Fórmulas de Prostaférese

As fórmulas de Prostaférese (ou fórmulas de transformação de soma em produto) são muito importantes para o seu acervo trigonométrico e já podem ter sido apresentadas para você. Contudo, nem sempre são aprendidas com esses nomes, mas não são raros os cursos que as ensinam.

Para quem não conhece, saiba que vão ajudar e, uma das várias aplicações, é a resolução de algumas equações trigonométricas. Repare:

Resolver a equação sen5x + senx = 0 — se o primeiro membro da equação estivesse na forma de produto em vez de duas parcelas, certamente ficaria mais fácil porque resolver uma equação na forma A(x).B(x) = 0 implica diretamente que A(x) = 0 ou B(x) = 0.

Mais fácil? Bem, ainda não sabemos se é possível passar sen5x + senx para a forma de produto, porém tente resolver sen5x + senx = 0 antes da informação que Prostaférese auxilia e decida-se adiante o valor do ser ou não ser mais fácil.

Fórmula de Prostaférese para senos.

	Exemplo - transforme em produto: senx + seny
	Partimos das identidades: Se adicionarmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se: Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

	Exemplo - transforme em produto: senx - seny
	Partimos das identidades: Se subtrairmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se: Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

Fórmula de Prostaférese para co-senos.

	Exemplo - transforme em produto: cosx + cosy
	Partimos das identidades: Se adicionarmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se: Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

	Exemplo - transforme em produto: cosx + cosy
	Partimos das identidades: Se subtrairmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se: Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

Como proposto anteriormente, resolverei a equação:

sen5x + senx = 0

Pode-se transformar a equação em (veja a primeira identidade no quadro ao lado)

2(sen3x)(cos2x) = 0

Assim, deve-se ter que sen3x = 0 ou cos2x = 0.

Veja cada um destes casos, detalhados a seguir (com a resolução em IR).

1º caso : sen3x = 0

2º caso: cos2x = 0

 

Avançado

É possível transformar uma dupla de seno e co-seno em um só co-seno. Basta determinar as constantes A, B e C para que a identidade ao lado seja válida. Teorema         Seja a e b números reais com a > 0. Tem-se que é válido: Onde e com Demonstração: Dado que , então b = a.tanC Podemos escrever Agora asecC pode ser reescrita. Como e a > 0, então asecC > 0 Assim, exercício Tente provar que a imagem da função: f(x) = 3cos2x + 4sen2x É o conjunto [-5, 5]

Professor Cardy