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Cardicas > Sofisma de Sam Loyd

A palavra 'sofisma' vem do grego antigo que significa "fazer raciocínios capciosos".

Em Lógica é um raciocínio aparentemente válido, mas inconclusivo ou incorreto. Um sofisma acaba usando, em algum momento da sua montagem algo que é contrário às mesmas leis que foram usadas para contruí-lo.

Por definição, o sofisma tem o objetivo de dissimular uma ilusão de verdade, apresentando-a sob esquemas que aparentam seguir as regras da lógica. É um conceito que remete à ideia de falácia, sem ser necessariamente um sinônimo.

Atualmente, no uso frequente e do senso comum, sofisma é qualquer raciocínio caviloso ou falso, mas que se apresenta com coerência e que tem por objetivo induzir outros indivíduos ao erro mediante ações de má-fé.

O sofisma 64 = 65 foi proposto inicialmente por Sam Loyd (1841 - 1911) explorando uma propriedade dos números da seqüência de Fibonacci.

Veja o Sofisma:

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Você sabe o que são os números de Fibonacci?

A sequência `{a_n}` de FIBONACCI é definida como `a_1 = a_2= 1` e `a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}` para todo n natural maior que 2.

Isso quer dizer, em outras palavras, que cada elemento (a partir do 2º é a soma dos dois termos imediatamente anteriores.

Os primeiros termos desta seqüência são exibidos em (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... ).

A sequência de Fibonacci, em si, já exibe inúmeras curiosidades. Uma delas é que a razão entre dois termos consecutivos, quanto maior a posição destes termos, mais próximo será o seu valor da razão áurea (aprox.. 1, 618).

 

`n`
`a_n`
`a_{n-1}`
O resultado de `\frac{a_n}{a_{n-1}}`
2
1
1
1
3
2
1
2
4
3
2
1,5
5
5
3
1,67
6
8
5
1,6
7
13
8
1,63
8
21
13
1,62
9
34
21
1,61
quando `n` este ficar muito grande
`x`
`y`
razão áurea: 1, 618...

 

Na seqüência de FIBONACCI, tomado um termo qualquer (a partir da 2ª posição) o seu quadrado sempre difere de 1 unidade do produto de seus extremos. Como exemplo disso:

O termo 3
  seus adjacentes são 2 e 5 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... )
 

32 = 9

2 x 5 = 10

A diferença entre 10 e 9 é 1.

 

O termo 8
  seus adjacentes são 5 e 13 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... )
 

82 = 64

5 x 13 = 65

A diferença entre 65 e 64 é 1.

 

Este último fato, apresentado de forma geométrica, fica ilustrado como:

O quadrado de lado 8 tem área 64.

 

As mesmas 4 figuras, dispostas de modo diferente, formam um retângulo de área 5 x 13 = 65

O truque consiste em apresentar essas duas imagens como esboços porque, dessa forma, a pessoa não percebe que os lados na parte central da segunda ilustração não se encaixam perfeitamente - a ilustração acima é precisa o suficiente para que ninguém erre!

Esse desencaixe é o bastante para deixar uma lacuna (um vazio bem no meio) de área 1, que é justamente o que aumenta os 64 iniciais até os 65 finais.

As partes coloridas têm sempre área 64.

Uma pessoa atenta, mesmo com uma ilustração mal feita deveria vasculhar se as dimensões conferem nas condições de alinhamento. Por exemplo, não é possivel que exista o triângulo ABC com as dimensões propostas:

 

 

Veja que a razão `\frac{AB}{AC} = 5/13` é DIFERENTE da razão `\frac{ED}{EC} = 3/8`.

É IMPOSSÍVEL QUE OS PONTOS B, D e C sejam colineares para formar a figura que induz a se pensar que ABC é um triângulo, quando, na verdade, não é!

Sofismas

64 = 65

1 = 0 = 1/2

1 = –1

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