Erros envolvendo Potências ou Radicais
Ao escrever:
$$-3^2$$
...e fazer:
$$-3^2=9$$
... o certo é:
$$-3^2=-9$$
O expoente $$2$$ é relativo à base $$3$$. Repare que $$-3^2=-3*3=-9$$.
Se fosse $$(-3)^2$$ o expoente $$2$$ seria para a base $$-3$$. Repare que, neste caso, seria $$(-3)^2=(-3)*(-3)=9$$.
Ao escrever:
$$(-2^3)^2$$
...e fazer:
$$(-2^3)^2=-2^{3*2}=-2^6$$
... o certo é:
$$(-2^3)^2=(2^3)^2=$$
$$=2^{3*2}=2^6$$
A propriedade, mais elementar, com $$a>0$$ temos $$(a^x)^y = a^{x*y}$$ não pode ser aplicada neste caso, pois temos o sinal de menos '-' na frente do $$2$$ em $$(-2^3)^2$$.
Precisamos recorrer a outra propriedade, mais avançada, que dita que:
Para $$a>0$$ e $$y$$ PAR: $$(-a^x)^y = (a^x)^y=a^{x*y}$$.
E, se fosse necessário, o complemento da propriedade acima:
Para $$a>0$$ e $$y$$ ÍMPAR: $$(-a^x)^y = -(a^x)^y=-a^{x*y}$$.
Ao escrever:
$$\sqrt{x^2}$$
...e fazer:
$$\sqrt{x^2}=x$$
... o certo é:
$$\sqrt{x^2}=|x|$$
Isso seria correto apenas para $$x>=0$$. Repare que, para um $$x<0$$, por exemplo, $$x = -2$$ que $$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{(-2)*(-2)}=\sqrt{4}=2$$.
Ou seja, $$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$$.
Ao escrever:
$$3^2*3^5$$
...e fazer:
$$3^2*3^5=9^7$$
... o certo é:
$$3^2*3^5=3^{2+5}=3^7$$
A propriedade para produto de potências de mesma base; mantem-se a base e somam-se os expoentes.
Para $$b>0$$ temos $$b^x*b^y=b^{x+y}$$.
Ao escrever:
$$(b^2)^7$$
...e fazer:
$$(b^2)^7=b^{2+7}=b^9$$
... o certo é:
$$(b^2)^7=b^{2*7}=b^14$$
A propriedade para potência de potência; mantem-se a base e multiplicam-se os expoentes.
Para $$b>0$$ temos $$(b^x)^y=b^{x*y}$$.
Ao escrever:
$$(3a)^4$$
...e fazer:
$$(3a)^4=3a^4$$
... o certo é:
$$(3a)^4=3^4*a^4=$$
$$=81a^4$$
Para potência do produto, ou seja, $$(ab)^x$$; temos (com $$a>0$$ e $$b>0$$) que $$(ab)^x=(a^x)*(b^x)=a^x*b^x$$.
Ao escrever:
$$3x^{-1}$$
...e fazer:
$$3x^{-1}=\frac{1}{3x}$$
... o certo é:
$$3x^{-1}=3*\frac{1}{x}=\frac{3}{x}$$
O expoente $$-1$$ é apenas para a base $$x$$. Lembrando que $$x^{-1}=1/x$$, para $$x !=0$$.
Se fosse $$(3x)^{-1}$$, então $$(3x)^{-1}= \frac{1}{3x}$$.
Ao escrever:
$$(x+y)^2$$
...e fazer:
$$(x+y)^2=x^2+y^2$$
... o certo é:
$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$
É um caso de Produto Notável, sabia mais clique aqui
Ao escrever:
$$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$$
Para $$x>=0$$ e $$y>=0$$.
...e fazer:
$$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$$
$$=(\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2$$
$$=x+y$$
... o certo é:
$$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$$
$$=(\sqrt{x})^2+2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2$$
$$=x+2\sqrt{xy} + y$$
É o mesmo caso de Produto Notável do exemplo anterior, sabia mais clique aqui
Erros envolvendo Fração
Ao escrever:
$$\frac{r}{7}-\frac{x-3}{7}$$
...e fazer:
$$\frac{r}{7}-\frac{x-3}{7}=\frac{r-x-3}{7}$$
... o certo é:
$$\frac{r}{7}-\frac{x-3}{7}=\frac{r-(x-3)}{7}$$ $$=\frac{r-x+3}{7}$$
O sinal de '-' é para toda a fração $$-\frac{x-3}{7}$$ e não apenas para o $$x$$, porque é o que 'vem na frente'.
$$-\frac{x-3}{7}=\frac{-(x-3)}{7}=\frac{-x+3}{7}$$
Ao escrever:
$$(\frac{1}{r}-\frac{1}{s})^{-1}$$
...e fazer:
$$(\frac{1}{r}-\frac{1}{s})^{-1}=r-s$$
... o certo é:
$$(\frac{1}{r}-\frac{1}{s})^{-1}=(\frac{s-r}{rs})^{-1}$$ $$=\frac{rs}{s-r}$$
Lembrando que $$(a/b)^{-1}=b/a$$, para $$a !=0$$ e $$b !=0$$; primeiro simplificamos a expressão $$(\frac{1}{r}-\frac{1}{s})$$ para que ela forme uma única fração: $$(\frac{s-r}{rs})$$. E, somente depois disso, usamos a propriedade aqui citada, $$(a/b)^{-1}=b/a$$.