Tome a série infinita `1 -1+1-1+1-1+1-1+1 ... (-1)^n+ ...` `(n in \mathbb{N}, n >0)` cujo resultado vou denominar `S`. Ou seja:

`S =1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...`

1

1º caso


Provar que 0 = 1.


Demontração


Agrupamento (1)

Tomemos a série `S = 1 -1+1-1+1-1+1-1 ... ` e agrupemos da seguinte forma:

`S = S_1 = (1 -1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+ ... `

Repare que todas as duplas de parcelas sem soma `0`. Logo:

`S = S_1 = 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... = 0`

 

Agrupamento (2)

Tomemos a série `S = 1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...` e agrupemos da seguinte forma:

`S = S_2 = 1 + (-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ ...`

Repare que todas as duplas de parcelas sem soma `0`. Logo:

`S = S_2 = 1+ 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... = 1`

 

Como `S = S_1 ` e `S=S_2`, temos que `S_1=S_2`. Ou seja:

`S_1=S_2`

`0 = 1`

Pasme! Não é verdade? Não? Então onde está o erro?
2

2º caso


Provar que 0 = 1


Demosntração

Tomemos a série `S = 1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...` e subtraimos 1 dos dois membros (de modo informal, vamos 'passar' o primeiro`1` do segundo membro para o primeiro membro):

`S -1 = -1+1-1+1-1+1-1+ ...` (I)

Repare que o segundo membro é, termo a termo, o oposto da série `1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...`. Viu? Aqui é como se cada parcela do segundo membro de (I) é como se fosse multiplicada por `-1`. Portanto:

`S -1 = -(1-1+1-1+1-1 + ...)`

`S -1 = -S`

Agora, 'passamos' `-S` para o primeiro membro e o `1` para o segundo, e resolvemos a equação:

`S+S=1`

`2S=1`

`S=1/2`

Portanto, `S=1/2` e como `S = 0 = 1` do primeiro caso, temos que:

`0=1=1/2`

Não é verdade? Não? Então onde está o erro?

 

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