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No cálculo algébrico, algumas expressões representadas por produtos de expressões algébricas, aparecem com muita frequência.

Pela importância que representam no cálculo algébrico, essas expressões são denominadas Produtos Notáveis

 

 

Quadrado da soma de dois termos

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

 

Diferença de potências (ordem 2)

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 

 

Cubo da soma de dois termos

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 

Cubo da soma de dois termos (simplificado)

(a + b)3 = a·(a – 3·b)2 + b·(b – 3·a)2

 

Cubo da diferença de dois termos

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

 

Identidade de Fibonacci

(a2 + b2)(c2 + d2) = (a·c – b·d)2 + (a·d + b·c)2

 

Identidade de Platão

(a2 + b2)2 = (a2 – b2)2 + (2·a·b)2

 

Identidade de Lagrange (4 termos)

(a2 + b2)(c2 + d2) – (a·c + b·d)2 = (a·d – b·c)2

 

Identidade de Lagrange (6 termos)

(a2 + b2 + c2)(d2 + e2 + f2) – (a·d + b·e + c·f)2
= (a·e – b·d)2 + (a·f – c·d)2 + (b·f – c·e)2

 

Identidade de Cauchy (n = 3)

(a + b)3 – a3 – b3 = 3·a·b·(a + b)

 

Identidade de Cauchy (n = 5)

(a + b)5 – a5 – b5 = 5·a·b·(a + b)(a2 + a·b + b2)

 

Diferença entre os quadrados da soma e diferença

(a + b)2 – (a – b)2 = 4·a·b

 

Soma dos quadrados da soma e da diferença

(a + b)2 + (a – b)2 = 2·(a2 + b2)

 

Soma de dois cubos

a3 + b3 = (a +b)3 – 3·a·b·(a + b)

 

Soma de dois cubos (fatorada)

a3 + b3 = (a + b) (a2 – a·b + b2)

 

Produto de três diferenças

(a – b)(a – c)(b – c) = a·b·(a – c) + b·c·(b – c) + c·a·(c – a)

 

Produto de três somas

(a + b)(a + c)(b + c) = (a + b + c)(a·b + b·5c + a·c) - a·b·c

 

Soma de cubos das diferenças de três termos

(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – 5c)(c – a)

 

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