Tome a série infinita $$1 -1+1-1+1-1+1-1+1 ... (-1)^n+ ...$$ $$(n in \mathbb{N}, n >0)$$ cujo resultado vou denominar $$S$$. Ou seja:
$$S =1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...$$
1º caso
Provar que 0 = 1.
Demontração
Agrupamento (1)
Tomemos a série $$S = 1 -1+1-1+1-1+1-1 ... $$ e agrupemos da seguinte forma:
$$S = S_1 = (1 -1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+ ... $$
Repare que todas as duplas de parcelas sem soma $$0$$. Logo:
$$S = S_1 = 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... = 0$$
Agrupamento (2)
Tomemos a série $$S = 1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...$$ e agrupemos da seguinte forma:
$$S = S_2 = 1 + (-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ ...$$
Repare que todas as duplas de parcelas sem soma $$0$$. Logo:
$$S = S_2 = 1+ 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... = 1$$
Como $$S = S_1 $$ e $$S=S_2$$, temos que $$S_1=S_2$$. Ou seja:
$$S_1=S_2$$
$$0 = 1$$
Pasme! Não é verdade? Não? Então onde está o erro?2º caso
Provar que 0 = 1
Demosntração
Tomemos a série $$S = 1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...$$ e subtraimos 1 dos dois membros (de modo informal, vamos 'passar' o primeiro$$1$$ do segundo membro para o primeiro membro):
$$S -1 = -1+1-1+1-1+1-1+ ...$$ (I)
Repare que o segundo membro é, termo a termo, o oposto da série $$1 -1+1-1+1-1+1-1+ ...$$. Viu? Aqui é como se cada parcela do segundo membro de (I) é como se fosse multiplicada por $$-1$$. Portanto:
$$S -1 = -(1-1+1-1+1-1 + ...)$$
$$S -1 = -S$$
Agora, 'passamos' $$-S$$ para o primeiro membro e o $$1$$ para o segundo, e resolvemos a equação:
$$S+S=1$$
$$2S=1$$
$$S=1/2$$
Portanto, $$S=1/2$$ e como $$S = 0 = 1$$ do primeiro caso, temos que:
$$0=1=1/2$$
Não é verdade? Não? Então onde está o erro?