Professor Cardy

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OBS. Não acompanha o conteúdo do site, apenas o domínio.

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Tome a série infinita $$1 -1+1-1+1-1+1-1+1 ... (-1)^n+ ...$$ $$(n in \mathbb{N}, n >0)$$ cujo resultado vou denominar $$S$$. Ou seja:

$$S =1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...$$

1

1º caso


Provar que 0 = 1.


Demontração


Agrupamento (1)

Tomemos a série $$S = 1 -1+1-1+1-1+1-1 ... $$ e agrupemos da seguinte forma:

$$S = S_1 = (1 -1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+ ... $$

Repare que todas as duplas de parcelas sem soma $$0$$. Logo:

$$S = S_1 = 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... = 0$$

 

Agrupamento (2)

Tomemos a série $$S = 1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...$$ e agrupemos da seguinte forma:

$$S = S_2 = 1 + (-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ ...$$

Repare que todas as duplas de parcelas sem soma $$0$$. Logo:

$$S = S_2 = 1+ 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... = 1$$

 

Como $$S = S_1 $$ e $$S=S_2$$, temos que $$S_1=S_2$$. Ou seja:

$$S_1=S_2$$

$$0 = 1$$

Pasme! Não é verdade? Não? Então onde está o erro?
2

2º caso


Provar que 0 = 1


Demosntração

Tomemos a série $$S = 1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...$$ e subtraimos 1 dos dois membros (de modo informal, vamos 'passar' o primeiro$$1$$ do segundo membro para o primeiro membro):

$$S -1 = -1+1-1+1-1+1-1+ ...$$ (I)

Repare que o segundo membro é, termo a termo, o oposto da série $$1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...$$. Viu? Aqui é como se cada parcela do segundo membro de (I) é como se fosse multiplicada por $$-1$$. Portanto:

$$S -1 = -(1-1+1-1+1-1 + ...)$$

$$S -1 = -S$$

Agora, 'passamos' $$-S$$ para o primeiro membro e o $$1$$ para o segundo, e resolvemos a equação:

$$S+S=1$$

$$2S=1$$

$$S=1/2$$

Portanto, $$S=1/2$$ e como $$S = 0 = 1$$ do primeiro caso, temos que:

$$0=1=1/2$$

Não é verdade? Não? Então onde está o erro?