Cardicas > Erros Comuns em Matemática
Muitos erros se poderiam evitar nos estudos da Matemática se prestássemos mais atenção... Sim, é uma frase batida e sei que em nada ajuda se não soubermos em quê prestar atenção.
Muitas das vezes a maior culpada dos nossos erros algébricos é uma simplificação feita de forma errada.
Vamos aqui ver (e evitar) os erros de simplificação mais comuns.
Os erros apresentados são exemplos onde você precisa investigar as eventuais adaptações possíveis para se adequarem em situações análogas, parecidas na estrutura algébrica...
Por exemplo, exemplifico que ao se deparar com algo do tipo `\sqrt{4}` o certo é `\sqrt{4}=2`. Mas poderia ser `\sqrt{16}=4` ou `\sqrt{81}=9`, etc... Essas adaptações também são exercícios para o seu melhor entendimento da álgebra.
Erros envolvendo Potências ou Radicais
Dado |
Errado! |
Certo! |
`\sqrt{4}` |
`\sqrt{4} = +- 2` |
`\sqrt{4}=2` |
♦ Explicação |
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`-3^2` |
`-3^2=9` |
`-3^2=-9` |
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♦ Explicação O expoente `2` é relativo à base `3`. Repare que `-3^2=-3*3=-9`. Se fosse `(-3)^2` o expoente `2` seria para a base `-3`. Repare que, neste caso, seria `(-3)^2=(-3)*(-3)=9`. |
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`(-2^3)^2` |
`(-2^3)^2=-2^{3*2}=-2^6` |
`(-2^3)^2=(2^3)^2=` |
♦ Explicação A propriedade, mais elementar, com `a>0` temos `(a^x)^y = a^{x*y}` não pode ser aplicada neste caso, pois temos o sinal de menos '-' na frente do `2` em `(-2^3)^2`. Precisamos recorrer a outra propriedade, mais avançada, que dita que: Para `a>0` e `y` PAR: `(-a^x)^y = (a^x)^y=a^{x*y}`. E, se fosse necessário, o complemento da propriedade acima: Para `a>0` e `y` ÍMPAR: `(-a^x)^y = -(a^x)^y=-a^{x*y}`. |
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`\sqrt{x^2}` |
`\sqrt{x^2}=x` |
`\sqrt{x^2}=|x|` |
♦ Explicação Isso seria correto apenas para `x>=0`. Repare que, para um `x<0`, por exemplo, `x = -2` que `\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{(-2)*(-2)}=\sqrt{4}=2`. Ou seja, `\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2`. |
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`3^2*3^5` |
`3^2*3^5=9^7` |
`3^2*3^5=3^{2+5}=3^7` |
♦ Explicação A propriedade para produto de potências de mesma base; mantem-se a base e somam-se os expoentes. Para `b>0` temos `b^x*b^y=b^{x+y}`. |
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`(b^2)^7` |
`(b^2)^7=b^{2+7}=b^9` |
`(b^2)^7=b^{2*7}=b^14` |
♦ Explicação A propriedade para potência de potência; mantem-se a base e multiplicam-se os expoentes. Para `b>0` temos `(b^x)^y=b^{x*y}`. |
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`(3a)^4` |
`(3a)^4=3a^4` |
`(3a)^4=3^4*a^4=` `=81a^4` |
♦ Explicação Para potência do produto, ou seja, `(ab)^x`; temos (com `a>0` e `b>0`) que `(ab)^x=(a^x)*(b^x)=a^x*b^x`. |
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`3x^{-1}` |
`3x^{-1}=\frac{1}{3x}` |
`3x^{-1}=3*\frac{1}{x}=\frac{3}{x}` |
♦ Explicação O expoente `-1` é apenas para a base `x`. Lembrando que `x^{-1}=1/x`, para `x !=0`. Se fosse `(3x)^{-1}`, então `(3x)^{-1}= \frac{1}{3x}`. |
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`(x+y)^2` |
`(x+y)^2=x^2+y^2` |
`(x+y)^2=x^2+2xy+y^2` |
♦ Explicação É um caso de Produto Notável, sabia mais clique aqui |
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`(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2` Para `x>=0` e `y>=0`. |
`(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2` |
`(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2` |
♦ Explicação É o mesmo caso de Produto Notável do exemplo anterior, sabia mais clique aqui |
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Erros envolvendo Frações
Dado |
Errado! |
Certo! |
`\frac{r}{7}-\frac{x-3}{7}` |
`\frac{r}{7}-\frac{x-3}{7}=\frac{r-x-3}{7}` |
`\frac{r}{7}-\frac{x-3}{7}=\frac{r-(x-3)}{7}` |
♦ Explicação O sinal de '-' é para toda a fração `-\frac{x-3}{7}` e não apenas para o `x`, porque é o que 'vem na frente'. `-\frac{x-3}{7}=\frac{-(x-3)}{7}=\frac{-x+3}{7}` |
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`(\frac{1}{r}-\frac{1}{s})^{-1}` |
`(\frac{1}{r}-\frac{1}{s})^{-1}=r-s` |
`(\frac{1}{r}-\frac{1}{s})^{-1}=(\frac{s-r}{rs})^{-1}` |
♦ Explicação Lembrando que `(a/b)^{-1}=b/a`, para `a !=0` e `b !=0`; primeiro simplificamos a expressão `(\frac{1}{r}-\frac{1}{s})` para que ela forme uma única fração: `(\frac{s-r}{rs})`. E, somente depois disso, usamos a propriedade aqui citada, `(a/b)^{-1}=b/a`. |
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