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Fórmulas de Prostaférese

As fórmulas de Prostaférese (ou fórmulas de transformação de soma em produto) são muito importantes para o seu acervo trigonométrico e já podem ter sido apresentadas para você. Contudo, nem sempre são aprendidas com esses nomes, mas não são raros os cursos que as ensinam.

Para quem não conhece, saiba que vão ajudar e, uma das várias aplicações, é a resolução de algumas equações trigonométricas. Repare:

Resolver a equação sen5x + senx = 0 — se o primeiro membro da equação estivesse na forma de produto em vez de duas parcelas, certamente ficaria mais fácil porque resolver uma equação na forma A(x).B(x) = 0 implica diretamente que A(x) = 0 ou B(x) = 0.

Mais fácil? Bem, ainda não sabemos se é possível passar sen5x + senx para a forma de produto, porém tente resolver sen5x + senx = 0 antes da informação que Prostaférese auxilia e decida-se adiante o valor do ser ou não ser mais fácil.

Fórmula de Prostaférese para senos.

Exemplo - transforme em produto: senx + seny

   
 

Partimos das identidades:

Se adicionarmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se:

Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

 

 

Exemplo - transforme em produto: senx - seny

   
 

Partimos das identidades:

Se subtrairmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se:

Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

 

Fórmula de Prostaférese para co-senos.

Exemplo - transforme em produto: cosx + cosy

   
 

Partimos das identidades:

Se adicionarmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se:

Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

 

 

Exemplo - transforme em produto: cosx + cosy

   
 

Partimos das identidades:

Se subtrairmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se:

Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

 

 

Fórmulas de Prostaférese

Como proposto anteriormente, resolverei a equação:

sen5x + senx = 0

Pode-se transformar a equação em (veja a primeira identidade no quadro ao lado)

2(sen3x)(cos2x) = 0

Assim, deve-se ter que sen3x = 0 ou cos2x = 0.

Veja cada um destes casos, detalhados a seguir (com a resolução em IR).

1º caso : sen3x = 0

O arco 3x é um múltiplo de 180° para que o seu seno seja nulo. Exemplos:

3x
sen3x
x
sen0° = 0
180º
sen180° = 0
60º
360º
sen360° = 0
120°
...
...
n.180°
n.60º

x = n.60° para todo inteiro n.

2º caso: cos2x = 0

O arco 2x deve ser um número qualquer de (..., 90°, 270º, 450º, ...) para que o seu co-seno seja nulo. Exemplos:

2x
cos2x
x
90º
cos90° = 0
45º
270º
cos270º = 0
135º
450º
cos450º = 0
225°
...
...
90º +n.180°
45° + n.90º

x = 45° + n.90º para todo inteiro n.

Avançado

É possível transformar uma dupla de seno e co-seno em um só co-seno. Basta determinar as constantes A, B e C para que a identidade ao lado seja válida.
Teorema
     
 

Seja a e b números reais com a > 0. Tem-se que é válido:

Onde e com

Demonstração:

Dado que , então b = a.tanC

Podemos escrever

Agora asecC pode ser reescrita.

Como e a > 0, então asecC > 0

Assim,

mathematics
mathematics
exercício
mathematics
mathematics

Tente provar que a imagem da função:
f(x) = 3cos2x + 4sen2x

É o conjunto [-5, 5]

mathematics

 

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