Professor Cardy

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Definição

Uma função $$P: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ com:

$$P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0$$

é uma função polinomial de grau $$n$$ exclusivamente para $$a_n !=0$$.

Atenção

Em um polinômio $$P(x)$$ um de seus zeros ou, mais comum de ser dito, uma de suas raizes, $$r$$ terá multiplicidade $$m$$ se o polinômio $$P(x)$$ puder ser escrito como:

$$P(x) = (x-r)^m*q(x)$$, onde $$q(r) !=0$$.

Isso quer dizer que se $$P(x)$$ for fatorado, o fator $$(x-r)$$ irá constar EXATAMENTE $$m$$ vezes.

A parte que diz $$q(r) !=0$$ é para garantir que $$g(x)$$ não terá mais nenhum fator $$(x-r)$$ pois $$g(x)$$ não se anula com o valor $$x=r$$.

Vamos aqui também analizar os indícios da multiplicidade de uma raiz de polinômio a partir do seu gráfico.

Se o coeficiente $$a_n$$ não for zero ($$a_n$$ é o coeficiente dominante), então o grau do polinômio $$P(x)$$ é $$n$$. A função polinomial de grau $$n$$ terá $$n$$ raizes complexas.

Das $$n$$ raizes complexas que temos, só vou discutir as reais pois elas podem ser pesquisadas nos eventuais cruzamentos ou tangenciamentos do gráfico de $$P$$ com o eixo dos x.

Tendo o gráfico de uma função polinomial $$P$$ no plano cartesiano podemos discutir algo sobre as raizes reais de $$P$$. Se houver interseção do gráfico com o eixo Ox no trecho apresentado.

É muito importante destacar que:

  • se o sinal de `P nas vizinhanças de uma raiz é o mesmo, então esta raiz tem multiplicidade PAR.
  • se o sinal de `P` nas vizinhanças de uma raiz não é o mesmo, então esta raiz tem multiplicidade ÍMPAR.
desc
Gráfico de uma função polinomial `P`. As intersecções do gráfico com o eixo Ox indicam que r, s etsão raizes reais.

Baseando-se na ilustração anterior podemos estipular que $$P$$ pode ser escrito na forma

$$P(x) = (x-r)^m*(x-s)^n*(x-t)^k*q(x)$$

Onde r é uma raiz de multiplicidade m ( pode ser 1, 3, 5, etc... ), s é uma raiz de multiplicidade n (pode ser 2, 4, 6, etc... ) e t é uma raiz de multiplicidade k ( pode ser 1, 3, 5, etc... ). Assim, os valores r, s e t podem representar muito mais que só três raizes (no caso, tem pelo menos quatro raizes reais).

Atenção

Na vizinhança de uma raiz real $$x_0$$ de um polinômio $$P$$ ocorrer:

(A) O gráfico de $$P$$ cruzar o eixo dos x em $$(x_0, 0)$$, então $$x_0$$ tem multiplicidade ÍMPAR.

(B) O gráfico de $$P$$ tangenciar o eixo dos x em $$(x_0, 0)$$, então $$x_0$$ tem multiplicidade PAR.

1

Exemplo 1


Determinar a multiplicidade de todas as raizes de $$P(x) = (x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)$$.


Resolução


$$P(x) = (x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)$$ vai se anular quando $$(x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)=0$$. Ou seja, para $$x_1=4$$, $$x_2=-1$$ e $$x_3=1$$.

Temos que:

$$x_1=4$$ de $$(x-4)^2$$ tem multiplicidade 2.

$$x_2=-1$$ de $$(x+1)^4$$ tem multiplicidade 4.

$$x_3=1$$ de $$(x-1)$$ tem multiplicidade 1.


2

Exemplo 2


Determinar a multiplicidade de todas as raizes de $$P(x) = x^2 -6x +9$$.


Resolução


$$P(x) = x^2 -6x +9$$ vai se anular quando $$x^2 -6x +9=0$$.

$$x^2 -6x +9=0$$ é uma equação do 2º Grau, cujo $$\Delta = b^2 - 4ac$$ $$= (-6)^2 - 4*1*9 = 0$$, portanto:

$$x_{1,2} = \frac{-b +- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-6) +- \sqrt{0}}{2*1}$$.

$$x_{1,2} = \frac{6 +- 0}{2} = 3$$.

Ou seja, $$P(x)$$ vai se anular para $$x_1=3$$ e $$x_2=3$$.

A forma fatorada de $$P(x)$$ é $$P(x) = (x-3)^2$$ que, aliás, o leitor que tivesse percebido isso teria evitado os cálculos para se determinar $$x_1$$ e $$x_2$$.

Como $$P(x) = x^2 -6x +9= (x-3)^2$$, temos que:

$$x_1=3$$ de $$(x-3)^2$$ tem multiplicidade 2.

Ainda como um último exemplo, digamos que tenhamos conhecido o grau de um polinômio, a saber de grau 4, e que tenhamos expostas no seguinte gráfico, todas as suas raízes $${2, 3, 4}$$:

desc

 

A partir do gráfico, a raiz $$2$$ tem multiplicidade ímpar pois na sua vizinhança $$(+,-)$$ houve troca de sinal; a raiz $$3$$ tem multiplicidade ímpar pois na sua vizinhança $$(-,+)$$ houve troca de sinal; e, finalmente, a raiz $$4$$ tem multiplicidade par pois na sua vizinhança $$(+,+)$$ não houve troca de sinal. A única possibilidade para que o polinômio seja de grau $$4$$ sob essas circunstâncias é $$2$$ ser uma raíz simples (multiplicidade 1), $$3$$ ser uma raíz simples (multiplicidade 1) e $$4$$ ser uma raíz dupla (multiplicidade 2).

Diante de tudo isso, $$P(x) = (x-2)^1(x-3)^1(x-4)^2*q(x)=(x-2)(x-3)(x-4)^2*q(x)$$.

Nesse exemplo também foi especificado que todas as raízes são $${2, 3, 4}$$, logo $$P(x)$$ não tem como se anular em nenhum outro valor de $$x$$, então $$q(x)$$, como é um fator da forma $$x-a$$ e não pode se anular para valor de $$x$$, conclui-se que $$q(x)=a$$ só pode ser uma constante.

Tem-se que $$P(x) = (x-2)(x-3)(x-4)^2*a=a(x-2)(x-3)(x-4)^2$$.