Definição
Uma função `P: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}` com:
`P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`
é uma função polinomial de grau `n` exclusivamente para `a_n !=0`.
Atenção
Em um polinômio `P(x)` um de seus zeros ou, mais comum de ser dito, uma de suas raizes, `r` terá multiplicidade `m` se o polinômio `P(x)` puder ser escrito como:
`P(x) = (x-r)^m*q(x)`, onde `q(r) !=0`.
Isso quer dizer que se `P(x)` for fatorado, o fator `(x-r)` irá constar EXATAMENTE `m` vezes.
A parte que diz `q(r) !=0` é para garantir que `g(x)` não terá mais nenhum fator `(x-r)` pois `g(x)` não se anula com o valor `x=r`.
Vamos aqui também analizar os indícios da multiplicidade de uma raiz de polinômio a partir do seu gráfico.
Se o coeficiente `a_n` não for zero (`a_n` é o coeficiente dominante), então o grau do polinômio `P(x)` é `n`. A função polinomial de grau `n` terá `n` raizes complexas.
Das `n` raizes complexas que temos, só vou discutir as reais pois elas podem ser pesquisadas nos eventuais cruzamentos ou tangenciamentos do gráfico de `P` com o eixo dos x.
Tendo o gráfico de uma função polinomial `P` no plano cartesiano podemos discutir algo sobre as raizes reais de `P`. Se houver interseção do gráfico com o eixo Ox no trecho apresentado.
É muito importante destacar que:
- se o sinal de `P nas vizinhanças de uma raiz é o mesmo, então esta raiz tem multiplicidade PAR.
- se o sinal de `P` nas vizinhanças de uma raiz não é o mesmo, então esta raiz tem multiplicidade ÍMPAR.
Gráfico de uma função polinomial `P`. As intersecções do gráfico com o eixo Ox indicam que r, s etsão raizes reais.
Baseando-se na ilustração anterior podemos estipular que `P` pode ser escrito na forma
`P(x) = (x-r)^m*(x-s)^n*(x-t)^k*q(x)`
Onde r é uma raiz de multiplicidade m ( pode ser 1, 3, 5, etc... ), s é uma raiz de multiplicidade n (pode ser 2, 4, 6, etc... ) e t é uma raiz de multiplicidade k ( pode ser 1, 3, 5, etc... ). Assim, os valores r, s e t podem representar muito mais que só três raizes (no caso, tem pelo menos quatro raizes reais).
Atenção
Na vizinhança de uma raiz real `x_0` de um polinômio `P` ocorrer:
(A) O gráfico de `P` cruzar o eixo dos x em `(x_0, 0)`, então `x_0` tem multiplicidade ÍMPAR.
(B) O gráfico de `P` tangenciar o eixo dos x em `(x_0, 0)`, então `x_0` tem multiplicidade PAR.
Exemplo 1
Determinar a multiplicidade de todas as raizes de `P(x) = (x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)`.
Resolução
`P(x) = (x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)` vai se anular quando `(x-4)^2*(x+1)^4*(x-1)=0`. Ou seja, para `x_1=4`, `x_2=-1` e `x_3=1`.
Temos que:
`x_1=4` de `(x-4)^2` tem multiplicidade 2.
`x_2=-1` de `(x+1)^4` tem multiplicidade 4.
`x_3=1` de `(x-1)` tem multiplicidade 1.
Exemplo 2
Determinar a multiplicidade de todas as raizes de `P(x) = x^2 -6x +9`.
Resolução
`P(x) = x^2 -6x +9` vai se anular quando `x^2 -6x +9=0`.
`x^2 -6x +9=0` é uma equação do 2º Grau, cujo `\Delta = b^2 - 4ac` `= (-6)^2 - 4*1*9 = 0`, portanto:
`x_{1,2} = \frac{-b +- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-6) +- \sqrt{0}}{2*1}`.
`x_{1,2} = \frac{6 +- 0}{2} = 3`.
Ou seja, `P(x)` vai se anular para `x_1=3` e `x_2=3`.
A forma fatorada de `P(x)` é `P(x) = (x-3)^2` que, aliás, o leitor que tivesse percebido isso teria evitado os cálculos para se determinar `x_1` e `x_2`.
Como `P(x) = x^2 -6x +9= (x-3)^2`, temos que:
`x_1=3` de `(x-3)^2` tem multiplicidade 2.
Ainda como um último exemplo, digamos que tenhamos conhecido o grau de um polinômio, a saber de grau 4, e que tenhamos expostas no seguinte gráfico, todas as suas raízes `{2, 3, 4}`:
A partir do gráfico, a raiz `2` tem multiplicidade ímpar pois na sua vizinhança `(+,-)` houve troca de sinal; a raiz `3` tem multiplicidade ímpar pois na sua vizinhança `(-,+)` houve troca de sinal; e, finalmente, a raiz `4` tem multiplicidade par pois na sua vizinhança `(+,+)` não houve troca de sinal. A única possibilidade para que o polinômio seja de grau `4` sob essas circunstâncias é `2` ser uma raíz simples (multiplicidade 1), `3` ser uma raíz simples (multiplicidade 1) e `4` ser uma raíz dupla (multiplicidade 2).
Diante de tudo isso, `P(x) = (x-2)^1(x-3)^1(x-4)^2*q(x)=(x-2)(x-3)(x-4)^2*q(x)`.
Nesse exemplo também foi especificado que todas as raízes são `{2, 3, 4}`, logo `P(x)` não tem como se anular em nenhum outro valor de `x`, então `q(x)`, como é um fator da forma `x-a` e não pode se anular para valor de `x`, conclui-se que `q(x)=a` só pode ser uma constante.
Tem-se que `P(x) = (x-2)(x-3)(x-4)^2*a=a(x-2)(x-3)(x-4)^2`.