Professor Cardy

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Definição

Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se e somente se P(a) = 0.

Atenção

O Teorema de D'Alambert é extremamente útil para se descobrir o resto da divisao de um polinômio por outro, na forma `x-a`, onde `a` é uma constante. Sem precisar fazer a divisão completa!

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Exemplo 1


Determinar o resto da divisão de `P(x) = x^3-2x^2-7` por `x-2`.


Resolução


Pelo Teorema de D’Alembert, basta calcular `P(2)`.

`P(2) = 2^3-2*2^2-7 = -7`

Portanto, o resto da divisão de `P(x) = x^3-2x^2-7` por `x-2` é `-7`.
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Exemplo 2


Dado o gráfico de `P(x)`, com `P(1) = P(3) = 0` a seguir, verifique se `P(x)` é divisível por:

a) `x-1`

b) `x - 2`


Resolução


a) Para `P(x)` ser divisível por `x-1` é necessário e suficiente que `P(1) = 0`. Pelo gráfico apresentado, é direto que `P(1) = 0`. Logo `P(x)` é divisível por `x-1`.

 

b) Para `P(x)` ser divisível por `x-2` é necessário e suficiente que `P(2) = 0`. Pelo gráfico apresentado, para `x` entre `1` e `3` o polinómio `P(x)` não se anula. Logo `P(x)` não é divisível por `x-2`.


Divisibilidade de Polinômios

O conceito de divisibilidade entre dois polinômios depende do anel a que se extende.

Basicamente, depende se aceitamos que os coeficientes dos polinômios sejam só naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, etc.

Em se tratando de problemas de vestibulares, notam-se algumas omissões nas perguntas de divisibilidade de polinômios, acerca do tipo de polinômio considerado (natural, inteiro, racional, etc.). Assim, não caracterizam o tipo de coeficiente aceito.

De modo geral:

1) Perguntado se `P(x)` é divisível por `x-a` com `a` racional, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes racionais.

2) Perguntado se `P(x)` é divisível por `x-a` com `a` irracional, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes reais.

3) Perguntado se `P(x)` é divisível por `x-a` com `a` um número imaginário, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes complexos.

Veja mais exercícios sobre polinômios (clique aqui)

Matemática de Loterias



As pessoas normalmente fazem apostas na Mega Sena, pelo valor acumulado mais alto ou pelo simples hábito. Sabemos que a probabilidade de levar o prêmio principal é bem baixo. Contudo, será que vale mais a pena apostar numa Mega Sena que pode pagar R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões?

Pensar exclusivamente na questão PROBABILIDADE é a melhor referência. Porém, aliado a isso, o VALOR DO PRÊMIO e o VALOR DA APOSTA também são interessantes de levar em conta. Vale mais a pena gastar seus REAIS na MEGA SENA que paga R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões? A probabilidade da Timemania é melhor (em relação à da Mega) e o valor da aposta é mais baixo.

É certo que O VALOR ALTO DE PRÊMIO seduz muito e valor baixo desmotiva o interesse. Porém, se o valor alto vem de um jogo cujas chances de ganho são muito discrepantes no confronto direto, muitas vezes é mais interessante ir atrás de um prêmio menor se as suas chances de êxito vencem, mesmo sendo uma premiação inferior.

De acordo com a relação PRÊMIO A CONQUISTAR e PROBABILIDADE DE LEVAR, CUSTO DA APOSTA, eu calculei uma NOTA DE MAIS VALIA. Veja na ORDEM (de cima para baixo) onde vale mais a pena (NOTA 100) gastar seu real até onde menos vale a pena apostar, levando tudo isso em consideração

A TABELA A SEGUIR MUDA DE ACORDO COM OS VALORES DOS PRÊMIOS, CUSTOS e REGRAS. CONFIRA A ANÁLISE NA DATA INFORMADA.

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