AFA 2016 Sequências
Considere as expressões
`A = 26^2 - 24^2 +23^2 - 21^2+20^2-18^2+..+5^2-3^2`
`B = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \root{4}{2} \cdot \root{8}{2} \cdot \root{16}{2}...`
O valor de `A/B` é um número compreendido entre:
A) `117` e `120`
B) `114` e `117`
C) `111` e `114`
D) `108` e `111`
`A = 26^2 - 24^2 +23^2 - 21^2+20^2-18^2+..+5^2-3^2` — expressão dada.
`A = [26^2 - 24^2] +[23^2 - 21^2]+[20^2-18^2]+..+[5^2-3^2]` — fazendo um agrupamento conveniente.
`A = [(26+24)(26-24)] +[(23+21)(23-21)]+[(20+18)(20-18)]+..+[(5+3)(5-3)]` — usando o Produto Notável `x^2-y^2 = (x+y)(x-y)`.
`A = [(50)(2)] +[(44)(2)]+[(38)(2)]+..+[(8)(2)]` — simplificando.
`A = 50 \cdot 2 +44 \cdot 2+38 \cdot 2+..+8 \cdot 2)` — "limpando" notação agora desnecessária.
`A = 4 \cdot ( 25+22+19+...+4)` — colocando `4` em evidência.
O fator `25+22+19+...+4` corresponde a uma soma de termos de uma Progressão Aritmética de razão `r=-3`. Tal soma resulta em `\frac{(a_1+a_n)}{2} \cdot n`, onde `a_1= 25` e `a_n=4`.
Cardica
Para determinar `n` (número de termos dessa série) podemos usar o termo geral `a_n = a_1+ (n-1)r`. Assim `4 = 25+ (n-1) \cdot (-3) <=> n = 8 `.
Para determinar `n` também podemos registrar os termos ausentes em `25+22+19+...+4` porque afinal, NESSE CASO, não são tantos termos. Subtraindo de `3` em `3`, veja: `25+22+19+16+13+10+7+4`. Temos `8` termos.
Assim, `25+22+19+...+4 = \frac{(25+4)}{2} \cdot 8=116`. Temos `A = 4 \cdot ( 25+22+19+...+4)= 4 \cdot 116`.
Agora a expressão `B`.
`B = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \root{4}{2} \cdot \root{8}{2} \cdot \root{16}{2}...` — expressão dada.
`B = 2^1 \cdot 2^{1/2} \cdot 2^{1/4} \cdot 2^{1/8} \cdot 2^{1/16}...` — reescrevendo usando a notação `root{n}{x}= x^{1/n}` e que `2=2^1`.
`B = 2^{1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...}` — simplificando usando a relação `x^n \cdot x^m = x^{m+n}`.
O expoente `1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...` corresponde a soma dos infinitos termos de uma Progressão Geométrica de razão `q=1/2`. Tal soma resulta em `\frac{a_1}{1-q}`, onde `a_1=1` e `q=1/2`. Portanto, `1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = \frac{1}{1-1/2}=2`.
Então,
`B = 2^{1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...} = 2^2=4`.
O quociente pedido `A/B= \frac{4 \cdot 116}{4}=116`.