Definição

Teorema de D’Alembert

Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se e somente se P(a) = 0.

Atenção

O Teorema de D'Alambert é extremamente útil para se descobrir o resto da divisao de um polinômio por outro, na forma `x-a`, onde `a` é uma constante. Sem precisar fazer a divisão completa!

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Exemplo 1


Determinar o resto da divisão de `P(x) = x^3-2x^2-7` por `x-2`.


Resolução


Pelo Teorema de D’Alembert, basta calcular `P(2)`.

`P(2) = 2^3-2*2^2-7 = -7`

Portanto, o resto da divisão de `P(x) = x^3-2x^2-7` por `x-2` é `-7`.
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Exemplo 2


Dado o gráfico de `P(x)`, com `P(1) = P(3) = 0` a seguir, verifique se `P(x)` é divisível por:

a) `x-1`

b) `x - 2`


Resolução


a) Para `P(x)` ser divisível por `x-1` é necessário e suficiente que `P(1) = 0`. Pelo gráfico apresentado, é direto que `P(1) = 0`. Logo `P(x)` é divisível por `x-1`.

 

b) Para `P(x)` ser divisível por `x-2` é necessário e suficiente que `P(2) = 0`. Pelo gráfico apresentado, para `x` entre `1` e `3` o polinómio `P(x)` não se anula. Logo `P(x)` não é divisível por `x-2`.


Divisibilidade de Polinômios

O conceito de divisibilidade entre dois polinômios depende do anel a que se extende.

Basicamente, depende se aceitamos que os coeficientes dos polinômios sejam só naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, etc.

Em se tratando de problemas de vestibulares, notam-se algumas omissões nas perguntas de divisibilidade de polinômios, acerca do tipo de polinômio considerado (natural, inteiro, racional, etc.). Assim, não caracterizam o tipo de coeficiente aceito.

De modo geral:

1) Perguntado se `P(x)` é divisível por `x-a` com `a` racional, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes racionais.

2) Perguntado se `P(x)` é divisível por `x-a` com `a` irracional, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes reais.

3) Perguntado se `P(x)` é divisível por `x-a` com `a` um número imaginário, considere a divisão podendo envolver polinômios de coeficientes complexos.

Veja mais exercícios sobre polinômios (clique aqui)




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