Uma função não é necessariamente uma conta, apesar de vermos quase todas as funções descritas nos livros de Matemática como cálculos - não são restritas ao universo algébrico.

Por exemplo, a função "conjugar na primeira pessoa do singular um verbo x no presente" onde eu denotarei por C(x). Esta função C irá associar ao x (variável, um verbo qualquer, no infinitivo) a uma única frase. Repare:

C(andar) = Eu ando

Assim está associado o elemento "andar" exclusivamente com o elemento "Eu ando". Ou seja: andar → Eu ando

C(estudar) = Eu estudo

Assim está associado o elemento "estudar" exclusivamente com o elemento "Eu ando". Ou seja: estudar → Eu estudo

Viu? Nem sempre precisamos de cálculos para entender os fundamentos do conceito de função.

 

Ainda como outro exemplo, vou definir a função T(x) como sendo a função que toma uma frase "x" na língua portuguesa e completa com os dizeres " todos os dias".

T(Vamos ao clube) = Vamos ao clube todos os dias

Assim está associado o elemento "Vamos ao clube" exclusivamente com o elemento "Vamos ao clube todos os dias". Ou seja: Vamos ao clube → Vamos ao clube todos os dias.

T(Penso em você) = Penso em você todos os dias

Assim está associado o elemento "Vamos ao clube" exclusivamente com o elemento "Vamos ao clube todo dia". Ou seja: Vamos ao clube → Vamos ao clube todo dia.

 

Função Composta

E se, usando os exemplos anteriores, eu usasse [para iniciar toda essa prosa] apenas com um verbo? Será que com as funções C e T, combinadas, eu não posso criar uma frase interessante?

Vejamos:

T(C(nadar))

A função T pede que eu tome o que está enunciado dentro dos parenteses ( ) e complete com os dizeres "todos os dias". Ok!

T(C(nadar)) = C(nadar) todos os dias

A função C pede que eu conjugue o verbo nadar na primeira pessoa do singular.

T(C(nadar)) = C(nadar) todos os dias = Eu nado todos os dias

As funções T e C combinadas na ordem citada acima formam uma funcão composta denotada por (T ο C)(x).

Assim (T ο C)(x) é uma notação que representa T(C(x)). E também (C ο T)(x) é uma notação que representa C(T(x)).

Será que C(T(x)), de acordo com os exemplos para C e T, teria sentido para algum valor de x?

Bem, sabemos que T(x) = x todos os dias.

Mas "x todos os dias" não é um verbo por mais que sejamos criativos com o x. Assim, apesar de existir (T ο C)(x) não existe (C ο T)(x) do modo que T e C foram definidas.

C(T(x)) = ???

Cuidado ao usar composição de funções: a ordem é importante na sua notação.

	Exemplo - Dadas as leis das funções f e g: f(x) = 2x g(x) = x – 14. Obter (f ο g)(x)
	solucão
	(f ο g)(x) = f(g(x)) = 2g(x) = 2(x – 14) = 2x – 28.

 

	Exemplo - Dadas as leis das funções f e g: f(x) = 2x g(x) = x – 14. Obter (f ο g)(3)
	solucão
	(f ο g)(3) = f(g(3)) = 2g(3) = 2(3 – 14) = 2·3 – 28 = –22.

 

	Exemplo - Dadas as leis das funções f e g: f(x) = 2x g(x) = x – 14. Obter (g ο f)(x)
	solucão
	(g ο f)(x) = g(f(x)) = f(x) – 14 = 2x = 2x – 14.

 

	Exemplo - Dadas as leis das funções f e g: f(x) = 2x g(x) = x – 14. Obter (g ο f)(2)
	solucão
	(g ο f)(2) = g(f(2)) = f(2) – 14 = 2·2 = 4 – 14 = – 10.

 

	Exemplo - Dada a lei da função f: f(x) = 2x + 1 [função que dobra um número e soma uma unidade] Obter (f ο f ο f)(x)
	solucão
	(f ο f ο f)(x) = f( f( f(2) ) ) = 2f( f(2) ) + 1 = 2f( f(2) ) + 1 = 2·(2f(2) + 1) + 1 = 2·(2·(2x + 1) + 1) + 1 = 2·(4x + 2 + 1) + 1 = 2·(4x + 3) + 1 = 8x + 7

 

Com base no exemplo acima, mas sem usar que sabemos que (f ο f ο f)(x) = 8x + 7, vamos dobrar e somar 1 sucessivamente, por 3 vezes, um número qualquer, digamos "1" - para depois ver se dá certo com o que obtivemos:

1) dobra 1 e soma 1: 2 + 1 = 3.

2) dobra 3 e soma 1: 6 + 1 = 7

3) dobra 7 e soma 1: 15.

Será que (f ο f ο f)(1) = 15? Vamos ver na lei da funcão (f ο f ο f)(x):

(f ο f ο f)(1) = 8·1 + 7 = 15. (SIM!!)