Critérios de divisibilidade

Se souber, muito provavelmente, você não precisou efetuar a divisão por 2 e constatar que o resto de tal divisão resulta 0, portanto divisível por 2... Acredito que um critério apropriado para saber se há divisibilidade ou não é mais eficiente em boa parte dos casos, principalmente se o critério é simples e requer uma conta menos burocrática que a própria divisão em si.

No entanto, alguns critérios são bem mais onerosos que a própria divisão, sendo mais fácil efetuar a divisão para saber se o resto é 0 (só assim será divisível!) - Vale sempre lembrar que estamos falando de divisão NATURAL, onde apenas estes números são usados para estabelecer critério. Eventualmente extenderemos ao inteiros quando for conveniente.

Definição

Se D e d são números naturais. Diz-se que D (dividendo) é divisível por d (divisor) se existe um número natural q (quociente) tal que dq= D. Podemos também dizer D que é múltiplo de de d.

Veja alguns critérios de divisibilidade a seguir:

por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

	Exemplos

	1800 é divisível por 2, pois termina em 0. 4117 não é divisível por 2, pois não é um número par.

por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

	Exemplo

	234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

	Exemplos

	1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

por 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 5 ou 0.

	Exemplos

	55 é divisível por 5, pois termina em 5. 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

	Exemplos

	312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

por 7

Um número natural ABCDE, é divisível por 7 se ABCD - 2E for múltiplo de 7.

Exemplos

343 é divisível por 7, pois 34 - 2.3 = 34 - 6 = 28 (múltiplo de 7).
28 é divisível por 7, pois 2 - 2.8 = 2 - 16 = -14 (múltiplo de 7).

729 não é divisível por 7, pois 72 - 2.9 = 72 - 18 = 54 (não é múltiplo de 7).

Para constatar a divisibilidade será necessário conhecer alguns múltiplos de 7 {..., -14, -7, 0, 7, 14, ...}. Com números de muitos algarismos, recorreremos ao critério acima tantas vezes quanto forem necessárias até reconhecermos um múltiplo de 7. Podemos usar o seguinte "display" para averiguar a divisibilidade por 7. Veja o exemplo usando 16807:

	número dado
	separa-se o algarismo das unidades	(I)
	dobra-se o valor do algarismo das unidades e é feita a subtração como ao lado	(II)
Se já reconhecer que 1666 é multiplo de 7 (porque o é) o processo é finalizado aqui mesmo e concluímos que 16807 é divisível por 7. Caso contrário, repetem-se as etapas (I) e (II).

	separa-se o algarismo das unidades	(I)
	dobra-se o valor do algarismo das unidades e é feita a subtração como ao lado	(II)
Novamente, se reconhecer que 154 é multiplo de 7, finaliza-se por aqui... Caso contrário, repetem-se as etapas (I) e (II) - tantas vezes quanto forem necessárias!

	separa-se o algarismo das unidades	(I)
	dobra-se o valor do algarismo das unidades e é feita a subtração como ao lado	(II)
Temos que 16807 é divisível por 7

VEJA AQUI um outro critério de divisibilidade por 7.

por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

	Exemplos

	7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por por 9.

	Exemplo

	2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

	Exemplos

	4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos

87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11

Si - Sp = 22-11 = 11

Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21

Si - Sp = 10-21

Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

	Exemplos

	720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20). 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

por 13

Seja um número ABCDEFGHI. Para o exemplo que será dado, entenda que I, H e G serão os dígitos das unidades, dezenas, centenas,... Devemos somar o produto dos mesmos pelos contidos na seguinte seqüência: 1, -3, -4, -1, 3, 4, para mais dígitos a seqüência se repetirá 1, -3, -4 ...

Exemplos

55041103 é divisível por 13:

digito		fator	resultado
I	3	(1)	3
H	0	(-3)	0
G	1	(-4)	-4
F	1	(-1)	-1
E	4	(3)	12
D	0	(4)	0
C	5	(1)	5
B	5	(-3)	-15
total			0

4233931 é divisível por 13:

digito		fator	resultado
I	1	(1)	1
H	3	(-3)	-9
G	9	(-4)	-36
F	3	(-1)	-3
E	3	(3)	9
D	2	(4)	8
C	4	(1)	4
total			*-26*

por 14

Um número é divisível por 14 quando é divisível por 2 e por 7.

Exemplos

210 é divisível por 14 pois é divisível por 2 (porque é par) e por 7 (21 - 2.0 = 21, múltiplo de 7).

112 é divisível por 14 pois é divisível por 2 (porque é par) e por 7 (11 - 2.2 = 7, múltiplo de 7).

764 não é divisível por 14. Embora seja por 2, não é por 7 (76 - 2.4 = 68, não é múltiplo de 7).

por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

	Exemplos

	105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5). 324 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

¹ Um número é natural se pertencer ao conjunto IN = {0, 1, 2, 3, 4, ... }

Professor Cardy

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