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No vídeo acima, os produtores usaram as órbitas como circunferências quando, na verdade, as órbitas dos planetas formam elipses - onde um dos focos está na posição do Sol. Esta é a Primeira Lei de Kepler:

"O planeta em órbita em torno do Sol descreve uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos."

Esta lei definiu que as órbitas não eram circunferências, como se supunha até então, mas sim elipses.

Entendo que a ideia principal do vídeo, no entanto, era apenas dar a noção das distâncias e tamanhos dos corpos - papel que foi muito bem cumprido pelos produtores. Nesse aspecto estão de parabéns.



A elipse tem dois focos e o segmento de reta que passa por eles chama-se eixo maior de medida `2a` . O segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor de medida `2b`.

As principais medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respectivamente, de semi-eixo maior (de medida `a`) e semi-eixo menor (de medida `b`).

Eixo maior

Como, por definição, um ponto genérico `P` de uma elipse deve respeitar a equação `PF_1 + PF_2`= constante = `2a` (`a > 0`); então tomemos dois pontos da Elipse `A` e `A'` que sejam colineares (pertençam a uma mesma reta) aos focos `F_1` e `F_2`, conforme ilustrado:

Uma vez que `A` pertente à elipse, então:

(1) `AF_1 + AF_2 = 2a`

Uma vez que A' pertente à elipse, então:

(2) `A'F_1 + A'F_2 = 2a`

Portanto (1) + (2) temos:

(3) `AF_1` + `AF_2` + `A'F_1` + `A'F_2` `= 2a + 2a = 4a`

Repare que obrigatoriamente `AF_1` + `A'F_1` = `AF_2` + `A'F_2` = `A A'`. Com esta informação, podemos reescrever a equação (3) como segue:

(3) `AF_1` `+` `AF_2` `+` `A'F_1` `+` `A'F_2` `= 2a + 2a = 4a`

(4) `A A'` `+` `A A'` `=` `2A A'` `= 4a`

Portanto, `A A' = 2a`.

 

O segmento de reta `A A'` será denominado Eixo Maior da Elipse.

Propriedades do Eixo Maior de uma Elipse:

  1. Sua medida é `2a` (`a> 0`).
  2. Contém os dois focos.


Eixo menor

Dados dois pontos `B` e `B'` de uma elipse que sejam extremidades do segmento de reta `B B'` que é perpendicular ao seu Eixo Maior e passe pelo seu ponto médio, então `B B'` será denominado Eixo Menor da Elipse.

Vamos designar o ponto médio de `A A'` por `C` e que também será denomindado Centro da Elipse.

Você já deve ter reparado que definimos a elipse usando a equação

`PF_1 + PF_2``= constante = 2a` (`a> 0`),

com P um ponto genérico da elipse. Pois bem, o que talvez você possa ter reparado é qual seria o motivo de termos atribuido à constante 2a. Por que o "2"?

É por uma conveniência algébrica de repartição. Toda elipse tem propriedade de simetria tanto pelo Eixo Maior bem como pelo Eixo Menor. Assim, usando `2a`, podemos repartir o Eixo Maior pelas metades "a" e "a" usando o centro C.

Iremos também atribuir ao Eixo Menor a medida `2b` (`b> 0`), para que possamos fazer uma repartição similar pelo centro `C`. Repare:

Cuidado

Nem o Eixo Maior, nem o Eixo Menor da Elipse são retas ou são semi-retas. É um segmento de reta e, por isso, tem começo e tem fim (ou seja, podemos medir tais eixos - tais medidas são, respectivamente `2a` e `2b`.

Propriedades do Eixo Menor de uma Elipse:

  1. Sua medida é `2b` (`b> 0`).
  2. Está contido na mediatriz do Eixo Maior.

O uso do termo "maior" e "menor" nos impele a caracterizar que a medida `a` é maior que a medida `b`, ou seja `a > b`. Como tanto `a` como `b` são positivos, é comum usar a relação

`a> b > 0`

(`a` é maior que `b` que, por sua vez, é maior do que zero)

 

Não é errado que a medida `a` seja igual a `b`, `a` `=` `b`. Você verá mais tarde que neste caso a elipse se degenera numa circunferência. Não vejo problemas em considerar que sejam iguais estas medidas.

 

Ainda pela simetria da elipse, onde `C` é o centro da elipse, os focos também devem preservar a mesma distância até o centro `C`.

Vamos atribuir que essa distância considerada seja `c` (`c> 0`) para que a distância focal `F_1F_2` seja igual a `2``c`, ou seja `F_1F_2` `= 2``c`.

Em síntese:

  • `F_1` e `F_2` — focos.
  • `F_1F_2` `= 2c` — distância focal (`c> 0`).
  • C — centro.
  • `A`, `A'`, `B` e `B'` — vértices.
  • `\bar{A A'}` — eixo maior.
  • `A A'` `= 2``a` — medida do eixo maior (`a``> 0`).
  • `BB'` — eixo menor.
  • `\bar{BB'}` `= 2``b` — medida do eixo menor (`b``> 0`).

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