Já tratei da decomposição de um número natural em fatores primos. Isso certamente é suficiente para obter o mdc entre dois ou vários números naturais. No entanto, para obter o mdc entre dois números naturais muito grandes isso fica complicado porque a decomposição pode não ser imediata.
O método a seguir é baseado no livro sétimo dos Elementos de Euclides. Apesar de existirem evidências históricas que este método seja anterior a este livro... O Algoritmo de Euclides para a obtenção do máximo divisor comum entre dois números naturais é um processo bem simples. Não desista ao ler a explicação pelo roteiro, mas acompanhe o roteiro juntamente com os exemplos numéricos que virão a seguir - vai ficar bem mais fácil.
Roteiro
Obtendo o mdc entre dois números naturais `X` e `Y` onde `X > Y`.
1) Divida `X` por `Y` e obtenha o resto `R_1`. Se `R_1` for zero, o mdc entre `X` e `Y` é `Y`.
2) Se `R_1` não for zero, divida `Y` por `R_1` e obtenha o resto `R_2`. Se `R_2` for zero, o mdc entre `X` e `Y` é `R_1`.
3) `R_2` não for zero, divida `R_1` por `R_2` e obtenha o resto `R_3`. Se `R_3` for zero, o mdc entre `X` e `Y` é `R_2`.
...
Se `R_n` ão for zero, divida `R_{n-1}` por `R_n` e obtenha o resto `R_{n+1}`. Se `R_{n+1}` for zero, o mdc entre `X` e `Y` é `R_n`
Exemplo 1
Obter, pelo Algoritmo de Euclides, o mdc entre 10 e 15.
Resolução
Dividimos 15 por 10 (porque 15 é maior que 10).
| dividendo | divisor |
| 15 | 10 |
| 5 | 1 |
| resto | quociente |
Como o resto é 5 (não vale zero), devemos dividir o divisor 10 por 5, temos:
| dividendo | divisor |
| 10 | 5 |
| 0 | 2 |
| resto | quociente |
O resto é zero, portanto o mdc entre 15 e 10 é 5 (o divisor da divisão cujo resto é zero).
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O Algoritmo de Euclides pode requistar muitas divisões sucessivas até que se chegue ao resto zero (sempre se chegará). Por conta disso, é melhor usar uma chave que aproveita melhor os resultados anteriores e deixa espaço para os próximos, caso sejam necessários.
Monte uma grade com, pelo menos, 3 colunas e exatamente 3 linhas (deixe espaço à direita):
Na grade, insira o 15 e o 10 (vou manter os números do exemplo) assim:
| 15 | 10 | ||
Sempre na primeira linha, sobre o último divisor usado, escreva o quociente da divisão atual. Na divisão de 15 por 10 o quociente é 1. Registre assim:
| 1 | |||
| 15 | 10 | ||
O resto da divisão atual é registrado abaixo do dividendo da divisão atual. Na divisão de 15 por 10 o resto é 5.
| 1 | |||
| 15 | 10 | ||
| 5 |
Como 5 não é zero, compiamos o 5 ao lado do 10, na próxima casa. Repete-se todo o processo anterior, pensando que a divisão de agora é de 10 por 5.
| 1 | |||
| 15 | 10 | 5 | |
| 5 |
Na divisão de 10 por 5 o quociente é 2. Registre assim:
| 1 | 2 | ||
| 15 | 10 | 5 | |
| 5 |
Na divisão de 10 por 5 o resto é 0.
| 1 | 2 | ||
| 15 | 10 | 5 | |
| 5 | 0 |
Como o resto é zero, o mdc entre 15 e 10 é o número 5.
Exemplo 2
Obter, pelo Algoritmo de Euclides, o mdc entre 1128 e 336.
Resolução
Após as divisões sucessivas e os registros dos resultados nos locais apropriados, chega-se em:
| 3 | 2 | 1 | 4 | |
| 1128 | 336 | 120 | 96 | 24 |
| 120 | 96 | 24 | 0 |
O mdc entre 1128 e 336 é 24.
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