Dado o triângulo retângulo `\text{ABC}`, de hipotenusa `AC=5`, e o quadrado `\text{BPNM}` de lado `1`, obter `AM+PC=x+y`.

Eu batizei o desafio por "Reciprocidade" porque a parte mais difícil é resolver a Equação Recíproca que decorre da dedução. Você verá o link no meio do texto a seguir.

Os triângulos `\DeltaAMN` e `\DeltaNPC` são semelhantes.

De `\DeltaAMN ~= \DeltaNPC` vem que: `\frac{AM}{NP}=\frac{MN}{PC}<=>x/1=1/y :. y=1/x`.

Como `\DeltaABC` é retângulo em `B`, do Teorema de Pitágoras vem: `(y+1)^2+(x+1)^2=5^2`.

Usando que `y=1/x` em `(y+1)^2+(x+1)^2=5^2` ficamos com `(1/x+1)^2+(x+1)^2=5^2`.

Desta última equação, feitas as simplificações, chega-se em `x^4+2x^3-23x^2+2x+1=0` que é uma equação recíproca. Para se resolver uma equação recíproca podemos rearrumar os termos de um modo muito particular para que venhamos a recair numa equação polinomial de grau mais baixo (veja com mais detalhes aperta aqui para ver)

`x^4+2x^3-23x^2+2x+1=0`

`x^4+1 + 2x^3+2x-23x^2=0`

`(x^4+1) + 2*(x^3+x)-23x^2=0`

Dividindo-se, membro a membro, a equação por `x^2`

`\frac{(x^4+1)+2(x^3+x)-23x^2}{x^2}=\frac{0}{x^2}`

`\frac{x^4+1}{x^2}+2*\frac{x^3+x}{x^2}-23*\frac{x^2}{x^2}=0`

`(x^2+1/x^2) +2*(x+1/x)-23=0`

Chamando `x+1/x` por `z` e `x^2+\frac{1}{x^2}` por `z^2 -2` chega-se em:

`(z^2 -2) +2*z-23=0`

Recaímos numa equação do 2º Grau, na incógnita `z`.

`z^2 +2*z-25=0`

`z^2 +2*z-25=0 => {(z_1=\frac{-2+\sqrt{2^2-4*1*25}}{2*1}), (z_2=\frac{-2-\sqrt{2^2-4*1*25}}{2*1}) :}`
`=> {(z_1=\frac{-2+2*\sqrt{26}}{2*1}), (z_2=\frac{-2-2*\sqrt{26}}{2*1}) :}`

` {(z_1=-1+\sqrt{26}), (z_2=-1-\sqrt{26}) :}`

Destas duas soluções, `z_2 <0` (não é conveniente).

Destaco que `z_1` atende as restrições geométricas e algébricas desde desafio, porém deixo esta verificação para você (caso interesse, oras!). Mas é que esta resolução já está tão cheia de troços que fiquei com preguiça, confesso.

Enfim, como fizemos `x+1/x = z` agora... e... lembrando bem lá do comecinho que `y=1/x`, então `x+1/x = z <=>x+y=z`:

Para `z_1=-1+\sqrt{26}`:

`x+y = z_1 =-1+\sqrt{26}`

`x+y = -1+\sqrt{26}`