√ Função Afim e a Função do 1º Grau
√ Forma Fatorada de uma Função Quadrática
√ Critérios de Divisibilidade
Cardicas > Excentricidade
Numa elipse onde:
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F1 e F2 — focos. F1F2 = 2c — distância focal (c > 0). AA' — eixo maior. AA' = 2a — medida do eixo maior (a > 0). BB' — eixo menor. BB' = 2b — medida do eixo menor (b > 0). |
É interessante que também usemos uma outra relação algébrica para traduzir fatos geométricos de uma dada elipse. A uma específica relação damos o nome de excentricidade que será indicada simplesmente por e.
A excentricidade de uma elipse é um número real positivo (e > 0) que é definida como o quociente entre a metade da distância focal e a metade da medida do eixo maior da elipse. Ou seja:
e = |
c |
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a |
||
(a > 0 e c > 0, logo, e > 0) |
||
Lembrando que, obrigatoriamente, a > c > 0, então o quociente e sempre será um número compreendido entre 0 e 1.
0 < e < 1
Pela caracterização algébrica de e, quanto maior for a distância focal de uma elipse, com a fixado, mais a excentricidade se aproxima do valor 1.
E, analogamente, quanto menor for a distância focal de uma elipse, com a fixado, mais a excentricidade se aproxima do valor 0.
Como já comentei antes não é errado que a seja igual a b, a = b. Basta assumir isso como uma restrição um pouco mais ampla (em termos geométricos os dois eixos da elipse tem mesma medida). E, na mesma esteira de raciocínio, alguns matemáticos também gostam de lidar com o caso a = c.
Veja adaptações (dependendo do autor, isso pode ser mais aceitável):
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F1 e F2 — focos. F1F2 = 2c — distância focal (c ≥ 0). AA' — eixo maior. AA' = 2a — medida do eixo maior (a > 0). BB' — eixo menor. BB' = 2b — medida do eixo menor (b ≥ 0).
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||||||||
O que ocorre com a excentricidade se aceitarmos a = b
Neste caso a implicação é que c = 0. Da relação fundamental:
a2 = b2 + c2
(se a = b)
a2 = a2 + c2
a2 — a2 = c2
0 = c2
Portanto c = 0.
e = |
c |
= |
0 |
= |
0 |
a |
a |
Portanto e = 0.
Isso significa que quando os eixos de uma elipse tem medidas iguais então a distância focal é nula. Não é difícil perceber que temos aqui uma circunferência.
Algumas conclusões se aceitamos a = b:
A elipse se degenera numa circunferência.
Uma circunferência é uma elipse de excentricidade nula (e = 0).
Os focos da elipse são coincidentes com o centro da circunferância.
O que ocorre com a excentricidade se aceitarmos a = c
Neste caso a implicação é que b = 0. Da relação fundamental:
a2 = b2 + a2
(se a = c)
a2 = b2 + a2
a2 — a2 = b2
0 = b2
Portanto b = 0.
À medida que 2c tende a 2a (ou: c tende a a) - temos que b tende a 0.
Isso significa, em termos geométricos, que a elipse caracterizada assim terá eixo menor de medida nula. Ou seja, interprete que ela se "achatou" e degenerou-se num segmento de reta justamente por conta de que quanto mais próxima for a medida da distância focal à medida do eixo maior, então a tendência é que a medida do eixo menor diminua, tendendo a zero.
Sobre a excentricidade, como a = c:
e = |
c |
= |
c |
= |
1 |
a |
c |
Portanto e = 1.
Algumas conclusões se aceitamos a = c:
A elipse se degenera num segmento de reta.
Uma circunferência é uma elipse de excentricidade unitária (e = 1).
Os vértices (extremidades) do segmento de reta coincidem cada qual com um dos focos da elipse.
Em síntese — veja na ilustração a seguir de várias elipses de mesma medida de eixo maior (2a):
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