez, é maior do que zero)

 

Não é errado que a medida `a` seja igual a `b`, `a` `=` `b`. Você verá mais tarde que neste caso a elipse se degenera numa circunferência. Não vejo problemas em considerar que sejam iguais estas medidas.

 

Ainda pela simetria da elipse, onde `C` é o centro da elipse, os focos também devem preservar a mesma distância até o centro `C`.

Vamos atribuir que essa distância considerada seja `c` (`c> 0`) para que a distância focal `F_1F_2` seja igual a `2``c`, ou seja `F_1F_2` `= 2``c`.

Em síntese:

  • `F_1` e `F_2` — focos.
  • `F_1F_2` `= 2c` — distância focal (`c> 0`).
  • C — centro.
  • `A`, `A'`, `B` e `B'` — vértices.
  • `\bar{A A'}` — eixo maior.
  • `A A'` `= 2``a` — medida do eixo maior (`a``> 0`).
  • `BB'` — eixo menor.
  • `\bar{BB'}` `= 2``b` — medida do eixo menor (`b``> 0`).


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