Professor Cardy

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Definição

Uma função `P: \RR \rightarrow \RR` com:

`P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`

é uma função polinomial de grau `n` exclusivamente para `a_n !=0`.

Atenção

Em um polinômio `P(x)` um de seus zeros ou, mais comum de ser dito, uma de suas raizes, `r` terá multiplicidade `m` se o polinômio `P(x)` puder ser escrito como:

`P(x) = (x-r)^m*q(x)`, onde `q(r) !=0`.

Isso quer dizer que se `P(x)` for fatorado, o fator `(x-r)` irá constar EXATAMENTE `m` vezes.

A parte que diz `q(r) !=0` é para garantir que `g(x)` não terá mais nenhum fator `(x-r)` pois `g(x)` não se anula com o valor `x=r`.

Vamos aqui também analizar os indícios da multiplicidade de uma raiz de polinômio a partir do seu gráfico.

Se o coeficiente `a_n` não for zero (`a_n` é o coeficiente dominante), então o grau do polinômio `P(x)` é `n`. A função polinomial de grau `n` terá `n` raizes complexas.

Das `n` raizes complexas que temos, só vou discutir as reais pois elas podem ser pesquisadas nos eventuais cruzamentos ou tangenciamentos do gráfico de `P` com o eixo dos x.

Tendo o gráfico de uma função polinomial `P` no plano cartesiano podemos discutir algo sobre as raizes reais de `P`. Se houver interseção do gráfico com o eixo Ox no trecho apresentado.

É muito importante destacar que:

  • se o sinal de `P nas vizinhanças de uma raiz é o mesmo, então esta raiz tem multiplicidade PAR.
  • se o sinal de `P` nas vizinhanças de uma raiz não é o mesmo, então esta raiz tem multiplicidade ÍMPAR.
desc
Gráfico de uma função polinomial `P`. As intersecções do gráfico com o eixo Ox indicam que r, s etsão raizes reais.

Baseando-se na ilustração anterior podemos estipular que `P` pode ser escrito na forma

`P(x) = (x-r)^m*(x-s)^n*(x-t)^k*q(x)`

Onde r é uma raiz de multiplicidade m ( pode ser 1, 3, 5, etc... ), s é uma raiz de multiplicidade n (pode ser 2, 4, 6, etc... ) e t é uma raiz de multiplicidade k ( pode ser 1, 3, 5, etc... ). Assim, os valores r, s e t podem representar muito mais que só três raizes (no caso, tem pelo menos quatro raizes reais).

Atenção

Na vizinhança de uma raiz real `x_0` de um polinômio `P` ocorrer:

(A) O gráfico de `P` cruzar o eixo dos x em `(x_0, 0)`, então `x_0` tem multiplicidade ÍMPAR.

(B) O gráfico de `P` tangenciar o eixo dos x em `(x_0, 0)`, então `x_0` tem multiplicidade PAR.

1

Exemplo 1


Determinar a multiplicidade de todas as raizes de `P(x) = (x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)`.


Resolução


`P(x) = (x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)` vai se anular quando `(x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)=0`. Ou seja, para `x_1=4`, `x_2=-1` e `x_3=1`.

Temos que:

`x_1=4` de `(x-4)^2` tem multiplicidade 2.

`x_2=-1` de `(x+1)^4` tem multiplicidade 4.

`x_3=1` de `(x-1)` tem multiplicidade 1.


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Exemplo 2


Determinar a multiplicidade de todas as raizes de `P(x) = x^2 -6x +9`.


Resolução


`P(x) = x^2 -6x +9` vai se anular quando `x^2 -6x +9=0`.

`x^2 -6x +9=0` é uma equação do 2º Grau, cujo `\Delta = b^2 - 4ac` `= (-6)^2 - 4*1*9 = 0`, portanto:

`x_{1,2} = \frac{-b +- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-6) +- \sqrt{0}}{2*1}`.

`x_{1,2} = \frac{6 +- 0}{2} = 3`.

Ou seja, `P(x)` vai se anular para `x_1=3` e `x_2=3`.

A forma fatorada de `P(x)` é `P(x) = (x-3)^2` que, aliás, o leitor que tivesse percebido isso teria evitado os cálculos para se determinar `x_1` e `x_2`.

Como `P(x) = x^2 -6x +9= (x-3)^2`, temos que:

`x_1=3` de `(x-3)^2` tem multiplicidade 2.

Ainda como um último exemplo, digamos que tenhamos conhecido o grau de um polinômio, a saber de grau 4, e que tenhamos expostas no seguinte gráfico, todas as suas raízes `{2, 3, 4}`:

desc

 

A partir do gráfico, a raiz `2` tem multiplicidade ímpar pois na sua vizinhança `(+,-)` houve troca de sinal; a raiz `3` tem multiplicidade ímpar pois na sua vizinhança `(-,+)` houve troca de sinal; e, finalmente, a raiz `4` tem multiplicidade par pois na sua vizinhança `(+,+)` não houve troca de sinal. A única possibilidade para que o polinômio seja de grau `4` sob essas circunstâncias é `2` ser uma raíz simples (multiplicidade 1), `3` ser uma raíz simples (multiplicidade 1) e `4` ser uma raíz dupla (multiplicidade 2).

Diante de tudo isso, `P(x) = (x-2)^1(x-3)^1(x-4)^2*q(x)=(x-2)(x-3)(x-4)^2*q(x)`.

Nesse exemplo também foi especificado que todas as raízes são `{2, 3, 4}`, logo `P(x)` não tem como se anular em nenhum outro valor de `x`, então `q(x)`, como é um fator da forma `x-a` e não pode se anular para valor de `x`, conclui-se que `q(x)=a` só pode ser uma constante.

Tem-se que `P(x) = (x-2)(x-3)(x-4)^2*a=a(x-2)(x-3)(x-4)^2`.

Matemática de Loterias



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