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Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se e somente se P(a) = 0.

Como

Exemplo - Verificar se P(x) = x3 2x2 + 1 é divisível por:

a) x + 1

b) x 2

c) x 1

  solucão
 

a) Para P(x) ser divisível por x + 1 é necessário que P(1) = 0. Vejamos:

P(–1) = (–1)3 – 2(–1)2 + 1 = 1 2 + 1 = -2

Logo, P(x) não é divisível por x + 1.

 

b) Para P(x) ser divisível por x 2 é necessário que P(2) = 0. Vejamos:

P(2) = (2)3 – 2(2)2 + 1 = 8 8 + 1 = 1

Logo, P(x) não é divisível por x 2.

 

c) Para P(x) ser divisível por x 1 é suficiente que P(1) = 0. Vejamos:

P(1) = (1)3 – 2(1)2 + 1 = 1 2 + 1 = 0

Logo, P(x) é divisível por x 1.

 

 

 

Exemplo - Determine m para que o polinômio P(x) = x3 + 2x2 + 4x – m seja divisível por (x – 1).

  solucão
 

Para P(x) ser divisível por x 1 é necessário e suficiente que P(1) = 0. Vejamos:

P(1) = (1)3 + 2(1)2 + 4(1) m =1 + 2 + 4 m = 7 m

Logo, 7 m = 0, assim m = 7.

 

 

Exemplo - Dado o gráfico de P(x) a seguir, verifique se P(x) é divisível por

a) x – 1

b) x – 2

  solucão
 

a) Para P(x) ser divisível por x 1 é necessário e suficiente que P(1) = 0. Pelo gráfico apresentado, é direto que P(1) = 0. Logo P(x) é divisível por x 1.

 

b) Para P(x) ser divisível por x 2 é necessário e suficiente que P(2) = 0. Pelo gráfico apresentado, para x entre 1 e 3 P(x) não se anula. Logo P(x) não é divisível por x 2.

 

 

Divisibilidade de Polinômios

O conceito de divisibilidade entre dois polinômios depende do anel a que se extende.

Basicamente, depende se aceitamos que os coeficientes dos polinômios sejam só naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, etc.

Em se tratando de problemas de vestibulares, notam-se algumas omissões nas perguntas de divisibilidade de polinômios, acerca do tipo de polinômio considerado (natural, inteiro, racional, etc.). Assim, não caracterizam o tipo de coeficiente aceito.

Tentando ser razoável (não vale como regra) - recomendo:

1) Perguntado se P(x) é divisível por x – a com a racional, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes racionais.

2) Perguntado se P(x) é divisível por x – a com a irracional, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes reais.

3) Perguntado se P(x) é divisível por x – a com a um número imaginário, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes complexos.

Veja mais exercícios sobre polinômios (clique aqui)