Excentricidade da Elipse

Numa elipse onde:

• `F_1` e `F_2` — focos.
• `F_1F_2` `= 2c` — distância focal (`c> 0`).
• C — centro.
• `A`, `A'`, `B` e `B'` — vértices.
• `\bar{A A'}` — eixo maior.
• `A A'` `= 2``a` — medida do eixo maior (`a``> 0`).
• `BB'` — eixo menor.
• `\bar{BB'}` `= 2``b` — medida do eixo menor (`b``> 0`).

Temos um relação algébrica para traduzir fatos geométricos de uma dada elipse. A uma específica relação damos o nome de excentricidade que será indicada simplesmente por $$e$$.

A excentricidade de uma elipse é um número real positivo ($$e > 0$$) que é definida como o quociente entre a metade da distância focal e a metade da medida do eixo maior da elipse. Ou seja:

Como $$a > c >0$$ teremos que a excentricidade de uma elipse é um número compreendido entre $$0$$ e $$1$$: $$0<e<1$$. Pela caracterização algébrica de e, quanto maior for a distância focal de uma elipse, com a fixado, mais a excentricidade se aproxima do valor 1. E, analogamente, quanto menor for a distância focal de uma elipse, com a fixado, mais a excentricidade se aproxima do valor 0.

Já foi dito aqui que:

Não é errado que a medida $$a$$ seja igual a $$b$$, $$a$$ $$=$$ $$b$$. Você verá mais tarde que neste caso a elipse se degenera numa circunferência. Não vejo problemas em considerar que sejam iguais estas medidas.

O que muda ao aceitarmos que $$a=b$$ seja possível?

Neste caso a implicação é que $$c = 0$$. Da relação fundamental:

$$a^2=b^2+c^2$$

como $$a=b => a^2=b^2$$, logo

$$a^2-b^2=c^2$$

$$0=c^2$$

$$:. c = 0$$

Daí segue que $$e=c/a = 0/a = 0$$.

Isso significa que quando os eixos de uma elipse tem medidas iguais (uma vez que se $$a=b$$ temos $$2a=2b$$, então a distância focal é nula ($$c=0$$). Temos no caso de $$e=0$$ que será admitido como uma elipse degenerada a circunferência.

O que muda ao aceitarmos que $$a=c$$ seja possível?

Neste caso a implicação é que $$b = 0$$. Da relação fundamental:

$$a^2=b^2+c^2$$

como $$a=c => a^2=c^2$$, logo

$$a^2-c^2=b^2$$

$$0=b^2$$

$$:. b = 0$$

Com $$a=c$$ segue que $$e=c/a = 1$$.

Isso significa, em termos geométricos, que a elipse caracterizada assim terá eixo menor de medida nula. Ou seja, interprete que ela se "achatou" e degenerou-se num segmento de reta justamente por conta de que quanto mais próxima for a medida da distância focal à medida do eixo maior, então a tendência é que a medida do eixo menor diminua, tendendo a zero. Aqui a elipse se degenera num segmento de reta e diremos que um segmento de reta é uma elipse degenerada de excentricidade unitária ($$e=1$$).

Os vértices (extremidades) do segmento de reta coincidem cada qual com um dos focos da elipse.

Nesse cenário, com adapações, aceitando que seja possível $$a=b$$ ou $$a=c$$ temos:

• $$F_1$$ e $$F_2$$ — focos.
• $$F_1F_2$$ $$= 2c$$ — distância focal ($$c>= 0$$).
• C — centro.
• $$A$$, $$A'$$, $$B$$ e $$B'$$ — vértices.
• $$\bar{A A'}$$ — eixo maior.
• $$A A'$$ $$= 2$$$$a$$ — medida do eixo maior ($$a$$$$> 0$$).
• $$BB'$$ — eixo menor.
• $$\bar{BB'}$$ $$= 2$$$$b$$ — medida do eixo menor ($$b$$$$>= 0$$).