Todo número Real que não puder ser escrito como uma fração de numerador inteiro e de denominador inteiro (e diferente de zero) é um Número Irracional.
Ou seja, um número Real é de duas uma: ou é Racional ou é Irracional.
O conjunto numérico dos Irracionais é a diferença entre os Reais com os Racionais.
ℝ — ℚ
Exemplos.
- π é a Constante de Arquimedes, PI = 3, 1415... é um número Irracional.
- φ é o Número de Ouro = 1,618 ... é um número Irracional.
é um número Irracional.
Cardicas:
- Toda Dízima Infinita e não Periódica é Irracional.
| Operação | Racional | Irracional | Frase Apropriada |
| Racional + Racional | SIM | Não | Sempre é Racional. |
| Racional – Racional | SIM | Não | Sempre é Racional. |
| Racional x Racional | SIM | Não | Sempre é Racional. |
| Racional / Racional | SIM | Não | Sempre é Racional se o denominador for diferente de zero. |
| Racional + Irracional | Não | SIM | Sempre é Irracional. |
| Racional – Irracional | Não | SIM | Sempre é Irracional. |
| Racional x Irracional | SIM | SIM | Pode ser Racional - exemplo `0 \xx \pi = 0` Pode ser Irracional - exemplo `2 \xx \pi = 2\pi` |
| Racional Não Nulo x Irracional | Não | SIM | Sempre é Irracional. |
| Racional / Irracional | SIM | SIM | Pode ser Racional - exemplo `0/\pi = 0` Pode ser Irracional - exemplo `2/\pi`. |
| Racional Não Nulo / Irracional | Não | SIM | Sempre é Irracional. |
| Irracional + Irracional | SIM | SIM | Pode ser Racional - exemplo `\pi + (-\pi) = 0`. Pode ser Irracional- exemplo `\pi + \2pi = 3\pi`. |
| Irracional – Irracional | SIM | SIM | Pode ser Racional - exemplo `\pi -\pi = 0`. Pode ser Irracional- exemplo `5\pi - \2pi = 3\pi`. |
| Irracional x Irracional | SIM | SIM | Pode ser Racional - exemplo `\sqrt{2} \xx \sqrt{2} = 2`. Pode ser Irracional- exemplo `\sqrt{2} \xx \sqrt{3} = \sqrt{6}`. |
| Irracional / Irracional | SIM | SIM | Pode ser Racional - exemplo `\sqrt{2} /\sqrt{2} = 1` Pode ser Irracional- exemplo `\pi / \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}\pi}{2}` |