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As fórmulas de Prostaférese (ou fórmulas de transformação de soma em produto) são muito importantes para o seu acervo trigonométrico e já podem ter sido apresentadas para você. Contudo, nem sempre são aprendidas com esses nomes, mas não são raros os cursos que as ensinam.

Para quem não conhece, saiba que vão ajudar e, uma das várias aplicações, é a resolução de algumas equações trigonométricas.

Fórmulas de Prostaférese são excelente para

 

Resolver equações como `senA + senB = 0` — se o primeiro membro da equação estivesse na forma de produto em vez de duas parcelas, certamente ficaria mais fácil porque resolver uma equação na forma `F(x)*G(x) = 0` implica diretamente que `F(x) = 0` ou `G(x) = 0`.

 

Primeiramente vamos precisar das seguintes relações

`\text{(I) } \text{sen}(a+b) = \text{sen}a*\text{cos}b+\text{sen}b*\text{cos}a`

`\text{(II) } \text{sen}(a-b) = \text{sen}a*\text{cos}b-\text{sen}b*\text{cos}a`

 

`\text{(III) } \text{cos}(a+b) = \text{cos}a*\text{cos}b-\text{sen}a*\text{sen}b`

`\text{(IV) } \text{cos}(a-b) = \text{cos}a*\text{cos}b+\text{sen}a*\text{sen}b`

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Exemplo 1


Transforme em produto a expressão `\text{sen}x + \text{sen}y`.


Resolução

Partindo das identidades `I` e `II`:

`{(\text{sen}(a+b) = \text{sen}a*\text{cos}b+\text{sen}b*\text{cos}a), (\text{sen}(a-b) = \text{sen}a*\text{cos}b-\text{sen}b*\text{cos}a):}`

E somando-as, termo a termo, chegamos em:

`\frac{+{(\text{sen}(a+b) = \text{sen}a*\text{cos}b+\text{sen}b*\text{cos}a), (\text{sen}(a-b) = \text{sen}a*\text{cos}b-\text{sen}b*\text{cos}a):}}{\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b)=2*\text{sen}a*\text{cos}b}`

A identidade `\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b)=2*\text{sen}a*\text{cos}b` pode ser melhor trabalhada chamando simultaneamente `a+b` por `x` e chamando `a-b` por `y`. Desse modo chegamos em:

`{(a+b=x),(a-b=y):}`

Ao resolver esse último sistema obtemos `a=\frac{x+y}{2}` e que `b=\frac{x-y}{2}` que, na referida identidade acima, passa a ser escrita como:

`\text{sen}(x)+\text{sen}(y)=2*\text{sen}(\frac{x+y}{2})\text{cos}(\frac{x-y}{2})`

Esta é uma das Fórmulas de Prostaférese.

2

Exemplo 2


Transforme em produto a expressão `\text{sen}x - \text{sen}y`.


Resolução

Partindo das identidades `I` e `II`:

`{(\text{sen}(a+b) = \text{sen}a*\text{cos}b+\text{sen}b*\text{cos}a), (\text{sen}(a-b) = \text{sen}a*\text{cos}b-\text{sen}b*\text{cos}a):}`

E subtraindo-as, termo a termo, chegamos em:

`\frac{-{(\text{sen}(a+b) = \text{sen}a*\text{cos}b+\text{sen}b*\text{cos}a), (\text{sen}(a-b) = \text{sen}a*\text{cos}b-\text{sen}b*\text{cos}a):}}{\text{sen}(a+b)-\text{sen}(a-b)=2*\text{sen}b*\text{cos}a}`

A identidade `\text{sen}(a+b)-\text{sen}(a-b)=2*\text{sen}b*\text{cos}a` pode ser melhor trabalhada chamando simultaneamente `a+b` por `x` e chamando `a-b` por `y`. Desse modo chegamos em:

`{(a+b=x),(a-b=y):}`

Ao resolver esse último sistema obtemos `a=\frac{x+y}{2}` e que `b=\frac{x-y}{2}` que, na referida identidade acima, passa a ser escrita como:

`\text{sen}(x)-\text{sen}(y)=2*\text{sen}(\frac{x-y}{2})\text{cos}(\frac{x+y}{2})`

Esta é outra Fórmula de Prostaférese.

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Exemplo 3


Transforme em produto a expressão `\text{cos}x + \text{cos}y`.


Resolução

Partindo das identidades `III` e `IV`:

`{(\text{cos}(a+b) = \text{cos}a*\text{cos}b-\text{sen}a*\text{sen}b), (\text{cos}(a-b) = \text{cos}a*\text{cos}b+\text{sen}a*\text{sen}b):}`

E somando-as, termo a termo, chegamos em:

`\frac{+{(\text{cos}(a+b) = \text{cos}a*\text{cos}b-\text{sen}a*\text{sen}b), (\text{cos}(a-b) = \text{cos}a*\text{cos}b+\text{sen}a*\text{sen}b):}}{\text{cos}(a+b)+\text{cos}(a-b)=2*\text{cos}a*\text{cos}b}`

A identidade `\text{cos}(a+b)+\text{cos}(a-b)=2*\text{cos}a*\text{cos}b` pode ser melhor trabalhada chamando simultaneamente `a+b` por `x` e chamando `a-b` por `y`. Desse modo chegamos em:

`{(a+b=x),(a-b=y):}`

Ao resolver esse último sistema obtemos `a=\frac{x+y}{2}` e que `b=\frac{x-y}{2}` que, na referida identidade acima, passa a ser escrita como:

`\text{cos}(x)+\text{cos}(y)=2*\text{cos}(\frac{x+y}{2})\text{cos}(\frac{x-y}{2})`

Esta é outra Fórmula de Prostaférese.

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Exemplo 4


Transforme em produto a expressão `\text{cos}x - \text{cos}y`.


Resolução

Partindo das identidades `III` e `IV`:

`{(\text{cos}(a+b) = \text{cos}a*\text{cos}b-\text{sen}a*\text{sen}b), (\text{cos}(a-b) = \text{cos}a*\text{cos}b+\text{sen}a*\text{sen}b):}`

E subtraíndo-as, termo a termo, chegamos em:

`\frac{-{(\text{cos}(a+b) = \text{cos}a*\text{cos}b-\text{sen}a*\text{sen}b), (\text{cos}(a-b) = \text{cos}a*\text{cos}b+\text{sen}a*\text{sen}b):}}{\text{cos}(a+b)-\text{cos}(a-b)=-2*\text{sen}a*\text{sen}b}`

A identidade `\text{cos}(a+b)-\text{cos}(a-b)=-2*\text{sen}a*\text{sen}b` pode ser melhor trabalhada chamando simultaneamente `a+b` por `x` e chamando `a-b` por `y`. Desse modo chegamos em:

`{(a+b=x),(a-b=y):}`

Ao resolver esse último sistema obtemos `a=\frac{x+y}{2}` e que `b=\frac{x-y}{2}` que, na referida identidade acima, passa a ser escrita como:

`\text{cos}(x)-\text{cos}(y)=-2*\text{sen}(\frac{x+y}{2})\text{sen}(\frac{x-y}{2})`

Esta é a última das Fórmulas de Prostaférese.

Fórmulas de Prostaférese:

(1) `\text{sen}(x)+\text{sen}(y)=2*\text{sen}(\frac{x+y}{2})\text{cos}(\frac{x-y}{2})`

(2) `\text{sen}(x)-\text{sen}(y)=2*\text{sen}(\frac{x-y}{2})\text{cos}(\frac{x+y}{2})`

(3) `\text{cos}(x)+\text{cos}(y)=2*\text{cos}(\frac{x+y}{2})\text{cos}(\frac{x-y}{2})`

(4) `\text{cos}(x)-\text{cos}(y)=-2*\text{sen}(\frac{x+y}{2})\text{sen}(\frac{x-y}{2})`


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