Excentricidade da Elipse

Numa elipse onde:

• `F_1` e `F_2` — focos.
• `F_1F_2` `= 2c` — distância focal (`c> 0`).
• C — centro.
• `A`, `A'`, `B` e `B'` — vértices.
• `\bar{A A'}` — eixo maior.
• `A A'` `= 2``a` — medida do eixo maior (`a``> 0`).
• `BB'` — eixo menor.
• `\bar{BB'}` `= 2``b` — medida do eixo menor (`b``> 0`).

Temos um relação algébrica para traduzir fatos geométricos de uma dada elipse. A uma específica relação damos o nome de excentricidade que será indicada simplesmente por `e`.

A excentricidade de uma elipse é um número real positivo (`e > 0`) que é definida como o quociente entre a metade da distância focal e a metade da medida do eixo maior da elipse. Ou seja:

Como `a > c >0` teremos que a excentricidade de uma elipse é um número compreendido entre `0` e `1`: `0<e<1`. Pela caracterização algébrica de e, quanto maior for a distância focal de uma elipse, com a fixado, mais a excentricidade se aproxima do valor 1. E, analogamente, quanto menor for a distância focal de uma elipse, com a fixado, mais a excentricidade se aproxima do valor 0.

Já foi dito aqui que:

Não é errado que a medida `a` seja igual a `b`, `a` `=` `b`. Você verá mais tarde que neste caso a elipse se degenera numa circunferência. Não vejo problemas em considerar que sejam iguais estas medidas.

O que muda ao aceitarmos que `a=b` seja possível?

Neste caso a implicação é que `c = 0`. Da relação fundamental:

`a^2=b^2+c^2`

como `a=b => a^2=b^2`, logo

`a^2-b^2=c^2`

`0=c^2`

`:. c = 0`

Daí segue que `e=c/a = 0/a = 0`.

Isso significa que quando os eixos de uma elipse tem medidas iguais (uma vez que se `a=b` temos `2a=2b`, então a distância focal é nula (`c=0`). Temos no caso de `e=0` que será admitido como uma elipse degenerada a circunferência.

O que muda ao aceitarmos que `a=c` seja possível?

Neste caso a implicação é que `b = 0`. Da relação fundamental:

`a^2=b^2+c^2`

como `a=c => a^2=c^2`, logo

`a^2-c^2=b^2`

`0=b^2`

`:. b = 0`

Com `a=c` segue que `e=c/a = 1`.

Isso significa, em termos geométricos, que a elipse caracterizada assim terá eixo menor de medida nula. Ou seja, interprete que ela se "achatou" e degenerou-se num segmento de reta justamente por conta de que quanto mais próxima for a medida da distância focal à medida do eixo maior, então a tendência é que a medida do eixo menor diminua, tendendo a zero. Aqui a elipse se degenera num segmento de reta e diremos que um segmento de reta é uma elipse degenerada de excentricidade unitária (`e=1`).

Os vértices (extremidades) do segmento de reta coincidem cada qual com um dos focos da elipse.

Nesse cenário, com adapações, aceitando que seja possível `a=b` ou `a=c` temos:

• `F_1` e `F_2` — focos.
• `F_1F_2` `= 2c` — distância focal (`c>= 0`).
• C — centro.
• `A`, `A'`, `B` e `B'` — vértices.
• `\bar{A A'}` — eixo maior.
• `A A'` `= 2``a` — medida do eixo maior (`a``> 0`).
• `BB'` — eixo menor.
• `\bar{BB'}` `= 2``b` — medida do eixo menor (`b``>= 0`).