Cardicas > Polinômio Soma dos Coeficientes
Em um polinômio `P(x)` a soma dos coeficientes corresponde ao `P(1)`.
Num Plano Cartesiano que exibe o gráfico de um polinômio `P(x)`, podemos investigar o valor do termo independente pela observação do ponto do gráfico que passa pelo ponto `(1,P(1))`. Este ponto nos mostra a soma dos coeficientes `P(1)`.
Uma função `f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}` com:
`f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`
é uma função polinomial, ou polinômio. Onde a soma dos coeficientes é:
`f(1) = a_n*1^n + a_(n-1)*1^(n-1) + ... + a_2*1^2 + a_1*1^1 + a_0`
`f(1) = a_n*1 + a_(n-1)*1 + ... + a_2*1 + a_1*1 + a_0`
`f(1) = a_n + a_(n-1)+ ... + a_2 + a_1 + a_0`
OBS.
Coeficientes são os números indicados acima por: ` a_n, a_(n-1), ... , a_2 , a_1` e `a_0`
Apenas usarei coeficentes reais, ou seja, `a_n, a_(n-1),a_(n-2), ... , a_2, a_1` e `a_0` todos reais.
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Exemplo — Indicar quais são os coeficientes de `p(x) = 4*x^2 + x^3 -9` |
O coeficiente de `x^3` é `1`. O coeficiente de `x^2` é `4`. O coeficiente independente ou termo independente é `-9`. |
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Exemplo — Obter a soma dos coeficientes de `p(x) = 4*x^2 + x^3 -9` |
Basta calcular `p(1)`. `p(1) =4*1^2 + 1^3 -9= 4*1 + 1 -9=4+1-9=-4` A soma dos coeficientes de `p(x) = 4*x^2 + x^3 -9` é `-4` |
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Exemplo — Obter a soma dos coeficientes de `p(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3` |
Basta calcular `p(1)`. Não precisamos desenvolver (distribuir) os termos presentes em `(x-4)(x+1)(x-1) + 3`. `p(1) = (1-4)(1+1)(1-1) + 3=(-3)(2)(0) + 3=3` A soma dos coeficientes de `p(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3` é `3`. |
É mais fácil obter a soma dos coeficientes fazendo `p(1)` no exemplo anterior do que efetuar `(x-4)(x+1)(x-1) + 3` e determinar, depois de várias contas, que :
`(x-4)(x+1)(x-1) + 3 = x^3-4x^2-x+7`
E somar os coeficientes `1-4-1+7=3`.
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Exemplo — Obter soma dos coeficientes de uma função polinomial g(x), dada pelo gráfico a seguir: |
Sabendo as coordendas do ponto do gráfico da função polinomial `(1, g(1)) = (1,0)` temos a soma dos coeficientes da função. Isso ocorre porque, foi dito que `g(x)` é um polinômio, logo pode ser escrita na forma: `g(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0` Então: `g(1) = a_n*1^n + a_(n-1)*1^(n-1) + ... + a_2*1^2 + a_1*1^1 + a_0` `g(1) = a_n*1+ a_(n-1)*1 + ... + a_2*1 + a_1*1 + a_0` `g(1) = a_n+ a_(n-1) + ... + a_2 + a_1 + a_0` Como sabemos, pelo gráfico, que `g(1) = 0`. Logo, `a_n+ a_(n-1) + ... + a_2 + a_1 + a_0 = 0`. A soma dos coeficientes de `g(x)` é `0`. |