Veja quem foi D'Alembert. (clique aqui)
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Teorema de D’Alembert |
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Um polinômio P(x) é divisível* por (x – a) se e somente se P(a) = 0. |
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Exemplo - Verificar se P(x) = x3 – 2x2 + 1 é divisível por: a) x + 1 b) x – 2 c) x – 1 |
a) Para P(x) ser divisível por x + 1 é necessário que P(–1) = 0. Vejamos: P(–1) = (–1)3 – 2(–1)2 + 1 = –1 – 2 + 1 = -2 Logo, P(x) não é divisível por x + 1. b) Para P(x) ser divisível por x – 2 é necessário que P(2) = 0. Vejamos: P(2) = (2)3 – 2(2)2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1 Logo, P(x) não é divisível por x – 2. c) Para P(x) ser divisível por x – 1 é suficiente que P(1) = 0. Vejamos: P(1) = (1)3 – 2(1)2 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0 Logo, P(x) é divisível por x – 1. |
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Exemplo - Determine m para que o polinômio P(x) = x3 + 2x2 + 4x – m seja divisível por (x – 1). |
Para P(x) ser divisível por x – 1 é necessário e suficiente que P(1) = 0. Vejamos: P(1) = (1)3 + 2(1)2 + 4(1) – m =1 + 2 + 4 – m = 7 – m Logo, 7 – m = 0, assim m = 7. |
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Exemplo - Dado o gráfico de P(x) a seguir, verifique se P(x) é divisível por a) x – 1 b) x – 2 |
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a) Para P(x) ser divisível por x – 1 é necessário e suficiente que P(1) = 0. Pelo gráfico apresentado, é direto que P(1) = 0. Logo P(x) é divisível por x – 1. b) Para P(x) ser divisível por x – 2 é necessário e suficiente que P(2) = 0. Pelo gráfico apresentado, para x entre 1 e 3 P(x) não se anula. Logo P(x) não é divisível por x – 2. |
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(*) O conceito de divisibilidade entre dois polinômios depende do anel a que se extende.
Basicamente, depende se aceitamos que os coeficientes dos polinômios sejam só naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, etc.
Em se tratando de problemas de vestibulares, notam-se algumas omissões nas perguntas de divisibilidade de polinômios, acerca do tipo de polinômio considerado (natural, inteiro, racional, etc.). Assim, não caracterizam o tipo de coeficiente aceito.
Tentando ser razoável (não vale como regra) - recomendo:
1) Perguntado se P(x) é divisível por x – a com a racional, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes racionais.
2) Perguntado se P(x) é divisível por x – a com a irracional, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes reais.
3) Perguntado se P(x) é divisível por x – a com a um número imaginário, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes complexos.
Veja mais exercícios sobre polinômios (clique aqui)