Professor Cardy

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Quadrado Mágico

Introdução

Matematicamente, um Quadrado Mágico Elementar é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) de ordem n (n linhas e n colunas) cujos elementos (números naturais) variam sucessivamente de $$1$$ até $$n^2$$ que são arrumados de modo que a soma de cada linha, cada umas das duas diagonais principais ou de cada coluna seja sempre uma constante.

Podem-se construir Quadrados Mágicos não elementares iniciando-se a partir de outro número natural que não o $$1$$. Por exemplo, iniciar-se a partir do $$12$$.

Para resolver problemas de Quadrados Mágicos não elementares basta construir um Quadrado Mágico elementar - depois disso somar elemento por elemento a diferença entre o menor valor do Quadrado Mágico pretendido com $$1$$.

Um exemplo de Quadrado Mágico Elementar $$4 times 4$$ é:
34
//
16
3
2
13
= 34
5
10
11
8
= 34
9
6
7
12
= 34
4
15
14
1
= 34
||
34
||
34
||
34

||
34

\\
34

. diagonal principal

. diagonal secundária

Digamos que alguém queira construir um Quadrado Mágico $$4 times 4$$ dispondo elementos de 12 até 28. Para isto basta usar o Quadrado Mágico Elementar $$4 times 4$$ acima e adicionar 11 (a diferença entre 12 e 1) a todos os seus elementos já disponíveis.
82
//
16+12
3+12
2+12
13+12
= 82
5+12
10+12
11+12
8+12
= 82
9+12
6+12
7+12
12+12
= 82
4+12
15+12
14+12
1+12
= 82
||
82
||
82
||
82

||
82

\\
82

 

Cardica

Em todo Quadrado Mágico Elementar do tipo $$n times n$$ o resultado constante das somas de cada linha, cada coluna ou de cada diagonal é sempre $$1/2*n*(n^2+ 1)$$.

Se todos os elementos de um Quadrado Mágico Elementar forem acrescidos cada um de um mesmo número natural qualquer, será formado outro Quadrado Mágico.

1

Exemplo 1


Um Quadrado Mágico de ordem $$3 times 3$$


Resolução


6

1

8

7

5

3

2

9

4

 


2

Exemplo 2


Um Quadrado Mágico de ordem $$5 times 5$$


Resolução


15

8

1

24

17

16

14

7

5

23

22

20

13

6

4

3

21

19

12

10

9

2

25

18

11

 

 

De ordem maior

$$6 times 6$$

6
32
3
34
35
1
7
11
27
28
8
30
19
14
16
15
23
24
18
20
22
21
17
13
25
29
10
9
26
12
36
5
33
4
2
31

 

$$7 times 7$$

22
47
16
41
10
35
4
5
23
48
17
42
11
29
30
6
24
49
18
36
12
13
31
7
25
43
19
37
38
14
32
1
26
44
20
21
39
8
33
2
27
45
46
15
40
9
34
3
28

 

$$8 times 8$$

8
58
59
5
4
62
63
1
49
15
14
52
53
11
10
56
41
23
22
44
45
19
18
48
32
34
35
29
28
38
39
25
40
26
27
37
36
30
31
33
17
47
46
20
21
43
42
24
9
55
54
12
13
51
50
16
64
2
3
61
60
6
7
5

$$9 times 9$$

37
78
29
70
21
62
13
54
5
6
38
79
30
71
22
63
14
46
47
7
39
80
31
72
23
55
15
16
48
8
40
81
32
64
24
56
57
17
49
9
41
73
33
65
25
26
58
18
50
1
42
74
34
66
67
27
59
10
51
2
43
75
35
36
68
19
60
11
52
3
44
76
77
28
69
20
61
12
53
4
45