Professor Cardy

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As fórmulas de Prostaférese (ou fórmulas de transformação de soma em produto) são muito importantes para o seu acervo trigonométrico e já podem ter sido apresentadas para você. Contudo, nem sempre são aprendidas com esses nomes, mas não são raros os cursos que as ensinam.

Para quem não conhece, saiba que vão ajudar e, uma das várias aplicações, é a resolução de algumas equações trigonométricas.

Fórmulas de Prostaférese são excelente para

 

Resolver equações como `senA + senB = 0` — se o primeiro membro da equação estivesse na forma de produto em vez de duas parcelas, certamente ficaria mais fácil porque resolver uma equação na forma `F(x)*G(x) = 0` implica diretamente que `F(x) = 0` ou `G(x) = 0`.

 

Primeiramente vamos precisar das seguintes relações

`\text{(I) } \text{sen}(a+b) = \text{sen}a*\text{cos}b+\text{sen}b*\text{cos}a`

`\text{(II) } \text{sen}(a-b) = \text{sen}a*\text{cos}b-\text{sen}b*\text{cos}a`

 

`\text{(III) } \text{cos}(a+b) = \text{cos}a*\text{cos}b-\text{sen}a*\text{sen}b`

`\text{(IV) } \text{cos}(a-b) = \text{cos}a*\text{cos}b+\text{sen}a*\text{sen}b`

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Exemplo 1


Transforme em produto a expressão `\text{sen}x + \text{sen}y`.


Resolução

Partindo das identidades `I` e `II`:

`{(\text{sen}(a+b) = \text{sen}a*\text{cos}b+\text{sen}b*\text{cos}a), (\text{sen}(a-b) = \text{sen}a*\text{cos}b-\text{sen}b*\text{cos}a):}`

E somando-as, termo a termo, chegamos em:

`\frac{+{(\text{sen}(a+b) = \text{sen}a*\text{cos}b+\text{sen}b*\text{cos}a), (\text{sen}(a-b) = \text{sen}a*\text{cos}b-\text{sen}b*\text{cos}a):}}{\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b)=2*\text{sen}a*\text{cos}b}`

A identidade `\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b)=2*\text{sen}a*\text{cos}b` pode ser melhor trabalhada chamando simultaneamente `a+b` por `x` e chamando `a-b` por `y`. Desse modo chegamos em:

`{(a+b=x),(a-b=y):}`

Ao resolver esse último sistema obtemos `a=\frac{x+y}{2}` e que `b=\frac{x-y}{2}` que, na referida identidade acima, passa a ser escrita como:

`\text{sen}(x)+\text{sen}(y)=2*\text{sen}(\frac{x+y}{2})\text{cos}(\frac{x-y}{2})`

Esta é uma das Fórmulas de Prostaférese.

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Exemplo 2


Transforme em produto a expressão `\text{sen}x - \text{sen}y`.


Resolução

Partindo das identidades `I` e `II`:

`{(\text{sen}(a+b) = \text{sen}a*\text{cos}b+\text{sen}b*\text{cos}a), (\text{sen}(a-b) = \text{sen}a*\text{cos}b-\text{sen}b*\text{cos}a):}`

E subtraindo-as, termo a termo, chegamos em:

`\frac{-{(\text{sen}(a+b) = \text{sen}a*\text{cos}b+\text{sen}b*\text{cos}a), (\text{sen}(a-b) = \text{sen}a*\text{cos}b-\text{sen}b*\text{cos}a):}}{\text{sen}(a+b)-\text{sen}(a-b)=2*\text{sen}b*\text{cos}a}`

A identidade `\text{sen}(a+b)-\text{sen}(a-b)=2*\text{sen}b*\text{cos}a` pode ser melhor trabalhada chamando simultaneamente `a+b` por `x` e chamando `a-b` por `y`. Desse modo chegamos em:

`{(a+b=x),(a-b=y):}`

Ao resolver esse último sistema obtemos `a=\frac{x+y}{2}` e que `b=\frac{x-y}{2}` que, na referida identidade acima, passa a ser escrita como:

`\text{sen}(x)-\text{sen}(y)=2*\text{sen}(\frac{x-y}{2})\text{cos}(\frac{x+y}{2})`

Esta é outra Fórmula de Prostaférese.

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Exemplo 3


Transforme em produto a expressão `\text{cos}x + \text{cos}y`.


Resolução

Partindo das identidades `III` e `IV`:

`{(\text{cos}(a+b) = \text{cos}a*\text{cos}b-\text{sen}a*\text{sen}b), (\text{cos}(a-b) = \text{cos}a*\text{cos}b+\text{sen}a*\text{sen}b):}`

E somando-as, termo a termo, chegamos em:

`\frac{+{(\text{cos}(a+b) = \text{cos}a*\text{cos}b-\text{sen}a*\text{sen}b), (\text{cos}(a-b) = \text{cos}a*\text{cos}b+\text{sen}a*\text{sen}b):}}{\text{cos}(a+b)+\text{cos}(a-b)=2*\text{cos}a*\text{cos}b}`

A identidade `\text{cos}(a+b)+\text{cos}(a-b)=2*\text{cos}a*\text{cos}b` pode ser melhor trabalhada chamando simultaneamente `a+b` por `x` e chamando `a-b` por `y`. Desse modo chegamos em:

`{(a+b=x),(a-b=y):}`

Ao resolver esse último sistema obtemos `a=\frac{x+y}{2}` e que `b=\frac{x-y}{2}` que, na referida identidade acima, passa a ser escrita como:

`\text{cos}(x)+\text{cos}(y)=2*\text{cos}(\frac{x+y}{2})\text{cos}(\frac{x-y}{2})`

Esta é outra Fórmula de Prostaférese.

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Exemplo 4


Transforme em produto a expressão `\text{cos}x - \text{cos}y`.


Resolução

Partindo das identidades `III` e `IV`:

`{(\text{cos}(a+b) = \text{cos}a*\text{cos}b-\text{sen}a*\text{sen}b), (\text{cos}(a-b) = \text{cos}a*\text{cos}b+\text{sen}a*\text{sen}b):}`

E subtraíndo-as, termo a termo, chegamos em:

`\frac{-{(\text{cos}(a+b) = \text{cos}a*\text{cos}b-\text{sen}a*\text{sen}b), (\text{cos}(a-b) = \text{cos}a*\text{cos}b+\text{sen}a*\text{sen}b):}}{\text{cos}(a+b)-\text{cos}(a-b)=-2*\text{sen}a*\text{sen}b}`

A identidade `\text{cos}(a+b)-\text{cos}(a-b)=-2*\text{sen}a*\text{sen}b` pode ser melhor trabalhada chamando simultaneamente `a+b` por `x` e chamando `a-b` por `y`. Desse modo chegamos em:

`{(a+b=x),(a-b=y):}`

Ao resolver esse último sistema obtemos `a=\frac{x+y}{2}` e que `b=\frac{x-y}{2}` que, na referida identidade acima, passa a ser escrita como:

`\text{cos}(x)-\text{cos}(y)=-2*\text{sen}(\frac{x+y}{2})\text{sen}(\frac{x-y}{2})`

Esta é a última das Fórmulas de Prostaférese.

Fórmulas de Prostaférese:

(1) `\text{sen}(x)+\text{sen}(y)=2*\text{sen}(\frac{x+y}{2})\text{cos}(\frac{x-y}{2})`

(2) `\text{sen}(x)-\text{sen}(y)=2*\text{sen}(\frac{x-y}{2})\text{cos}(\frac{x+y}{2})`

(3) `\text{cos}(x)+\text{cos}(y)=2*\text{cos}(\frac{x+y}{2})\text{cos}(\frac{x-y}{2})`

(4) `\text{cos}(x)-\text{cos}(y)=-2*\text{sen}(\frac{x+y}{2})\text{sen}(\frac{x-y}{2})`

Matemática de Loterias



As pessoas normalmente fazem apostas na Mega Sena, pelo valor acumulado mais alto ou pelo simples hábito. Sabemos que a probabilidade de levar o prêmio principal é bem baixo. Contudo, será que vale mais a pena apostar numa Mega Sena que pode pagar R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões?

Pensar exclusivamente na questão PROBABILIDADE é a melhor referência. Porém, aliado a isso, o VALOR DO PRÊMIO e o VALOR DA APOSTA também são interessantes de levar em conta. Vale mais a pena gastar seus REAIS na MEGA SENA que paga R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões? A probabilidade da Timemania é melhor (em relação à da Mega) e o valor da aposta é mais baixo.

É certo que O VALOR ALTO DE PRÊMIO seduz muito e valor baixo desmotiva o interesse. Porém, se o valor alto vem de um jogo cujas chances de ganho são muito discrepantes no confronto direto, muitas vezes é mais interessante ir atrás de um prêmio menor se as suas chances de êxito vencem, mesmo sendo uma premiação inferior.

De acordo com a relação PRÊMIO A CONQUISTAR e PROBABILIDADE DE LEVAR, CUSTO DA APOSTA, eu calculei uma NOTA DE MAIS VALIA. Veja na ORDEM (de cima para baixo) onde vale mais a pena (NOTA 100) gastar seu real até onde menos vale a pena apostar, levando tudo isso em consideração

A TABELA A SEGUIR MUDA DE ACORDO COM OS VALORES DOS PRÊMIOS, CUSTOS e REGRAS. CONFIRA A ANÁLISE NA DATA INFORMADA.

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