Professor Cardy

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Definindo módulo como uma distância

O módulo de um número Real `x` pode ser definido como a distância entre a abscissa de `x` no Eixo Real com a origem do Eixo. Denotamos o módulo de `x` como `|x|`.

Tal definição é conforme a definição geral para Complexos, veja aqui

Se você leu o artigo para números Complexos citado acima, temos se `x` é um número Complexo e Real, `z` escrito na forma algébrica para a ser `x=x+0i`, porque sua parte imaginária é `0` (todo número Complexo é Real, mas nem todo Real é Complexo). Assim, temos que `|x| = \sqrt{x^2+0^2} = \sqrt{x^2}`. Logo, se `x` for real, também podemos usar a identidade:

`|x| = \sqrt{x^2}`

 


Cardica

Em Matemática temos várias formas de definir distâncias. Depende de como desejamos aplicar a definição. No caso de agora usamos o mesmo conceito de distância usado na Geometria Plana (Geometria Euclideana); onde, entre outras propriedades, a mais importante é que uma distância não pode ser negativa. Distância será um número real não negativo.

Muitas vezes se pede que seja calculada uma distância. Assim, não se espante que se peça "Calcule `|x|` - um modo de interpretar isso é que se deseja saber "qual é a distância da abscissa de `x` a origem.

Sob esse ponto de vista, que `|x|` é um tipo de conta, de cálculo... chamamos `x` de modulando porque é dele que estamos calculando o módulo.

Algumas propriedades úteis a respeito de módulo de número Real:

  1. `|x_1|*|x_2| = |x_1 * x_2|` — o produto dos módulos é o módulo do produto.
  2. `|x_1|/|x_2| = |x_1 / x_2|` — o quociente dos módulos é o módulo do produto (com `x_2 != 0`).
  3. `|x^n| =|x|^n` — o modulo da potência é a potência do módulo (com `n` um número inteiro). Quando `n` é natural não nulo essa decorre da propriedade (1).

 

1

Exemplo 1


Calcule `|3|`.


Resolução


Veja que `|3|` tem modulando `3`. A distância de `3` até a origem é `3`.

 

Portanto, `|3| = 3 `

2

Exemplo 2


Calcule `|-2|`.


Resolução


 

Veja que `|-2|` tem modulando `-2`. A distância de `-2` até a origem é `2`.

 

Portanto, `|-2| = 2 `

Cardica

Pode-se dizer que `|x| = x` se `x >=0` e `|x| = -x` se `x < 0`

Mas não saia por aí dizendo descuidosamente a seguinte BITOLA que: quando o modulando é negativo, você copia-o, mas sem o sinal! Isso dá certo em casos bem bestinhas (e se encontrá-los, mande ver mesmo, faça - por exemplo `|-6| = 6`).

Numa situação com modulandos mais elaborados: CUIDADO. Algo como ` |\sqrt{2}-\sqrt{3}|` pode levar uma pessoa a copiar os números sem o sinal... Talvez ficasse assim `\sqrt{3}\sqrt{2}`. ERRADO.

Antes de usar qualquer atalho, veja as possíveis restrições para você não fazer mecanicamente coisas de maneira que não entende. Muitas dicas tem a intenção de facilitar e dar rapidez - porém isso não tira a responsabilidade do praticante de entender quando, onde e como isso é possível.

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Exemplo 3


Calcule `|\sqrt{2}-\sqrt{3}|`.


Resolução


Veja que ` |\sqrt{2}-\sqrt{3}|` tem modulando `\sqrt{2}-\sqrt{3}`. Como `\sqrt{2} < \sqrt{3}`, então, `\sqrt{2}-\sqrt{3} < 0`.

Usando a Cardica:

` |\sqrt{2}-\sqrt{3}| = -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-\sqrt{2}`.

Matemática de Loterias



As pessoas normalmente fazem apostas na Mega Sena, pelo valor acumulado mais alto ou pelo simples hábito. Sabemos que a probabilidade de levar o prêmio principal é bem baixo. Contudo, será que vale mais a pena apostar numa Mega Sena que pode pagar R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões?

Pensar exclusivamente na questão PROBABILIDADE é a melhor referência. Porém, aliado a isso, o VALOR DO PRÊMIO e o VALOR DA APOSTA também são interessantes de levar em conta. Vale mais a pena gastar seus REAIS na MEGA SENA que paga R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões? A probabilidade da Timemania é melhor (em relação à da Mega) e o valor da aposta é mais baixo.

É certo que O VALOR ALTO DE PRÊMIO seduz muito e valor baixo desmotiva o interesse. Porém, se o valor alto vem de um jogo cujas chances de ganho são muito discrepantes no confronto direto, muitas vezes é mais interessante ir atrás de um prêmio menor se as suas chances de êxito vencem, mesmo sendo uma premiação inferior.

De acordo com a relação PRÊMIO A CONQUISTAR e PROBABILIDADE DE LEVAR, CUSTO DA APOSTA, eu calculei uma NOTA DE MAIS VALIA. Veja na ORDEM (de cima para baixo) onde vale mais a pena (NOTA 100) gastar seu real até onde menos vale a pena apostar, levando tudo isso em consideração

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