Números primos de Mersenne

Em 26 de fevereiro de 2005, menos de um ano após a descoberta do 41° primo de Mersenne, o maior primo de Mersenne foi divulgado. FONTE: GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Definição

Um número M_n se diz número de Mersenne se puder ser escrito na forma

onde n é um natural.

	Exemplos

	M₇ = 2⁷ - 1 = 127 é um número de Mersenne;
	M₁₀ = 2¹⁰ - 1 = 1023 é um número de Mersenne;
	M₁₃ = 2¹³ - 1 = 8191 é um número de Mersenne.

Assim, 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647, 4294967295... são números de Mersenne.

Constatar-se que se M_n é um número primo, daí n é primo, não chega a ser um desafio (veja a sua prova)... No entanto, a análise de quais n, primos, que fazem M_n primo, esta é a grande meta!

A verificação de quais primos p para que M_p seja um primo gerou poucos resultados (até agora, 39 certos e o 40° na espreita!)

Definição

Um número M_p se diz primo de Mersenne se M_p for primo, onde

para um primo positivo p.

Comprovados, até agora, temos os seguintes primos de Mersenne:

ordem	p	digitos	ano	Referência ao descobridor
1	2	1	antiguidade
2	3	1	antiguidade
3	5	2	antiguidade
4	7	3	antiguidade
5	13	4	1461	Reguis (1536), Cataldi (1603)
6	17	6	1588	Cataldi (1603)
7	19	6	1588	Cataldi (1603)
8	31	10	1750	Euler (1772)
9	61	19	1883	Pervouchine (1883), Seelhoff (1886)
10	89	27	1911	Powers (1911)
11	107	33	1913	Powers (1914)
12	127	39	1876	Lucas (1876)
13	521	157	Jan. 30, 1952	Robinson
14	607	183	Jan. 30, 1952	Robinson
15	1.279	386	Jan. 30, 1952	Robinson
16	2.203	664	Jan. 30, 1952	Robinson
17	2.281	687	Jan. 30, 1952	Robinson
18	3.217	969	Set. 8, 1957	Riesel
19	4.253	1281	Nov. 3, 1961	Hurwitz
20	4.423	1332	Nov. 3, 1961	Hurwitz
21	9.689	2917	Mai 11, 1963	Gillies (1964)
22	9.941	2993	Mai 16, 1963	Gillies (1964)
23	11.213	3376	Jun. 2, 1963	Gillies (1964)
24	19.937	6002	Mar. 4, 1971	Tuckerman (1971)
25	21.701	6533	Out. 30, 1978	Noll and Nickel (1980)
26	23.209	6987	Fev. 9, 1979	Noll (Noll & Nickel 1980)
27	44.497	13395	Abr. 8, 1979	Nelson & Slowinski (Slowinski 1978-79)
28	86.243	25962	Set. 25, 1982	Slowinski
29	110.503	33265	Jan. 28, 1988	Colquitt & Welsh (1991)
30	132.049	39751	Set. 20, 1983	Slowinski
31	216.091	65050	Set. 6, 1985	Slowinski
32	756.839	227832	Fev. 19, 1992	Slowinski & Gage
33	859.433	258716	Jan. 10, 1994	Slowinski & Gage
34	1.257.787	378632	Set. 3, 1996	Slowinski & Gage
35	1.398.269	420921	Nov. 12, 1996	Joel Armengaud/GIMPS
36	2.976.221	895832	Ago. 24, 1997	Gordon Spence/GIMPS (Devlin 1997)
37	3.021.377	909526	Jan. 27, 1998	Roland Clarkson/GIMPS
38	6.972.593	2098960	Jun. 1, 1999	Nayan Hajratwala/GIMPS
39	13.466.917	4053946	Nov. 14, 2001	Michael Cameron/GIMPS (Whitehouse 2001, Weisstein 2001)
40	20.996.011	6320430	Nov. 17, 2003	Michael Shafer/GIMPS (Weisstein 2003)
41	24.036.583	7235733	Mai 15, 2004	Josh Findley/GIMPS (Weisstein 2004)
42	25.964.951	7816230	Fev. 18, 2005	Martin Nowak/GIMPS (Weisstein 2005)
43	30.402.457	9152052	Dez 15, 2005	Dr. Curtis Cooper e Dr. Steven Boone
44	32.582.657	9808358	Set. 4, 2006	Dr. Curtis Cooper e Dr. Steven Boone
45	37.156.667	11.185.272	Set. 6, 2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46	43.112.609	12.978.189	Ago. 23, 2008	GIMPS / Edson Smith

Definição

Um número n natural é chamado perfeito se e somente se n for igual a soma de todos os seus divisores positivos (sem ser, é claro, o próprio n).

	Exemplos

	6 = 1+2+3; 28 = 1+2+4+7+14;

Assim, 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216... são números perfeitos.

Curiosidade: Observe os últimos dígitos! São 6, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 6 ... será que todos os números perfeitos sempre terminam por esses algarismos?

Os quatro primeiros números perfeitos já eram conhecidos antes da época de Cristo. Ainda sobre eles, vejamo-os como exemplos e façamos as suas respectivas decomposições:

2.3, 4.7, 16.31, 64.127

Todos são da forma 2^n-1(2ⁿ-1) (para n = 2, 3, 5, e 7 respectivamente).

Teorema

Um número K é um número perfeito PAR se e somente se ele puder ser escrito na forma 2^n-1(2ⁿ-1), com 2ⁿ-1 um número primo. (demonstração)

Assim, a busca dos números perfeitos acaba sendo paralela à busca dos primos de Mersenne.

Veja o game abaixo:

Conjectura de Goldbach

Goldbach escreveu uma carta para Euler em 1742 sugerindo que todo número inteiro n > 5 fosse a soma de três números primos. Euler respondeu dizendo que era equivalente a dizer que todo inteiro par n > 2 fosse a soma de dois números primos. Esta, assim formulada, passou a ser a chamada "Conjectura de Goldbach".

4=2+2	12=7+5
6=3+3	14=11+3
8=5+3	16=13+3
10=7+3	18=13+5

Conjectura de Polignac

Polignac, 1849.

Para todo número par na forma 2n existem infinitas duplas de primos consecutivos primos que diferem d=|2n|.

Quando n=1, temos d=2 (é a conjectura do primos gêmeos).

3	5	5	7	11	13	17	19
d = 5-3 = 2		d = 7-5 = 2		d = 13-11 = 2		d = 17-19 = 2

Em 1919, Brun provou que a soma dos recíprocos dos primos gêmeos converge e a sua soma:

B = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19) + ...

é a constante de Brun 1,902160577783278...

Professor Cardy, 03/05/2005

	Exemplos dos primeiros 1000 primos positivos
	destacados os gêmeos
	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919

Observe os números de Mersenne na base 10 e na base 2:

base 10	base 2
0	0
1	1
3	11
7	111
15	1111
31	11111
63	111111
127	1111111
255	11111111
etc. ...

Um pouco mais de sabor à sua curiosidade, The Electronic Frontier Foundation oferece um prêmio de US$100.000,00 à primeira pessoa ou ao grupo que descobrir um número primo de 10 milhões de casas decimais.

O número de dígitos D de um número de Mersenne é dado por:

onde a função define o maior inteiro menor ou igual a x.

Marin Mersenne

8/09/1588 Oize, Maine, França
1/09/1648 Paris, França

Professor Cardy

topo

Já que você chegou até aqui... Que tal ajudar esse pessoal batuta e super descolado?

	AMA - Associação de Amigos do Autista		CARE
TELETON		WWF
	AACD - Associação de Assistência à Criança com Deficiência		IFAW
Voluntariado
	Casas André Luiz	Médicos Sem Fronteiras

Você sabia que para ajudar o próximo não é necessário dinheiro? Dar coisas todo mundo pode dar e isso até tem sua MUITA valia: alimenta, agasalha, ensina e cura.

Entretanto, procure DAR-SE nas coisas, doar-se! Um pouco do seu tempo, um pouco de sua atenção, explicar com humildade, ouvir com Amor são forças que todos temos e são poderes que nos remeterão a um mundo melhor: um mundo melhor em nós mesmos - que seja - mas quem sempre procura fazer o melhor terá direito a um mundo melhor! Acho isso mais importante.

Procure o seu melhor e doe-se! Mesmo que você julgue que o seu melhor seja pequenininho, algo de nada, uns 0,00001% - não importa! As pessoas vão descobrir e admirar você por causa desse 0,00001% e vão dar nota como se você fosse 100%!

30/07/2010

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