Definição

Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se e somente se P(a) = 0.

Atenção

O Teorema de D'Alambert é extremamente útil para se descobrir o resto da divisao de um polinômio por outro, na forma `x-a`, onde `a` é uma constante. Sem precisar fazer a divisão completa!

1

Exemplo 1


Determinar o resto da divisão de `P(x) = x^3-2x^2-7` por `x-2`.


Resolução


Pelo Teorema de D’Alembert, basta calcular `P(2)`.

`P(2) = 2^3-2*2^2-7 = -7`

Portanto, o resto da divisão de `P(x) = x^3-2x^2-7` por `x-2` é `-7`.
2

Exemplo 2


Dado o gráfico de `P(x)`, com `P(1) = P(3) = 0` a seguir, verifique se `P(x)` é divisível por:

a) `x-1`

b) `x - 2`


Resolução


a) Para `P(x)` ser divisível por `x-1` é necessário e suficiente que `P(1) = 0`. Pelo gráfico apresentado, é direto que `P(1) = 0`. Logo `P(x)` é divisível por `x-1`.

 

b) Para `P(x)` ser divisível por `x-2` é necessário e suficiente que `P(2) = 0`. Pelo gráfico apresentado, para `x` entre `1` e `3` o polinómio `P(x)` não se anula. Logo `P(x)` não é divisível por `x-2`.


Divisibilidade de Polinômios

O conceito de divisibilidade entre dois polinômios depende do anel a que se extende.

Basicamente, depende se aceitamos que os coeficientes dos polinômios sejam só naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, etc.

Em se tratando de problemas de vestibulares, notam-se algumas omissões nas perguntas de divisibilidade de polinômios, acerca do tipo de polinômio considerado (natural, inteiro, racional, etc.). Assim, não caracterizam o tipo de coeficiente aceito.

De modo geral:

1) Perguntado se `P(x)` é divisível por `x-a` com `a` racional, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes racionais.

2) Perguntado se `P(x)` é divisível por `x-a` com `a` irracional, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes reais.

3) Perguntado se `P(x)` é divisível por `x-a` com `a` um número imaginário, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes complexos.

Veja mais exercícios sobre polinômios (clique aqui)

Avalie esta página

Muito Supimpa Pesadelo

Supimpa
Pesadelo

Normal
Pesadelo

Mequetrefe
Pesadelo
Muito Mequetrefe
Pesadelo






Comente

São mais de 50.000 páginas de conteúdo . Não acompanho os diálogos a seguir - por isso, caso você ache alguma pergunta feita pelos usuários e queira contribuir, por favor, deixe o seu parecer - que irá enriquecer o material.