O desafio
Errado!
`\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{2}-\sqrt{3}` é FALSO.
Quem acha que está certo costuma fazer uma simplificação incorreta de "cortar o expoente 2 com o radical". Esta regra prática só funciona se a base da potência for um número não negativo.
Ou seja, dizer que `\sqrt{x^2} = x` apenas é válido quando `x >= 0`. Não é o caso de `\sqrt{2}-\sqrt{3}` porque é um número negativo.
Como radicando `2` é menor que o radicando `3`, temos que as suas respectivas raizes quadradas seguem na mesma condição:
`\sqrt{2} < \sqrt{3}`
Que é o mesmo que:
`\sqrt{2} - \sqrt{3} < 0`
Exemplo 1
Calcule `\sqrt{2^2}`
Resolução
Em `\sqrt{2^2}`, temos que a base da potência é não negativa, `2 >=0`.
Sem problema algum, podemos simplicar usando a regra prática.
`\sqrt{2^2} = 2`
Mas...
A raiz quadrada de quatro não é mais ou menos dois?
Veja que não é e o seu porquê aqui.
Mas como fazer quando desejamos simplificar `\sqrt{x^2} = x` e o `x` é negativo, ou mesmo quando não temos o acesso imediato sobre a informação da positividade de `x`.
Bom, num primeiro momento é usar módulo. Já melhora... mas - não termina.
Definição
Para `x` real:
`\sqrt{x^2} = |x|`
Exemplo 2
Calcule `\sqrt{(-3)^2}`
Resolução
Em `\sqrt{(-3)^2}`, temos que a base da potência é negativa, `-3 < 0`.
Se sair cortando indiscriminadamente, chega no erro: `\sqrt{(-3)^2} = -3` o que é um absurdo, uma vez que `\sqrt{x} ge 0` para todo `x` real.
Da definição, temos `\sqrt{(-3)^2} = |-3|`. E, da definição de módulo, vem `|-3| = 3`, portanto, `\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3.`
Ficamos com `\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}`, como `\sqrt{2}-\sqrt{3} < 0`, então `\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{2}-\sqrt{3}| = -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-\sqrt{2}`.
Veja como fica certo:
