√ Função Afim e a Função do 1º Grau
√ Forma Fatorada de uma Função Quadrática
√ Critérios de Divisibilidade
Cardicas > Elementos da Elipse
A elipse tem dois focos, que no caso da circunferência são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de reta.
As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respectivamente, de semi-eixo maior (a) e semi-eixo menor (b).
Eixo Maior da Elipse
Como, por definição, um ponto genérico P de uma elipse deve respeitar a equação PF1 + PF2= constante = 2a (a > 0); então tomemos dois pontos da Elipse A e A' que sejam colineares (pertençam a uma mesma reta) aos focos F1 e F2, conforme ilustrado:
Uma vez que A pertente à elipse, então:
(1) AF1 + AF2 = 2a
Uma vez que A' pertente à elipse, então:
(2) A'F1 + A'F2 = 2a
Portanto (1) + (2) temos:
(3) AF1 + AF2 + A'F1 + A'F2 = 2a + 2a = 4a
Repare que obrigatoriamente AF1 + A'F1 = AF2 + A'F2 = AA'. (veja os segmentos na ilustração e confirme). Com esta informação, podemos reescrever a equação (3) como segue:
(3) AF1 + AF2 + A'F1 + A'F2 = 2a + 2a = 4a
(4) AA' + AA' = 2AA' = 4a
Portanto, AA' = 2a.
O segmento de reta AA' será denominado Eixo Maior da Elipse.
Propriedades do Eixo Maior de uma Elipse:
- Sua medida é 2a (a > 0).
- Contém os dois focos.
O Eixo Maior da Elipse não é uma reta, nem uma semi-reta. É um segmento de reta.
Eixo Menor da Elipse
Dados dois pontos B e B' de uma elipse que sejam extremidades do segmento de reta BB' que é perpendicular ao seu Eixo Maior e passe pelo seu ponto médio, então BB' será denominado Eixo Menor da Elipse.
Vamos designar o ponto médio de AA' por C e que também será denomindado Centro da Elipse.
Você já deve ter reparado que definimos a elipse usando a equação
PF1 + PF2= constante = 2a (a > 0),
com P um ponto genérico da elipse. Pois bem, o que talvez você possa ter reparado é qual seria o motivo de termos atribuido à constante 2a. Por que o "2"?
É por uma conveniência algébrica de repartição. Toda elipse tem propriedade de simetria tanto pelo Eixo Maior bem como pelo Eixo Menor. Assim, usando 2a, podemos repartir o Eixo Maior pelas metades "a" e "a" usando o centro C.
Iremos também atribuir ao Eixo Menor a medida 2b (b > 0), para que possamos fazer uma repartição similar pelo centro C. Repare:
O Eixo Menor da Elipse não é uma reta, nem uma semi-reta. É um segmento de reta.
Propriedades do Eixo Menor de uma Elipse:
- Sua medida é 2b (b > 0).
- Está contido na mediatriz do Eixo Maior.
O uso do termo "maior" e "menor" nos impele a caracterizar que a medida a é maior que a medida b, ou seja a > b . Como tanto a como b são positivos, é comum usar a relação
a > b > 0
(a é maior que b que é maior do que zero)
Não é errado que a seja igual a b, a = b. Você verá mais tarde que neste caso a elipse se degenera numa circunferência. Não vejo problemas em considerar que sejam iguais estas medidas, mas vou usar apenas que a é realmente maior que a medida b.
Ainda pela simetria da elipse, onde C é o centro da elipse, os focos também devem preservar a mesma distância até o centro C.
Vamos atribuir que essa distância considerada seja c (c > 0) para que a distância focal F1F2 seja igual a 2c, ou seja F1F2 = 2c.
Em síntese:
- F1 e F2 — focos.
- F1F2 = 2c — distância focal (c > 0).
- C — centro.
- A, A', B e B' — vértices.
- AA' — eixo maior.
- AA' = 2a — medida do eixo maior (a > 0).
- BB' — eixo menor.
- BB' = 2b — medida do eixo menor (b > 0).
>>Comentários
ATENÇÃO! Os comentários a seguir são de responsabilidade de seus respectivos autores.